第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-1

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式

§1 矩阵的相似对角形

一、知识回顾

1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。 2．特征值与特征向量，特征子空间V?及其维数，特征值的代数重数与几何重数。 3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。 4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。 若A为n阶矩阵，矩阵

???a11??a21??E?A??????an1?a12???a1n???a2n? ?????ann?

??a22??an2?称为A的特征矩阵。又多项式

f(?)?|?E?A|???a1?nn称为A的特征多项式，这里a1???aii??trA，an?(?1)|A|，ai是A的所有i阶主子

nn?1???ai?n?i???an

i?1式的和与(?1)i的乘积。trA叫A的迹。

属于矩阵A的同一个特征值?0的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间

V?0，称为A的特征子空间。特征子空间V?0的维数不超过特征根?0的重数。

二、寻找矩阵的相似对角形的方法 例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似 ?5?(1) A??1???1602?3??1??1，(2) A?2????1???22122??3??2，(3) A??4???1??4?1?1?80??0。 ??2??提示：(1) ?1?2,?2?1?3,?3?1?3；

??1??3??3???????x1?1,x2??1,x3??1；

??????????0???2?3???2?3????2?P?1???03?12?3???1，P?1?2?3??3???1?13???3?2?13??3?21?1??3233233?0??3?。 ?6?3??6???1??3??3????????1,x3??1(2) ?1??2??1,?3?5；x1?1,x2?；

??????????0???2?3???2?3???1?P?0????11??21???111；P??1??3??11???10?121?1???1。 ?1??（3） ?1??2?1,?3??2；?1的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。

?4?例3-2 设A??3????36?5?60??0，求A的相似对角形及A100。 ?1??

§2 矩阵的约当标准形

当矩阵A?(aij)?Cn?n不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块

对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这

就是约当（Jordan）形矩阵，称之为矩阵A的约当标准形。

定义 若数域P上多项式f(?),q(?),g(x)满足f(?)?q(?)g(?)，则称g(?)整除

f(?)，记为g(?)|f(?)。

定义3－1 设f(?),g(?)是P上多项式，如果存在P上多项式d(?)满足 （1）d(?)|f(?)，d(?)|g(?)（即d(?)可以整除f(?),g(?)）；

（2）若有P上多项式d1(x)，d1(?)|f(?)，d1(?)|g(?)，则有d1(?)|d(?)，则称

d(?)是f(?),g(?)的一个最大公因式，记(f(?),g(?))表示首项系数为1的最大公因式。

三个多项式f(?),g(?),h(?)的最大公因式(f(?),g(?),h(?))可定义为

((f(?),g(?)),h(?))

1．行列式因子 设A?(aij)?Cn?n，?E?A是A的特征矩阵，记为A(?)。

定义3－2 A(?)中所有非零的k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式。 Dk(?)称为A(?)的一个k阶行列式因子（k?1,2,?,n）

。 Dn(?)?|?E?A|，并且Dk?1(?)|Dk(?)（k?2,3,?,n）例3－3 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子： ??1?（1）A?????a??1??；（2）A???2??????? ??a?1???12．不变因子，初等因子 定义3－3 下列n个多项式 d1(?)?D1(?)，d2(?)?D2(?)D1(?)D3(?)D2(?)Dn(?)Dn?1(?)，d3(?)?，…，dn(?)?

称为A(?)的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为A(?)的初等因子。

由于这里的A(?)??E?A完全由A决定，所以这里A(?)的不变因子及初等因子也常

称为矩阵A的不变因子及初等因子。 例3－4 求下列矩阵的不变因子及初等因子

??1?（1）A???????1???；（2）A?0??????22?

?2122?20??0 ??1??

?a?例3－5 设?????ba?????（各个b?0），求A的初等因子。 i?b??a?

