专题1配方法的“妙用”

专题提优1 配方法的“妙用”

———专题讲解———

把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式，或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法．这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段．

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆项”和“添项”是配方中常用的技巧．一般常用的基本等式： 1．a2±2ab＋b2=（a±b）2；

2．a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac=（a＋b＋c）2； 3．a2＋b2＋c2±2ab±2bc±2ac=

12（[a±b）2＋（b±c）2

＋（c±a）2

]；

4．ax2＋bx＋c=a（x＋b4ac?b22a）＋

4a．

———提优范例———

【例1】已知a，b，c满足a2＋2b=7，b2－2c=－1，c2－

6a=－17，则a＋b＋c的值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

【提示】根据已知等式左端的特点，将其配成完全平方式

的和，然后利用非负数的性质：几个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．例如：若|a|＋b＋c2=0，则

a = b = c =0．

【感悟】特别地，对于形如a2的二次根式常常可以利用配方法来化简，因为只要适当变形常可使被开方数成为一个完全平方式．去掉根号时一定要注意a2表示的是算术根，防止出错．

【例2】（江苏泰州中考）已知

P?715m?1，

Q?m2?815m（m为任意实数），则P、Q的大小关

系为（ ） A．P?Q B． P?Q

C．

P?Q D．不能确定

【提示】运用差值法、配方法比较．

【感悟】用配方法证明不等关系的主要方法是通过配方产

生非负数，然后利用非负数的性质，或者由平方式的非负性导出不等关系．

【例3】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8=y2＋4y＋4＋4=（y＋2）2＋4， ∵（y＋2）2≥0，∴（y＋2）2＋4≥4， ∴y2＋4y＋8的最小值是4．

（1）求代数式m2＋m＋4的最小值； （2）求代数式4?x2＋2x的最大值；

（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地

上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），

请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【提示】阅读?理解?解答．

【感悟】用配方法确定代数式的最值：将二次三项式ax2

＋bx＋c配方成

a（x＋b4ac?b22a）＋

4a，由的符号

决定其最大（小）值

4ac?b2，此时x=?

b4a2a．

———小试身手———

1．（☆）若△ABC的边长为a、b、c，且满足等式a2＋b2

＋c2=ab＋bc＋ca， 则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形．

2．（☆☆☆2011·天津市）若实数x、y、z满足（x－z）2－4（x－y）（y－z）=0．则下列式子一定成立的是（ ） A．x?y?z?0 B．x?y?2z?0

C．

y?z?2x?0 D．z?x?2y?0

3．（☆☆全国初中数学竞赛天津赛区预赛）已知：m2＋n2＋mn＋m－n＋1=0，则11．（☆☆☆☆）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2－x－1=0的两个实数根，设s1=α＋β，s2=α2＋β2，…，sn=αn

的值等于（ ） ＋βn．根据根的定义，有α2－α－1=0，β2－β－1=0，将两式相加，得（α2＋β2）－（α＋β）－2=0，于是，得s2－s1－2=0．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值； （2）猜想：当n≥3时，sn，sn－1，sn－2之间满足的数量

关系，并证明你的猜想的正确性；

211＋mnA．－1 B．0 C．1 D．2

4．（☆☆☆2011·呼和浩特）若x2－3x＋1=0，则

x2的值为 ．

x4?x2?15．（☆2013?全国初中数学联赛预赛）若x?2x?1?4?0，

（3）根据（2）中的猜想，直接写出

则满足该方程的所有根之和为 ． 6．（☆☆2012?山东淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 ． 7．（☆☆☆2015?浙江杭州模拟）如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为（a2?ab＋12b2）m．正五边形的边长为（2b－5）m，则这段铁丝的总长是 m． 8．（☆☆☆☆2011·四川成都）设S1=1＋

1112＋

22，S2=1

＋

122＋

132，S3=1＋

132＋

142，…，Sn=1＋

1n2＋

1(n?1)2，设S=

S1 ＋

S2＋…＋

Sn，则S= (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

9．（☆☆2014?怀化模拟）若实数x、y、z满足x=4－y，z2=xy－4，求证：x=y．

10．（☆☆☆2013?全国初中数学竞赛九年级预赛）已知：(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式．

求证： a?b?c．

的值．

12．（☆☆☆☆2014?贵州毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天

能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中

x为正整数，且1≤x≤10），求y的最大值； （2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求

该产品的质量档次．

———参考答案———

例1．【答案】B

【解析】由a2＋2b=7，b2－2c=－1，c2－6a=－17得a2＋2b＋b2－2c＋c2－6a＋11=0，∴（a－3）2＋（b＋1）2＋（c－1）=0，∴a=3，b=－1，c=1，因此a＋b＋c=3． 例2．【答案】C 【解析】由题意，知：Q?P=m2?2

871m?m＋1=m2?m＋1=m2?m＋15154＋34=（m?12）2＋34；由于（m?12）2≥0，所以（m?12）2＋34＞0；因此Q?P＞0，即Q＞P． 例3．【解析】（1）m2＋m＋4=（m＋12）2＋151，∵（m＋42）2≥0，∴（m＋12）2＋1515≥，则m2＋m＋4的最小44值是15； 4（2）4?x2＋2x=?（x?1）2＋5，∵?（x?1）2≤0，∴?（x?1）2＋5≤5，则4?x2＋2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20?2x）=?2x2＋20x， ∵?2x2＋20x=?2（x?5）2＋50=?2（x?5）2≤0， ∴?2（x?5）2＋50≤50， ∴?2x2＋20x的最大值是50，此时x=5， 则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 1．【答案】D 【解析】将已知等式的两边同乘以2后，移项、配方得 （a?b）2＋（b?c）2＋（c?a）2=0 ∴a=b=c．因此，△ABC是等边三角形． 2．【答案】D

