人教课标版高中数学选修4-5：《绝对值不等式》章末回顾-新版

第一讲绝对值不等式回顾

一、思维导图

二.例题

例1 已知190,01x y x y

>>+=，，求x y +的最小值. 【知识点】基本不等式

【解答过程】因为190,01x y x y >>+=，，所以199()1()()10y x x y x y x y x y x y

+=+?=++=++ 1016≥+=，当且仅当

9y x x y =，即4,12x y ==时，等号成立. 【思路点拨】在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法.常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等.

【答案】16

例2 解不等式|1||2|3x x x -+->+.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【数学思想】零点分段法

【解答过程】解：令|1|0x -=，得1x =；令|2|0x -=，得2x =.

这样，1，2的对应点把数轴分成了三个部分.

(1)当1x <时，10x -<，20x ->，

所以原不等式变为123x x x -+->+，解得0x <.所以0x <.

(2)当12x ≤≤时，10x -≥，20x -≥，

所以原不等式变为123x x x -+->+，解得2x <-.所以无解.

(3)当2x >时，10x ->，20x -<，

所以原不等式变为123x x x -+->+，解得6x >.所以6x >.

综上所示，原不等式的解集为(,0)(6,)-∞+∞.

【思路点拨】绝对值三角不等式指的是||||||||||||a b a b a b -≤±≤+.这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明.

【答案】(,0)(6,)-∞+∞

例3 已知关于x 的不等式|1||2|2x x ax -+->-解集为R ，求实数a 的取值范围.

【知识点】含绝对值不等式的解法；恒成立问题

【数学思想】数形结合法

【解答过程】32,1|1||2|1,1223,2x x y x x x x x -?

，2y ax =-表示过(0,2)-的直线，由题意可知

|1||2|y x x =-+-的图像在直线2y ax =-的上方，如图

由图可知，3[2,)2

a ∈-. 【思路点拨】在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形.

【答案】

3

[2,)

2 a∈-

三、检测题

（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1.已知a

c2>

b

c2，则下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2

B.lg a>lg b

C.1

b>

1

a D.

11

()()

33

b a

>

【知识点】不等式的性质

【解答过程】由a

c2>

b

c2，得a>b（c≠0），显然，当a，b异号或其中一个为0时，A，B，C不

正确.

【思路点拨】利用不等式的性质验证

【答案】D

2.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）

A.a＞b＋1

B.a＞b－1

C.a2＞b2

D.a3＞b3

【知识点】不等式性质、充分、必要条件

【解答过程】由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.

【思路点拨】根据不等式性质推导和充分、必要条件定义求解

【答案】A

3.若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（）

A.a＋x＞b＋y

B.y－a＜x－b

C.|a|x＞|a|y

D.（a－b）x＞（a－b）y

【知识点】不等式性质

【解答过程】对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；

对于B，a＞b?－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；

对于D，∵a－b＞0，∴（a－b）x＞（a－b）y，D正确；

对于C，当a＝0时，不等式不正确，故选C.

【思路点拨】利用不等式的性质代入验证

【答案】C

4.关于x 的不等式5x 2－a ≤0的非负整数解是0，1，2，3，则实数a 的取值范围是（ ）

A.45≤a <80

B.50

C.a <80

D.a >45

【知识点】解不等式

【解答过程】由5x 2－a ≤0，得－

a 5≤x ≤a 5，而正整数解是1，2，3，则3≤a 5<4，解得

45≤a <80.

【思路点拨】熟练掌握常规不等式的解法

【答案】A

5.若a ，b 为非零实数，那么不等式恒成立的是（ ）

A.|a ＋b |>|a －b |

B.a ＋b 2≥ab

C.2()2

a b +≥ab D.b a ＋a b ≥2 【知识点】均值不等式

【解题过程】a ，b 为非零实数时，A ，B ，D 均不一定成立.

而2()2a b +－ab ＝2()2a b -≥0恒成立. 【思路点拨】利用不等式的基本性质，两式相减与0的大小关系比较

【答案】C

6.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是（ ）

A.y ＝x ＋4x

B.y ＝lg x ＋1lg x

C.y ＝x 2＋1＋1x 2＋1

D.y ＝sin x ＋1sin x （0

【解题过程】y ＝x ＋4x ≥24＝4，A 错；当0

当x 2＋1＝1x 2＋1

时，x ＝0， ∴y ＝x 2＋1＋

1x 2＋1≥2此时等号取不到，C 错； y ＝sin x ＋1sin x ≥2，此时sin x ＝1，D 正确.

