函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用(终极完整无敌升华版)
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函数项级数一致收敛性判别法及其应用
栾娈 20111101894
数学科学学院数学与应用数学11级汉班
指导老师:吴嘎日迪
摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数
1.函数列与一致收敛性
(1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{Sn(x)}(或函数项级数?un(x)的
n?1?部分和序列)。若对任给的??0,存在只依赖于?的正整数N(?),使n> N(?)时,不等式
Sn(x)?S(x)??
对X上一切x都成立,则称{Sn(x)}(?un(x))在X上一致收敛于S(x).
n?1?一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达: 设 Sn?S?supSn(x)?S(x),
x?X如果 limSn?S?0就称Sn(x)在X上一致收敛于S(x).
n??例1 讨论 Sn(x)?由于S(x)=0, 故
nx在X?[0,1]的一致收敛性 221?nx?1?1 Sn?S?maxSn(x)?Sn???,
o?x?1?n?2不收敛于零,故在[0,1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f给的正数?,存
n}一致收敛于的f几何意义:对任
nN,对一切序号大于N的曲线y=f(x)都落在以曲
线y= f(x)+?与y=f(x)-?为上,下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则(充要条件)
1
柯西准则
函数项级数?uk(x)在I上一致收敛的充要条件是;
k?1????0,?N?N(E)?N?,?n?N, ?p?N?,及?x?I都有n?pk?n?1
?uk(x)?Sn?p(x)-Sn(x)?un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)???证明:必要性: 已知?uk(x)在区间I一致收敛,设其和函数式S(x),即
k?1 Sn(x)?S(x)?也有Sn?p(x)?S(x)?于是
n?p?2
?2
k?n?1?uk(x)?Sn?p(x)?Sn(x)?Sn?p(x)?S(x)?S(x)?Sn(x)?Sn?p(x)?S(x)?S(x)?Sn(x)??2??2??
充分性:已知???0,?N?N(?)?N?,?n?N,?p?N?及?x?I 有
?k?n?1?un?pk(x)?Sn?p(x)-Sn(x)??
从而?uk(x)在区间
k?1收敛S(x),因为p是任意正整数,所
?以当p??时,上述不等式有Sn(x)?S(x)??即函数项级数?uk(x)在区间I一
k?1致收敛. 余项准则
函数列{fn}在D上一致收敛于f的充要条件是limsupfn(x)?f(x)?0
n??x?D3.函数项级数一致收敛判别法 (1)充分条件
定理1(魏尔斯特拉斯判别法)
若对充分大的n,恒有实数an使得un(x)?an对X上任意的x都成立,并且数项级
2
数?an收敛,则?un(x)在X上一致收敛.
证明 由?an的收敛性,对任给的?>0,可得N(?),使n>N(?)时 an?1?an?2?...?an?p??(p=1,2,…), 对X上的一切的x我们有
un?1(x)?...?un?p(x)?un?1(x)?...?un?p(x)?an?1?an?2?...?an?p??, 由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.
例2 若?an绝对收敛,则?ansinnx和?ancosnx 在(??,??)内都是绝对收敛和一致收敛的级数. 事实上,
ansinnx?an, ancosnx?an, 由魏尔斯特拉斯判别法即可得证. 定理2(阿贝尔判别法)
若在X上?bn(x)一致收敛,又对X中每一固定的x,数列an(x单调.而对任意的n和X中每个x,有an(x)?L(不依赖于x和n的定数),那么?an(x)bn(x)在
X上一致收敛.
