2015年福建省三明市中考数学试卷解析

2015年福建省三明市中考数学试卷

一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项） 1．（4分）（2015?福建）下列各数中，绝对值最大的数是（ ） 5 0 A．B． ﹣3 C． D． ﹣2 2．（4分）（2015?福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ） 6654 A．B． C． D． 0.1008×10 1.008×10 1.008×10 10.08×10 3．（4分）（2015?福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D． 4．（4分）（2015?福建）下列计算正确的是（ ） ﹣120 A．B． C． D． =±2 2=4 2=0 2=﹣2 5．（4分）（2015?福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（ ） 156 162 165 167 A．B． C． D． 6．（4分）（2015?福建）如图，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（ ）

AB∥CD AB=CD AC=BD OA=OC A．B． C． D． 7．（4分）（2015?福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（ ） A．摸出的2个球都是白球 B． 摸出的2个球有一个是白球 摸出的2个球都是黑球 C．D． 摸出的2个球有一个黑球 第1页（共20页）

8．（4分）（2015?福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ） π 2π 4π 6π A．B． C． D． 9．（4分）（2015?福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）

AD=BD A． BD=CD B． ∠A=∠BED C． ∠ECD=∠EDC D． 10．（4分）（2015?福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线

交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）

A．n=﹣2m B． n=﹣ C． n=﹣4m D． n=﹣

二、填空题（共6题，每题4分，满分24分） 11．（4分）（2015?福建）化简：

= ．

12．（4分）（2015?福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有 人．

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13．（4分）（2015?福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值： ． 14．（4分）（2015?福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 度．

15．（4分）（2015?福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有

个“?”．

16．（4分）（2015?福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是 ．

三、解答题（共9题，满分86分）

17．（8分）（2015?福建）先化简，再求值：（x﹣1）+x（x+2），其中x=

18．（8分）（2015?福建）解不等式组

19．（8分）（2015?福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB

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2

．

，并把解集在数轴上表示出来．

与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）

20．（8分）（2015?福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的． 类别 频数 频率 a 0.20 助人为乐美德少年 3 b 自强自立美德少年 7 0.35 孝老爱亲美德少年 6 0.32 诚实守信美德少年 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的a= ，b ；

（2）统计表后两行错误的数据是 ，该数据的正确值是 ；

（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率． 21．（8分）（2015?福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 3 4 批发价（元/千克） 4 7 零售价（元/千克） 当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？

22．（10分）（2015?福建）已知二次函数y=﹣x+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

2

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23．（10分）（2015?福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ． （1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长； （2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D． ①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由； ②求线段PQ的长．

24．（12分）（2015?福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求点O到直线AB的距离；

（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

25．（14分）（2015?福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°． （1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

222

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF=ME+NF； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

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2015年福建省三明市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项） 1．（4分）（2015?福建）下列各数中，绝对值最大的数是（ ） 5 0 A．B． ﹣3 C． D． ﹣2 考点： 有理数大小比较；绝对值． 分析： 根据绝对值的概念，可得出距离原点越远，绝对值越大，可直接得出答案． 解答： 解：|5|=5，|﹣3|=3，|0|=0，|﹣2|=2， ∵5＞3＞2＞0， ∴绝对值最大的数是5， 故选：A． 点评： 本题考查了实数的大小比较，以及绝对值的概念，解决本题的关键是求出各数的绝对值． 2．（4分）（2015?福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ） 6654 A．B． C． D． 0.1008×10 1.008×10 1.008×10 10.08×10 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 5解答： 解：100800=1.008×10． 故故选C． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）（2015?福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 主视图是从正面看到的图形，是这个几何体从正面照射的正投影，据此求解． 第6页（共20页）

解答： 解：观察该几何体发现：其主视图的第一层有两个正方形，上面有一个正方形，且位于左侧， 故选D． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，难度不大． 4．（4分）（2015?福建）下列计算正确的是（ ） ﹣120 A．B． C． D． =±2 2=4 2=0 2=﹣2 考点： 负整数指数幂；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂． 分析： A：根据有理数的乘方的运算方法判断即可． B：根据零指数幂的运算方法判断即可． C：根据负整数指数幂的运算方法判断即可． D：根据算术平方根的含义和求法判断即可． 2解答： 解：∵2=4， ∴选项A正确； ∵2=1， ∴选项B不正确； ∵2=， ∴选项C不正确； ∵， ∴选项D不正确． 故选：A． 点评： （1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a=﹣p﹣10（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 0（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a=10（a≠0）；②0≠1． （3）此题还考查了有理数的乘方的运算方法，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握． 5．（4分）（2015?福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（ ） 156 162 165 167 A．B． C． D． 考点： 中位数． 分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：142，158，162，165，167，167，175，第四个数为165， 则中位数为：165． 故选C． 点评： 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如第7页（共20页）

果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6．（4分）（2015?福建）如图，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（ ）

