《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法

圆锥曲线的综合问题(文视情况

[知识能否忆起]

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离．

若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题

设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2|x1

－x2|或

1

1＋2|y1－y2|. k

[小题能否全取]

x2y2

1．(教材习题改编)与椭圆＋＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )

1216x2y22

A．y－＝1 B.－x＝1

33

2

33

C.x2－y2＝1 48

33

D.y2－x2＝1 48

y2x2

解析：选A 设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，

ab

??c

则?a＝2，??c＝2，

a2＋b2＝c2，

2

得a＝1，b＝3. x2

故双曲线方程为y－＝1.

3

x2y2

2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )

94A．相交 C．相离

B．相切 D．不确定

解析：选A 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直

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线与椭圆必相交．

3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 C．3条

B．2条 D．4条

解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．

x2y2

4．过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，

ab与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．

解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以B点的坐标为(0，a)，aac26－，?，代入椭圆方程得a2＝3b2，则c2＝2b2，则2＝，故e＝. 故M点的坐标为??22?a33

答案：

6 3

2

2

y2

5．已知双曲线方程是x－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使

2P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________________．

解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由

22y122y2x1－＝1，x2－＝1，得

22

y2－y12?x2＋x1?k＝＝x2－x1y2＋y1

2×4

＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51

2＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．

答案：4x－y－7＝0

1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．

2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

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直线与圆锥曲线的位置关系 典题导入

x2y2

[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为

ab2

.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. 2

(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为

10

时，求k的值． 3

a＝2，??c2

[自主解答] (1)由题意得?＝，

a2??a＝b＋c，

2

2

2

解得b＝2，

x2y2

所以椭圆C的方程为＋＝1.

42

??y＝k?x－1?，(2)由?x2y2得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

??4＋2＝1，

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝2k2－4x1x2＝，

1＋2k2所以|MN|＝＝2

?x2－x1?2＋?y2－y1?2

， 1＋2k24k2

?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ?1＋k2??4＋6k2?

. 1＋2k2

|k|1＋k

，

＝

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝

2

所以△AMN的面积为

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|k|4＋6k21

S＝|MN|· d＝. 21＋2k2

|k|

4＋6k21＋2k2

10

，解得k＝±1. 3

由题悟法

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．

以题试法

1．(2012·信阳模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )

11

－，? A.??22?C．[－1,1]

B．[－2,2] D．[－4,4]

由＝解析：选C 易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，

2??y＝8x，联立??k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.

?y＝k?x＋2??

当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0， 可解得－1≤k≤1.

典题导入

x2y2

[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离

ab1

心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C

2相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得

最值与范围问题 ??2＋c?2＋1＝10，??c1??a＝2，

??c＝1，

得? ??a＝2.

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x2y2

所以椭圆方程为＋＝1.

43

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.

当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，

??y＝kx＋m，由?消去y，整理得

22

?3x＋4y＝12?

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ① 则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，

?

?4m－12xx＝.?3＋4k

2

12

2

8km

x1＋x2＝－，3＋4k2

1

?－4km，3m?

所以线段AB的中点为M?22?. 3＋4k3＋4k??

－2km13m因为M在直线OP：y＝x上，所以＝. 23＋4k23＋4k23

得m＝0(舍去)或k＝－.

2

此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则

?x＋x＝m，

Δ＝3(12－m)＞0，?m－3

?xx＝3.

2

2

2

12

所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝

39

·12－m2， 6

设点P到直线AB的距离为d，则 d＝|8－2m|

2|m－4|＝. 22133＋2

设△ABP的面积为S，则

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4

所以|AB|＝2|x2－x1|，即＝2|x2－x1|.

3

22

4?1－b?4?1－2b?88b42

则＝(x1＋x2)－4x1x2＝－＝， 9?1＋b2?21＋b2?1＋b2?2

解得b＝

2

. 2

x2y22

8．(2012·黄冈质检)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右

ab2焦点F的距离的最大值为2＋1.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．

?e＝c＝2

?a2

解：(1)∵?

??a＋c＝2＋1

??a＝2

，∴?，∴b＝1，

?c＝1?

x22

∴椭圆的方程为＋y＝1.

2(2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线l，

x22

设l的方程为y＝k(x－1)，代入＋y＝1中，得

2(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，

2k＋12k2－2x1x2＝2，

2k＋1

－2k

4k2

∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝2.