【解析】∵（x－z）2－4（x－y）（y－z）=0，∴x2－2xz＋z2－4xy＋4xz＋4y2－4yz=0，x2＋2xz＋z2－4xy－4yz＋4y2=0，（x＋z）2－4y（y＋z）＋4y2=0，（x＋z－2y）2=0，∴x＋z－2y=0． 3．【答案】B

【解析】将m2＋n2＋mn＋m－n＋1=0变形，得2m2＋2n2＋2mn＋2m－2n＋2=0，即（m＋1）2＋（n－1）2＋（m＋n）2=0，∴m＋1=0，n－1=0，解得m=－1，n=1．∴

11＋mn=－1＋1=0．

4．【答案】【

解

1 8析

】

由

已

2知

x2

－3x＋1=0，得

x2=3x

－1．将

x2=3x

－1代入

22xx23x?1x3x?1=1． x=====

x4?x2?1(3x?1)2?x2?110x2?6x?210(3x?1)?6x?224x?88(3x?1)85．【答案】2?6 12，原方程化为x2?2x?3=0，（x?1）2=4，x1=3，x2=?1（舍去），∴x=3； 【解析】当2x?1≥0时，即x≥

当2x?1＜0，即x＜12时，原方程化为x2＋2x?5=0，（x＋1）2=6，x＋1=±6，x1=?1＋6，x2=?1?6，∵?1＋6＞12，∴x1=?1＋6（舍去），∴x=?1?6． 则3＋（?1?6）=2?6． 6．【答案】答案不唯一，如101，110，202，220等 【解析】设此三位数为：100x＋10y＋z，根据题意得：x2＋y2＋z2=2xy或x2＋y2＋z2=2xz或x2＋y2＋z2=2yz，即x2＋y2－2xy=－z2或x2－2xz＋z2=－y2或y2＋z2－2yz=－x2，则（x－y）2=－z2或（x－z）2=－y2或（y－z）2=－x2，故x－y=z或x－z=y或y－z=x，故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行． 7．【答案】25 【解析】根据题意得：4（a2?ab＋12b2）=5（2b－5），4a2－4ab＋2b2=10b－25，4a2－4ab＋2b2－10b＋25=0，4a2－4ab＋b2＋b2－10b＋25=0，（2a－b）2＋（b－5）2=0，∵（2a－b）2≥0，（b－5）2≥0，∴2a－b=0，b－5=0，∴b=5，a=∴这段铁丝的总长是5（2b－5）=5×（2×5－5）=25（m）． 52，n2?2n8．【答案】

n?11【解析】 ∵Sn=1＋2n11－＋…＋1＋3n21111n(n?1)?1[n(n?1)?1]1＋=，∴Sn==1＋－，∴S=1＋1－＋1＋

nn?122n(n?1)(n?1)2[n(n?1)]211n2?2n－=n＋1－=． n?1n?1n?19．【解析】∵x=4－y，∴z2=xy－4=（4－y）y－4=－y2＋4y－4=－（y－2）2≥0，所以y=2，x=2． 10．【解析】证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得

原式＝3x2＋2（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0． 即4（a＋b＋c）2－12（ab＋ac＋bc）=0． ∴ 2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca=0,

?a?b?0,?（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2=0．要使等式成立，必须且只需：?b?c?0,

?c?a?0,?解这个方程组，得a?b?c． 11．【解析】（1）移项，得x2－x=1， 配方，得

，即

，

开平方，得于是，s1=1，s2=3；

，即，所以，，．

（2）猜想：sn=sn－1＋sn－2． 证明：根据根的定义，α2－α－1=0， 两边都乘以αn2，得 αn－αn1－αn2=0，①

－

－

－

同理，βn－βn1－βn2=0，②

－

－

①＋②，得（αn＋βn）－（αn1＋βn1）－（αn2＋βn2）=0，

－

－

－

－

因为 sn=αn＋βn，sn－1=αn1＋βn1，sn－2=αn2＋βn2，所以 sn－sn－1－sn－2=0，

－

－

－

－

即sn=sn－1＋sn－2． （3）47．理由：

由（1）知，s1=1，s2=3，由（2）中的关系式可得：

s3=s2＋s1=4，s4=s3＋s2=7，s5=7＋4=11，s6=11＋7=18，s7=18＋11=29，s8=29＋18=47． 即

．

12．【解析】（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件，

∴第x档次，提高的档次是x－1档．

∴y=[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，即y=－10x2＋180x＋400（其中x是正整数，且1≤x≤10）．

∵－10x2＋180x＋400=－10（x?9）2＋1210，－10（x?9）2≤0，∴y=－10x2＋180x＋400的最大值为1210元； （2）由题意可得－10x2＋180x＋400=1120，

整理，得x2－18x＋72=0，解得x1=6，x2=12（舍去）． 答：该产品的质量档次为第6档．

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