AB∥CD A． AB=CD B． AC=BD C． OA=OC D． 考点： 平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质推出即可． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC， 但是AC和BD不一定相等， 故选C． 点评： 本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分． 7．（4分）（2015?福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（ ） A．摸出的2个球都是白球 B． 摸出的2个球有一个是白球 摸出的2个球都是黑球 C．D． 摸出的2个球有一个黑球 考点： 随机事件． 分析： 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 解答： 解：A、只有一个白球，故A是不可能事件，故A正确； B、摸出的2个球有一个是白球是随机事件，故B错误； C、摸出的2个球都是黑球是随机事件，故C错误； D、摸出的2个球有一个黑球是随机事件，故D错误； 故选：A． 点评： 本题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．（4分）（2015?福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ） π 2π 4π 6π A．B． C． D． 考点： 弧长的计算． 分析： 根据弧长的计算公式l=计算即可． 第8页（共20页）

解答： 解：l===2π． 故选：B． 点评： 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l=是解题的关键． 9．（4分）（2015?福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）

∠A=∠BED ∠ECD=∠EDC AD=BD A．C． D． 考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： 由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可． 解答： 解：∵MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∠BDE=90°； ∵∠ACB=90°， ∴CD=BD； ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°， ∴∠A=∠BED； ∵∠A≠60°，AC≠AD， ∴EC≠ED， ∴∠ECD≠∠EDC． 故选：D． 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． BD=CD B． 10．（4分）（2015?福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线

交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）

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A．n=﹣2m B． n=﹣ C． n=﹣4m D． n=﹣ 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可． 解答： 解：∵点C的坐标为（m，n）， ∴点A的纵坐标是n，横坐标是：， ∴点A的坐标为（，n）， ∵点C的坐标为（m，n）， ∴点B的横坐标是m，纵坐标是：， ∴点B的坐标为（m，）， 又∵， ∴mn=22 ∴mn=4， 又∵m＜0，n＞0， ∴mn=﹣2， ∴n=﹣ 故选：B． 点评： 此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 二、填空题（共6题，每题4分，满分24分） 11．（4分）（2015?福建）化简：

=

．

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考点： 约分． 分析： 将分母分解因式，然后再约分、化简． 解答： 解：原式==． 点评： 利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零． 12．（4分）（2015?福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有 18 人．

考点： 扇形统计图． 专题： 计算题． 分析： 根据扇形统计图求出A占的百分比，由调查的总人数50计算即可得到结果． 解答： 解：根据题意得：（1﹣16%﹣48%）×50=18（人）， 则该班“很喜欢”数学的学生有18人． 故答案为：18 点评： 此题考查了扇形统计图，弄清图形中的数据是解本题的关键． 13．（4分）（2015?福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值： 2 ． 考点： 一次函数的性质． 专题： 开放型． 分析： 直接根据一次函数的性质进行解答即可． 解答： 解：当在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大时，k＞0，则符合条件的k的值可以是1，2，3，4，5… 故答案是：2． 点评： 本题考查了一次函数的性质．在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 14．（4分）（2015?福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 36 度．

考点： 圆周角定理；正多边形和圆． 第11页（共20页）

分析： 圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解． 解答： 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴=====72°， ∴∠ADB=×72°=36°． 故答案为36． 点评： 本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键． 15．（4分）（2015?福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有 111

个“?”．

考点： 规律型：图形的变化类． 分析： 观察图形可知前4个图形中分别有：3，7，13，21个“?”，所以可得规律为：第n个图形中共有[n（n+1）+1]个“?”．再将n=10代入计算即可． 解答： 解：由图形可知： n=1时，“?”的个数为：1×2+1=3， n=2时，“?”的个数为：2×3+1=7， n=3时，“?”的个数为：3×4+1=13， n=4时，“?”的个数为：4×5+1=21， 所以n=n时，“?”的个数为：n（n+1）+1， n=10时，“?”的个数为：10×11+1=111． 故答案为111． 点评： 本题主要考查了规律型：图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律，难度适中． 16．（4分）（2015?福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是 1 ．

考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直第12页（共20页）

线上时，AB′有最小值． 解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4， 由轴对称的性质可知：BC=CB′=3， ∵CB′长度固定不变， ∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值． 根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值， ∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1． 故答案为：1． 点评： 本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键． 三、解答题（共9题，满分86分）

17．（8分）（2015?福建）先化简，再求值：（x﹣1）+x（x+2），其中x=． 考点： 整式的混合运算—化简求值． 分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 222解答： 解：原式=x﹣2x+1+x+2x=2x+1， 当x=时，原式=4+1=5． 点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 2

18．（8分）（2015?福建）解不等式组

，并把解集在数轴上表示出来．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上，再表示出它们的公共部分即可． 解答： 解：， 解①得：x≥﹣1， 解②得：x＜2． ， 不等式组的解集是：﹣1≤x＜2． 点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的． 第13页（共20页）