【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证

【答案】D

7.不等式|2x －log 2x |＜|2x |＋|log 2x |的解为（ ）

A.1＜x ＜2

B.0＜x ＜1

C.x ＞1

D.x ＞2

【知识点】解绝对值不等式、对数函数

【解题过程】由题意知?

??

2x ·log 2x ＞0，x ＞0，∴log 2x ＞0，解得x ＞1，故选C. 【思路点拨】熟练掌握常规不等式的解法

【答案】C

8.若a ＞0，b ＞0，且函数f （x ）＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）

A.2

B.3

C.6

D.9

【知识点】函数极值、均值不等式

【解题思想】f ′（x ）＝12x 2－2ax －2b ，由f （x ）在x ＝1处有极值，得f ′（1）＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a ＞0，b ＞0，∴ab ≤2()2a b +＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号，故选D. 【思路点拨】根据极值的重要结论求解

【答案】D

9.设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c

恒成立，则n 的最大值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.6

【知识点】均值不等式

【解题过程】∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥4，当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c 时，取等号，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c ，而1a －b ＋1b －c ≥n a －c

恒成立，得n ≤4. 【思路点拨】通过配凑，再利用均值不等式

【答案】C

10.若0

A.最小值为127

B.最大值为127

C.最小值为13

D.最大值为13 【知识点】均值不等式

【解题过程】x 2（1－2x ）＝x ·x （1－2x ）≤3)3

21(x x x -++＝127.当且仅当x ＝13时，等号成立. 【思路点拨】通过分解使得能利用均值不等式求解

【答案】B

11.关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集是空集，则a 的取值范围是（ ）

A.（0，1）

B.（－1，0）

C.（1，2）

D.（－∞，－1）

【知识点】解绝对值不等式

【数学思想】化归与转化的思想

【解题过程】|x －1|＋|x －2|的最小值为1，故只需a 2＋a ＋1<1，∴－1

【思路点拨】转化为最值问题，再解不等式

【答案】B

12.已知a 1>a 2>a 3>0，则使得（1－a i x ）2<1（i ＝1，2，3）都成立的x 的取值范围是（ ） A.11(0,)a B.12(0,)a C.31(0,)a D.3

2(0,)a 【知识点】解不等式

【数学思想】化归与转化的思想

【解题过程】由（1－a i x ）2<1，得00，∴0

对a i （i ＝1，2，3）恒成立，则x 小于2a i 的最小值.又a 1>a 2>a 3，∴2a i 的最小值为2a 1，则x <2a 1.因此x 的取值范围为1

2(0,)a ，选B. 【思路点拨】先解不等式，再转化为最值问题

【答案】B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上

13.不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为________.

【知识点】解绝对值不等式

【解题过程】|2x －1|－|x －2|<0，即|2x －1|<|x －2|，两边平方并整理得，x 2<1，解得－1

【思路点拨】利用常规解不等式的解法求解

【答案】{x |－1

14.设x ＞0，y ＞0，且xy －（x ＋y ）＝1，则x ＋y 的取值范围为__________.

【知识点】均值不等式

【解题过程】因为xy－（x＋y）＝1，且xy≤x＋y2

4，所以1＝xy－（x＋y）≤

x＋y2

4－（x

＋y）.设x＋y＝a，则a2

4－a－1≥0（a＞0），则a≥2＋22，即x＋y≥22＋2，故x＋y的取值范

围为[22＋2，＋∞）.

【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证【答案】[22＋2，＋∞）

15.不等式

1

()()

a

x y

x y

++≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_________.

【知识点】均值不等式的应用

【解题过程】

1

()()

a

x y

x y

++＝1＋a＋

y

x＋

xa

y≥1＋a＋2a，∴1＋a＋2a≥9，即a＋2a－8≥0，

故a≥4.

【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证

【答案】4

16.设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________.

【知识点】绝对值不等式的应用

【数学思想】数形结合

【解题过程】如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以u max＝2，u min＝－2.

【思路点拨】将不等式转化为平面区域，利用数形结合的思想求解

【答案】2－2

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

解不等式x＋|2x－1|＜3.