3．约当标准形

设矩阵A 的全部初等因子为：????1?1,????2?2,?,????s?s。相对于每个初等

kkkk因子????i?i构造一个ki 阶的Jordan矩阵块：

??i?1Ji????????,i?1,?,s。 ???i??i??1由所有这些Jordan块构成的对角矩阵

?J1?J???????? ??Js?J2?称为矩阵 A 的Jordan形矩阵，或A 的约当标准形。

定理3－4 每个n阶复数矩阵A都与一个约当形矩阵J相似

P?1AP?J；

除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J是被矩阵A唯一决定的。

这个定理用线性变换的语言来说就是：

设T是复数域上n维线性空间V的线性变换，则在V中必定存在一个基，使T在这个基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T唯一决定的。

推论 复数矩阵A与对角形矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次因式。 注意：由于

|?E?A|?|?E?J|?|?E1?J1|?|?E2?J2|???|?Es?Js|

?(???1)(???2)k1k2?(???s)ks

s所以约当形矩阵J的主对角线上的元素?1,?2,?,?s全为A的特征值，并且?ki?n。但

i?1i?j时可能有?i??j，故?i不一定是A的ki重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能

写出矩阵的约当形矩阵。

?2?例3－6 求矩阵A?2????1?1?11?1???2的Jordan标准形及所用的矩阵P。 ?2??1??1??2?0?????2???010??2??2

?2???4??3??0

???2?解： （1）?E?A??2???1?1??0???00??1?10??1??1??10??0

?2????1?????。 ?1???12?所以 A 的初等因子为??1,???1?，故 A 的Jordan标准形为J????11

（2）设P??x1,x2,x3?。由P?1AP?J，得A?x1,x2,x3???x1,x2,x3?J， 即

?x3,x3?。于是有

?Ax1,Ax2,Ax3???x1,x2?E?A?x1???E （1）

?A?x2??x3 （2） ?A?x3?? （3）

TT?E方程组（1）、（3）的基础解系为：e1??1,1,0?,e2??1,0,1?。

取x1??1,1,0?，而x3?c1e1?c2e2??c1?c2,c1,c2?。为使（2）有解，选择c1, c2 的

TT值是下面两矩阵的秩相同： ??1?E?A??2???112?11??2,??1????1??2???1T12?112?1c1?c2??c1，

?c2??T的c1=2, c2=-1。所以x3??1,2,?1?。将所求的x3代入方程（2）并解之得：x2??1,1,1?。

?1?易证x1,x2,x3线性无关。P?1???0?4?例3－7 求矩阵A??3????36?5?61??21。

??11??0??0特征多项式、初等因子及约当标准形。 ??1??1

解 易得A的特征多项式为

f(?)?|?E?A|?(??1)(??2)

2并且可以求得不变因子为

d1(?)?1，d2(?)???1，d3(?)?(??1)(??2)

故初等因子为

??1，??1，??2

因此约当标准形为对角形矩阵

?1?J?????? ??2?? 1

?dx1?dt??x1?x2?dx?2??4x1?3x2的通解。 例3－8 求线性微分方程组??dt?dx3?x?2x13??dt

??1dx??Ax。其中A??4解：方程组可以写成

?dt??1?2?（1）求A 的初等因子及Jordan标准形。J????1300?T?0，x??x1,x2x3?。 ?2????。 ?1?? 11

?0?（2）求相似变换矩阵。P?0???101?11??2。 ??1??

（3）作满秩线性变换x?Py，其中y??y1,y2,y3?，则有

Tdydt?P?1APy。即

?dy1?dt?2y1?dy?2?y2 （*） ?dt??dy3?y?y23??dt（上述过程实际上是将系统解藕的过程）。

（4）求（*）的通解，进而求原方程组得通解。

?0?x?Py?0???101?12t?1??k1e???t2?k2e?。 ?t???1????k2t?k3?e?

例3－9 利用约当标准形证明：若n 阶矩阵A 的特征值为?1,?,?n，则Am的特征值

mm为?1,?,?n。

证明：设A的约当形矩阵为

?J1?J???????? ??Js?