这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似,其证明也大体相同,只要利用阿贝尔引理即可。事实上,由?bn(x)的一致收敛性,对任意给定的?>0,可得N(?),使n>N(?)时恒有
bn?1(x)?...?bn?p(x)?? (p=1,2…), 固定x,由上式及an(x)的单调性,利用阿贝尔引理得到
an?1(x)bn?1(x)?...?an?p(x)bn?p(x) ??(an?1(x)?2an?p(x)
?3L?(n?N(?);p?1,2,...)再从一致收敛的柯西充要条件即可. 例3设级数?an收敛,证明lim??x?0an??an. xn证明:因为
1111{}单调且一致有,且,故?(x?[0,??),n?1,2,...)?1xxxxnn(n?1)n界,又级数?an收敛,即?an在[0,??)上一致收敛,所以由阿贝尔判别法知,
3
anan(n?1,2...)在[0,??)上连续, 在上一致收敛,又[0,??)?nx
nx故?
an
在[0,??)上也连续, xn
anan?lim?x?0?nx??an. nx即 lim??x?0定理3(狄利克雷判别法) 设?bn(x)的部分和
n?1?Bn(x)??bi(x)
i?1n在X上一致有界,又对X内每一x,数列an(x)单调,并且函数列{an(x)}在X上一致收敛于零,则?an(x)bn(x)在X上一致收敛. 证明 设
i?n?1?b(x)?L(不依赖于n和x的定数),
in那么对X上任意的x和任意的正整数p恒有
?b(x)??b(x)??b(x)?2L
iiii?1i?1n?p?因此,利用阿贝尔引理
n?p
i?n?1?a(x)b(x)?2L(aiin?1(x)?2an?p(x)),
再由an(x)一致收敛于零即得.
(?1)n?1x2例3 讨论?的一致收敛性 2nn?1(1?x)?x2n设 an(x)? ,?(x)?(?1)n2n(1?x)易见对一切n及x?(??,??)都有??n(x)?1,
k?1n即一致有界,另外,对任意固定的x?(??,??)都有
4
an?1x2(1?x2)n1 ????1 2n?122an(1?x)x1?x所以an(x)对任意的x单调递减,并且有
x2x21 an(x)????0 (n??)
(1?x2)n1?nx2n故an(x)在(??,??)上随n??而一致收敛于零.
(?1)n?1x2依狄利克雷判别法知级数?内一致收敛. 在(-?,??)2nn?1(1?x)?(2)必要条件
函数项级数?un(x)在数级D上一致收敛的必要条件是函数列{un(x)}在D上一致收敛于零.
4.由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法 定理4:已知
?un?1?n(x),?vn(x)在I上一致收敛,且?N?N,当
n?1??n?N时有vn(x)?wn(x)?un(x)则?wn(x)在I上一致收敛.
n?1证明:不妨设n?1开始,便有vn(x)?wn(x)?un(x),由?un(x),?vn(x)在I上
n?1n?1??一致收敛,根据一致收敛的柯西准则:???0,?N1?N,当n?Nn,?p?N, 有 ???un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)?? 即 ???vn?1(x)?vn?2(x)?...?vn?p(x)?? 而 vn(x)?wn(x)?un(x) (n=1,2,…) 就必有 ???vn?1(x)?vn?2(x)?...?vn?p(x)? wn?1(x)?wn?2(x)?..?.wn?p(x)? un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)?? 此即?wn(x),在I上满足柯西一致收敛条件.
n?1? 5
推论:已知数项级数
?a,?bnn?1n?1??n都收敛,若?N?N,当
?n?N时有an?wn(x)?bn,x?I,则函数项级数?wn(x),在I一致收敛,显然当
n?1wn(x)?w,即?wn(x)为常数项级数,则可判断?wn(x)收敛.
n?1n?1??定理5:设函数数列{un(x)},x?[a,b],?n?N. un(x)在[a,b]单调,且?un(a)及
n?1??un?1?n(b)都绝对收敛,则级数?un(x)在[a,b]一致收敛.
n?1?证明时只要注意有min?un(a),un(b)??un(x)?max?un(a),un(b)?并用定理四的推论即得.
参考文献;
1. 欧阳光中,朱学炎,金福临等.数学分析第三版下册[M],北京:高等教育出版社,1978,75—89. 2. 华东师范大学数学系.数学分析[M],北京:高等教育出版社,1981.
3. 张天德,韩振来.数学分析同步辅导[M],天津:天津科学技术出版社,2010,26—29.
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