2020届高考数学例解绝对值不等式

2020届高考数学例解绝对值不等式

例1 解不等式2321-->+x x

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念?

??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式〔组〕，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点〔使绝对值等于零的那个数所对应的点〕，将数轴分成假设干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2

3=x ，如下图． 〔1〕当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x

∴2>x 与条件矛盾，无解．

〔2〕当2

31≤

<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤

3>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6

60<

讲明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，如此做条理分明、不重不漏． 典型例题二

例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范畴．

分析：此题假设用讨论法，能够求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间

当3<-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；

当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；

当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27

+<

a x ，有解的条件为42

7>+a ∴1>a ． 以上三种情形中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．

解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分不为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ．

因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于〔等于1〕，即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．

典型例题三

例3 ),0(,20,2M y a

b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：依照条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-

ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a

a M M

b y a a x y b y a a x y 22)()(． 讲明：这是为学习极限证明作的预备，要适应用凑的方法．

典型例题四

例4 求证 b a a b a -≥-22

分析：使用分析法

证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2

b ，即只需证明 b

a b a b b a -≥-2222

2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1

0<-b a ，原不等式明显成立．∴原不等式成立．

讲明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也能够一开始就用定理： b a b a a b a a b a ?-=-≥-2

22

2 〔1〕假如1≥b

a ，那么0≤-

b a ，原不等式明显成立． 〔2〕假如

1-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证b b

a a

b a b

a +++≤+++111．

分析：此题的证法专门多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设x

x x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分不在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a b

a b a b

a +++≤+++11

b b

a a

b a b

b a a

+++≤+++++=1111

∴原不等式成立．

讲明：在利用放缩法经常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111b

b a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放

缩法证明不等式时有专门重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要依照题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

典型例题六

例6 关于实数x 的不等式2

)1(2)1(2

2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ?的a 的取值范畴．

分析：分不求出集合A 、B ，然后再分类讨论．

解：解不等式2

)1(2)1(2

2-≤+-a a x ， 2

)1(2)1(2)1(2

22-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．

解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时〔即213>+a 时〕，得????

??>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤

a 时〔即213≤+a 时〕，得??????≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ?，必须?

??+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ?，必须???+≥+≥;

12,1322a a a ???≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．

因此a 的取值范畴是{}

311≤≤-=∈a a R a 或．

讲明：在求满足条件B A ?的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否那么会导致误解． 典型例题七

例6 数列通项公式n n na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++=

关于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-．

分析：数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差依旧某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，咨询题便可解决．

证明：∵n m > ∴m

n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ m n n ma a n a n 2

sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)21

1(21

212121

121--=+++≤-+++n m n m n n )12

110(21)211(21<-<<-=

--n m n n m n ． 讲明：m n n 21212121+++++ 是以12

1+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解此题的关键．此题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式咨询题连在一起，是一个较为典型的综合题目．假如将此题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f

分析：此题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直截了当用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+

证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+

)())((a x a x a x --+-=

)1)((-+-=a x a x

1-+?-=a x a x

)1(21111+=+++<++<-+

讲明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时显现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．

典型例题九

例9 不等式组??

???+->+->x x x x x 22330的解集是〔 〕． A ．{}20<

C ．{}

60<+-2233，知033>+-x

x ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<

x x x x +->+-2233〔30<+-．

∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<

∴???<<<-3

0062x x ∴60<

解法二：∵0>x ，∴可分成两种情形讨论：

(1)当20≤

x x x x +->+-2233〔20≤

(2)当2>x 时，不等式组可化为x x x x +->+-2233〔2>x 〕，

解得62≤

综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<

讲明：此题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是此题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法那么是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．因此此题还可用专门值排除法求解．

典型例题十

例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明4

5)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1

)1(≤f 知，要求证的是4

5)(≤

x f ，因此抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值专门重要，也是解这道题的关键所在． 证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=

c b a c b a +-+++≤

11)1()1(+≤-+=f f

2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤a

b ． ∴12

12<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，a

b c a b ac a b f 444)2(2

2-=-=-， ∴a

b c a b c a b f 44)2(2

2+≤-=- 4

51141141=??+≤??+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ，

∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a

b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，4

5)2(≤-a b f ， ∴4

5)(≤x f ． 讲明：此题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范畴，然后通过比较求出函数在1≤x 范畴内的最大值．