19．（8分）（2015?福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）

考点： 解直角三角形的应用． 专题： 应用题． 分析： 在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可． 解答： 解：在Rt△ABC中，BC=60米，∠BCA=62°， 可得tan∠BCA=，即AB=BC?tan∠BCA=60×1.88≈113（米）， 则河宽AB为113米． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 20．（8分）（2015?福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的． 类别 频数 频率 a 0.20 助人为乐美德少年 3 b 自强自立美德少年 7 0.35 孝老爱亲美德少年 6 0.32 诚实守信美德少年 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的a= 4 ，b 0.15 ；

（2）统计表后两行错误的数据是 0.32 ，该数据的正确值是 0.30 ；

（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率． 考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表． 分析： （1）根据频率=直接求得a、b的值即可； （2）用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 解答： 解：（1）由题意得：a=20×0.20=4，b=3÷20=0.15； （2）∵6÷20=0.3≠0.32， ∴最后一行数据错误，正确的值为0.30； （3）列表得： 第14页（共20页）

A B C A AB AC B BA BC C CA CB ∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种， ∴P（A，B都被采访到）==． 点评： 本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识，解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 21．（8分）（2015?福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 3 4 批发价（元/千克） 4 7 零售价（元/千克） 当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？

考点： 二元一次方程组的应用． 分析： 设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，根据“用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，”列出方程组解答即可． 解答： 解：设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，由题意得 解得 答：这天他批发的黄瓜15千克，茄子是25千克． 点评： 此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 22．（10分）（2015?福建）已知二次函数y=﹣x+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

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考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 2分析： （1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=2+4m＞0于是得到m＞﹣1； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式2为：y=﹣x+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，直线y=﹣x+3即可得到结果． 解答： 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点， 2∴△=2+4m＞0 ∴m＞﹣1； （2）∵二次函数的图象过点A（3，0）， ∴0=﹣9+6+m ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：y=﹣x+2x+3， 令x=0，则y=3， ∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：y=kx+b， ∴解得：， ， 2∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3， 2∵抛物线y=﹣x+2x+3，的对称轴为：x=1， ∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2， ∴P（1，2）． 点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键． 23．（10分）（2015?福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ． （1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长； （2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D． ①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由； ②求线段PQ的长．

考点： 圆的综合题． 分析： （1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度． （2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定第16页（共20页）

理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC． （3）利用割线定理来求PQ的长度即可． 解答： 解：（1）如图①，连接OQ． ∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上， ∴OQ⊥OP． 又∵BP=OB=OQ=2， ∴PQ===2，即PQ=2； （2）OQ⊥AC．理由如下： 如图②，连接BC． ∵BP=OB， ∴点B是OP的中点， 又∵PC=CQ， ∴点C是PQ的中点， ∴BC是△PQO的中位线， ∴BC∥OQ． 又∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OQ⊥AC． （3）如图②，PC?PQ=PB?PA，即PQ=2×6， 解得PQ=2． 2 点评： 本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算． 24．（12分）（2015?福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；

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（2）求点O到直线AB的距离；

（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式； （2）根据勾股定理，可得OA、OB、AB的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案； （3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标． 2解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）﹣1， 将B点坐标代入函数解析式，得 2（5﹣1）a﹣1=3， 解得a=． 故抛物线的解析式为y=（x﹣1）﹣1； （2）由勾股定理，得OA=1+1=2，OB=5+3=34，AB=（5﹣1）+（3+1）=32， 222OA+AB=OB， ∴∠OAB=90°， O到直线AB的距离是OA=； （3）设M（a，b），N（a，0） 当y=0时，（x﹣1）﹣1=0， 解得x1=3，x2=﹣1， D（3，0），DN=3﹣a． ①当△MND∽△OAB时，化简，得4b=a﹣3 ① M在抛物线上，得b=（a﹣1）﹣1 ② 222122222222222=，即=， 联立①②，得， 解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=， 第18页（共20页）

M1（﹣2，）， 当△MND∽△BAO时，=，即=， 化简，得b=12﹣4a ③， 联立②③，得， 解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80， M2（﹣17，80）． 综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）． 点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 25．（14分）（2015?福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°． （1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

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（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF=ME+NF； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

考点： 四边形综合题． 分析： （1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF； （2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，222NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG=ME+MG，等222量代换即可证明EF=ME+NF； （3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF． 解答： （1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG， ∴AF=AG，∠FAG=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠GAE=45°， 在△AGE与△AFE中， 第19页（共20页）

， ∴△AGE≌△AFE（SAS）； （2）证明：设正方形ABCD的边长为a． 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM． 则△ADF≌△ABG，DF=BG． 由（1）知△AEG≌△AEF， ∴EG=EF． ∵∠CEF=45°， ∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形， ∴CE=CF，BE=BM，NF=DF， ∴a﹣BE=a﹣DF， ∴BE=DF， ∴BE=BM=DF=BG， ∴∠BMG=45°， ∴∠GME=45°+45°=90°， 222∴EG=ME+MG， ∵EG=EF，MG=BM=DF=NF， 222∴EF=ME+NF； （3）解：EF=BE+DF． 点评： 本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．

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