【知识点】解绝对值不等式

【数学思想】分类讨论

【解题过程】法一：原不等式可化为

??? 2x －1≥0，x ＋x －＜3或???

2x －1＜0，x －x －＜3.解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12. 所以原不等式的解集是4{|2}3

x x -<<. 法二：由于|2x －1|＜3－x ，∴x －3＜2x －1＜3－x ，解得x ＞－2且x ＜43. ∴原不等式的解集是4{|2}3

x x -<<. 【思路点拨】利用分类讨论的思想求解 【答案】4{|2}3

x x -<< 18.（本小题满分12分） 已知函数11()||||22

f x x x =-++，M 为不等式f （x ）＜2的解集. （1）求M ；（2）证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.

【知识点】解绝对值不等式、不等式证明

【数学思想】分类讨论的思想

【解题过程】（1）f （x ）＝????? －2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，

2x ，x ≥12.

当x ≤－12时，由f （x ）＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；

当－12＜x ＜12时，f （x ）＜2；

当x ≥12时，由f （x ）＜2得2x ＜2，解得x ＜1.

所以f （x ）＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}. （2）证明：由（1）知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而（a ＋b ）2－（1＋ab ）2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝（a 2－1）（1－b 2）＜0.

因此|a ＋b |＜|1＋ab |.

【思路点拨】利用分类讨论的思想转化为一般不等式的求解

【答案】（1）M ＝{x |－1＜x ＜1}；（2）见解析

19.（本小题满分12分）

已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.

【知识点】绝对值不等式

【解题过程】因为3|y |＝|3y |＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，

由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.

【思路点拨】利用绝对值的三角不等式

【答案】见解析

20.（本小题满分12分）

已知a 和b 是任意非零实数.

（1）求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值； （2）若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |（|2＋x |＋|2－x |）恒成立，求实数x 的取值范围.

【知识点】绝对值不等式

【解题过程】（1）∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意非零实数a 和b 恒成立， 当且仅当（2a ＋b ）（2a －b ）≥0时取等号，

∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值等于4. （2）∵|2＋x |＋|2－x |≤

|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |不大于|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值. 由（1）可知|2a ＋b |＋|2a －b ||a |

的最小值等于4. 实数x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解，

解不等式得－2≤x ≤2，

∴x 的取值范围是[－2，2].

【思路点拨】利用绝对值的三角不等式求解

【答案】（1）最小值等于4；（2）[－2，2]

21.（本小题满分12分）

已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g （x ）＝x ＋3.

（1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；

（2）设a ＞－1时，且当x ∈1[,)22

a -时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式、恒成立问题

【数学思想】分类与整合思想

【解题过程】

（1）当a ＝－2时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.

设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝????? －5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈（0，2）时，y ＜0，所以原不等式的解集是{x |0

＜x ＜2}. （2）当x ∈1[,)22

a -时，f （x ）＝1＋a ， 不等式f （x ）≤g （x ）化为1＋a ≤x ＋3，

所以x ≥a －2对x ∈1[,)22

a -都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3

-. 【思路点拨】利用分类讨论的思想转化为一般不等式的求解

【答案】（1）{x |0＜x ＜2}；（2）4(1,]3

-. 22.（本小题满分12分）

某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花

坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元.

图1

（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试求S 关于x 的函数关系式；

（2）当x 为何值时，S 取得最小值？并求出这个最小值.

【知识点】均值不等式

【解题过程】（1）设DQ ＝y 米，又AD ＝x 米，故x 2＋4xy ＝200，即y ＝200－x 24x .

依题意，得S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2＝4 200x 2＋210（200－x 2

）＋1602

2200()4x x ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2.依题意x >0，且y ＝200－x 2

4x >0，∴0

400 000x 2，x ∈（0，102）. （2）因为x >0，所以S ≥38 000＋2 4 000x 2·400 000x 2＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x 2， 即x ＝10时取等号.∴当x ＝10∈（0，102）时，S min ＝118 000元.故AD ＝10米时，S 有最小值118 000元.

【思路点拨】将实际问题转抽象为数学问题，利用均值不等式求最值

【答案】（1）S ＝38 000＋4 000x 2＋

400 000x 2，x ∈（0，102）（2）当x ＝10∈时，S min ＝118 000元

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