山东省德州市平原一中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试

卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）

A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）

2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x﹣a≤0}，若?U B?A，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2] C．[1，+∞）D．[2，+∞）

3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A ．B．y=e x﹣e﹣x C．y=x3﹣x D．y=xlnx

4．若实数则函数f（x）=asinx+cosx的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B ．C ．D ．

5．下列命题中的假命题是（）

A．?x＞0，3x＞2x B．?x∈（0，+∞），e x＞1+x

C．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0D．?x0∈R，lgx0＜0

6．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（）

A．f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（2）C．f（1）＞f（3）D．f（1）＞f（2）7．函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）

1

A ．

B ．

C ．

D ．

10．对于函数，下列选项中正确的是（）

A ．内是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称

C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置）

11．已知，，则= ．

12．由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是．

13．不等式的解集为．

14．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=2f（x），若当﹣1≤x≤0时，f（x）=x（1+x）；则当0≤x≤1时，f（x）= ．

15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则

x1+x2+x3+x4= ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．是命题p：函数f（x）=（a ﹣）x是R上的减函数，命题q：f（x）=x2﹣3x+3在[0，a]上的值域为[1，3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

17．已知函数

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）当，求函数y=f（x）的值域．

2

18．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是元．

（Ⅰ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x的取值范围；

（Ⅱ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

19．设函数f（x）=（1+x）2﹣21n（1+x）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数．

20．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）

+g（x）

（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；

（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调增区间；

（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

3

2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）

A．[0，1] B．[0， 1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）

考点：交集及其运算；对数函数的定义域．

专题：计算题．

分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．

解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，

B={y|y=x2}={y|y≥0}，

∴A∩B=[0，1）．

故选B

点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．

2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x﹣a≤0}，若?U B?A，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2] C．[1，+∞）D．[2，+∞）

考点：一元二次不等式的解法；补集及其运算．

专题：不等式的解法及应用．

分析：利用不等式的解法即可化简集合A，B，再利用集合的运算即可．

解答：解：对于集合A：

∵x2﹣3x+2＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＞0，

解得x＞2或x＜1，

∴A=（﹣∞，1）∪（2，+∞）．

∵B={x|x﹣a≤0}，

∴C U B=（a，+∞）．

∵?U B?A，

∴a≥2．

∴实数a的取值范围是[2，+∞）．

故选D．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质，属于基础题．

3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A ．B．y=e x﹣e﹣x C．y=x3﹣x D．y=xlnx

考点：奇偶性与单调性的综合．

专题：函数的性质及应用．

分析：分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．

4

解答：解：A．函数y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴A不满足条件．

B．设y=f（x）=e x﹣e﹣x，则f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x）．函数为奇函数，∵y=e x单调递增，y=e﹣x，单调递减，∴y=e x﹣e﹣x在区间（0，+∞）上单调递增，∴B满足条件．

C．函数y=x3﹣x为奇函数，到x＞0时，y'=3x2﹣1，由y'＞0，解得x ＞或x，

∴f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，∴C不满足条件．

D．函数y=xlnx的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，∴D不满足条件．

故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．

4．若实数则函数f（x）=asinx+cosx的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B ．C ．D ．

考点：定积分；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．

专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．

分析：利用微积分基本定理可得：实数a===1．因此函数f（x）

=sinx+cosx=，即可得到对称轴：，令k=﹣1，即可

得出．

解答：解：实数a===lne=1．

∴函数f（x）=sinx+cosx==，

令x+

=，解得，

令k=﹣1，可得x=﹣．

故可得函数f（x ）的图象的一条对称轴方程为．

故选B．

点评：本题考查了微积分基本定理、三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

5．下列命题中的假命题是（）

A．?x＞0，3x＞2x B．?x∈（0，+∞），e x＞1+x

C．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0D．?x0∈R，lgx0＜0

考点：特称命题；命题的否定．

专题：规律型．

分析：根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断．

5

解答：解：A．根据指数函数的性质可知，当x＞0时，，∴3x＞2x成立，

∴A正确．

B．设f（x）=e x﹣（1+x）．则f'（x）=e x﹣1，当x≥0时，f'（x）=e x﹣1≥0，即函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即?x∈（0，+∞），e x＞1+x，∴B正确．

C．设f（x）=x﹣sinx，则f'（x）=1﹣cosx，当x≥0时，f'（x）=1﹣cosx≥0，即函数f （x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即?x∈（0，+∞），x＞sinx，∴C错误．

D．当0＜x＜1时，lgx＜0，∴?x0∈R，lgx0＜0成立，∴D正确．

故选：C．

点评：本题主要考查含有量词的命题的真假判断和命题的否定，比较基础．

6．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（）

A．f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（2）C．f（1）＞f（3）D．f（1）＞f（2）

考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

专题：数形结合．

分析：由定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，我们不难判断函数f（x）在定义域为R的单调性，并可以画出其草图，根据草图对四个答案逐一分析，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）在（2，+∞）为增函数

∴函数y=f（x+2）在（0，+∞）为增函数

又∵函数y=f（x+2）为偶函数，

∴函数y=f（x+2）在（﹣∞，0）为减函数

即函数y=f（x）在（﹣∞，2）为减函数

则函数y=f（x）的图象如下图示：

由图可知：f（0）＞f（1），

f（0）＞f（2），f（1）＞f（2）均成立

只有f（1）与f（3）无法判断大小

故选

C

点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．

7．函数的零点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

6

考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．

分析：由函数=0，得

，分别作出函数

的图象，利用图象的交点确定函数零点的个数．

解答：解：因为函数，所以由=0

，得

，

分别作出函数的图象，如图

由图象可知两个函数的交点个数有2个，即函数的零点个数是2

个．

故选C．

点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．

8．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：导数的综合应用．

分析：切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程，又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．

解答：解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，且y0=ln（x0+a），

又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即

==1，

∴x0+a=1，

∴y0=0，x0=﹣1，

∴a=2．

故选D．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想．

9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）

7

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：导数的概念及应用．

分析：根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．

解答：解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：

当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；

当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；

当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；

当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．

综上所述，y=f（x）的图象可能是B，

故选：B．

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．

10．对于函数，下列选项中正确的是（）

A ．内是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称

C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1

考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：函数f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性，对称性，周期性，以及值域，即可做出判断．

解答：解：函数f（x）=[1+cos（2x ﹣）+1﹣cos（2x+）]﹣1

=（cos2x+sin2x ﹣cos2x+sin2x）

=sin2x，

令﹣+2kπ≤2x ≤+2kπ，k∈Z ，得到﹣+kπ≤x ≤+kπ，k∈Z，

8

∴f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，

当x ∈（

，）时，2x ∈（，π），此时函数为减函数，选项A错误；

当x=0时，f（x）=0，且正弦函数关于原点对称，选项B正确；

∵ω=2，∴最小正周期T==π，选项C错误；

∵﹣1≤sin2x≤1，

∴f（x）=sin2x 的最大值为，选项D错误，

故选：B．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置）

11．已知，，则= ﹣1 ．

考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．

专题：三角函数的求值．

分析：由α的范围，根据sinα的值，求出cosα的值，进而确定出tanα的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵α∈（，π），sinα=，

∴cosα=﹣=﹣，

∴tanα=﹣，

则tan（α﹣）===﹣1．

故答案为：﹣1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

12．由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是

．

考点：定积分．

分析：关键定积分的几何意义，所求图形的面积等于定积分dx的值．

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q5aq.html