2k＋1

?2k，－k?设AB的中点为M，则M?2.

2k2＋1??2k＋1?

∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，

2

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k

∴k＝－1，即(1－2m)k2＝m. 2·2km－2

2k＋11

∴当0≤m＜时，k＝±

2

m1－2m

，即存在满足题意的直线l；

2k2＋1

1

当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l. 2

x2y2

9．(2012·江西模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，直线y＝x＋6与以原点为圆心，

ab以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左，右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线1?

过定点C??6，0?，求实数k的取值范围．

x0y0?解：(1)设P(x0，y0)，x0≠±a，则G??3，3?. 又设I(xI，yI)，∵IG∥F1F2， y0∴yI＝，

3∵|F1F2|＝2c，

11y0∴S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·， | 223| ∴2c·3＝2a＋2c，

c1|6|∴e＝＝，又由题意知b＝，

a2

1＋1

x2y2

∴b＝3，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.

43

xy??4＋3＝1

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

??y＝kx＋m8km

由题意知Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2＋3，又x1＋x2＝－，则

3＋4k2

6m

y1＋y2＝，

3＋4k2

2

2

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?－4km，3m?∴线段AB的中点P的坐标为?22?.

?3＋4k3＋4k?

11

x－?， 又线段AB的垂直平分线l′的方程为y＝－?k?6?1?－4km－1?点P在直线l′上，∴＝－?26?， 2k3＋4k??3＋4k

3m

22

?4k＋3?136

∴4k2＋6km＋3＝0，∴m＝－(4k2＋3)，∴＜4k2＋3，∴k2＞，解得k＞或k26k36k328

＜－

6

， 8

∴k的取值范围是?－∞，－?

6??6?∪，＋∞. 8??8?

1．(2012·长春模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，|AM |,·|BM|,cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．

(1)求|AM|,＋|BM|,的值，并写出曲线C的方程； (2)求△APQ的面积的最大值．

解：(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|,＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得|AM|,2＋|BM|,2

－2|AM|,·|BM|,cos 2θ＝|AB|,2＝4，

即(|AM|,＋|BM|,)2－2|AM|,·|BM|,·(1＋cos 2θ)＝4， 所以(|AM|,＋|BM|,)2－4|AM|,| BM|,·cos2θ＝4. 因为|AM|,·|BM|,cos2θ＝3， 所以(|AM|,＋|BM|,)2－4×3＝4， 所以|AM|,＋|BM|,＝4. 又|AM|,＋|BM|,＝4＞2＝|AB|，

因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x2y2

＋＝1(a＞b＞0)， a2b2则a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. x2y2

所以曲线C的方程为＋＝1.

43

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(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.

??x＝my＋1由?x2y2，消去x， ??4＋3＝1

整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①

显然方程①的判别式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

1

则△APQ的面积S△APQ＝×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.

2

6m9

由根与系数的关系得y1＋y2＝－2，y1y2＝－2，

3m＋43m＋4所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×. 22

?3m＋4?令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝

48

， 1t＋＋2t3m2＋3

1

由于函数φ(t)＝t＋在[3，＋∞)上是增函数，

t

110

所以t＋≥，当且仅当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号，

t348

所以(y1－y2)2≤＝9，即|y1－y2|的最大值为3，

10＋23

所以△APQ的面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x＝1.

1

2．(2012·郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0)，m＜3，半径为5，圆C与离心率e＞的

2x2y2

椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的其中一个公共点为A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．

ab

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．

解：(1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m＜3)， 将点A的坐标代入圆C的方程中，得(3－m)2＋1＝5， 即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5.

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∴m＜3，∴m＝1.

∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝5. (2)直线PF1能与圆C相切，

依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0，

|k－0－4k＋4|

若直线PF1与圆C相切，则＝5.

2

k＋1111

∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝或k＝. 22

1136

当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去．

2111

当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为－4，

2∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a＝|AF1|＋|AF2|＝?3＋4?2＋12＋

?3－4?2＋12＝52＋2＝62.

∴a＝32，即a2＝18，

4221∴e＝＝＞，满足题意．

3232故直线PF1能与圆C相切．

x2y2

直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，

182把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y2－16y－2＝0，由根与系数的关系得y1162＋y2＝，y1y2＝－，

1313

故S△DBF2＝4|y1－y2|＝4

?y1＋y2?2－4y1y2＝

2410. 13

1．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为( )

A．(1,0)

B．(2,2)

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