J2?其中

??i?1Ji??????1

?i??1m??? ???i??1因J?P但是有

AP，故J?PAP

m Jm?J1m???????J2m????im???，Jm??*i?????mJs????*?im???*??? ??m?i??m显然J的特征值就是J的特征值的m次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值

m就是Jm的特征值，即A（或J）的特征值的m次幂。证毕。

§3 哈密顿—凯莱定理及矩阵的最小多项式

一、哈密顿—凯莱（Hamilton-Cayley）定理

定理1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵A 的特征多项式是f?????E?A???a1?nnn?1???an?1??an，则有

n?1f?A??A?a1A???an?1A?anE?0。 3-6

证明：设B???是?E?A的伴随矩阵，则

B???(?E?A)??E?AE?f???E。 3-7

由于B???的元素都是次数不超过n?1的?的多项式，所以

B?????n?1B0??n?2B1???Bn?1。

其中Bi为n阶数字矩阵。于是有

B???(?E?A)??B0??nn?1?B1?B0A??????Bn?1?Bn?2A??Bn?1A。 3-8

nn?1注意到f???E??E?a1?E???an?1?E?anE， 3-9

由等式3-7，3－8，3－9即得：

B0?EB1?B0A?a1E

??????Bn?1?Bn?2A?an?1E ?Bn?1A?anE以A,Ann?1,?,A,E一次右乘上面的第一式、第二式，…，第n?1式，并将它们加起来，

左边为零，右边即为f?A?。□

?1?例3－8 设A?0???00?112??1，试计算?(A)?2A8?3A5?A4?A2?4E。 ?0??

定义：方阵A的零化多项式：使?????0的多项式????。

注：如果多项式????的次数比????的高，则在计算??A?时，存在一个次数比????低

的多项式r(?)，使得??A??r?A?。事实上，用????去除????，得：

?????p????????r???。将A代入即可。

二、矩阵的最小多项式

定义3－4 设A是n阶矩阵，则A的首项系数为1的次数最小的零化多项式m???，称

为A的最小多项式。 2．最小多项式的性质

（1） 矩阵A的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。

证明：?????q???m????r???。则r?A??0。由于m???是最小多项式，只能有r???是零多项式。

（2） 矩阵A的最小多项式是唯一的。 证明：用结论（1）。若有两个最小多项式，则它们互相整除，且都是首一多项式，只能

相等。 （3） 相似矩阵的最小多项式相同。

证明：设B=P-1AP，则对于任一多项式p???，有p?B??P?1p?A?P，从而A和B的零

化多项式是相同的。

（4） 矩阵A的最小多项式的根必定是A的特征根；反之，A的特征根也一定是A的证明：由（1），特征多项式f???能被最小多项式m???所整除。所以矩阵A的最小多最小多项式的根。

项式的根必定是A的特征根。

反之，若Ax??0x?x?0?，则m?A?x?m??0?x?0?m??0??0。

注：求最小多项式的方法之一：若矩阵f????????1?1?????s?s，则A的最小多项式具有形式：

kkA的特征多项式是

m????????1?1?????s?s，

nn其中ni?ki,i?1,?,s。

?3?例3-9 求矩阵A的最小多项式，其中A??1????12?3532???2。 ?0??

解：A的特征多项式是f???????2????4?，于是A的最小多项式只能是

m???????2????4?或f???。

直接验证得m?A???A?2E??A?4E??0。

??i?1?例 约当块Ji?????i??1??n?的最小多项式的是m????????i?i。 ???i?ni?0?1ni?(???)J证明：i的特征多项式为，而Ji??iE?i????0?????0??100?0??0??1???， ??0?(Ji??iE)ni?10??0?，所以J的最小多项式为(???)ni。

ii???0?

?A1?（5）设A是一个分块矩阵，A?????A2????，A的最小多项多等于A的最小

i??As?多项式的最小公倍式，i?1,2,?,s。

证明：设Ai的最小多项式为fi(x)，A的最小多项式为f(x)，fi(x)的最小公倍式是

g(x)，由fi(x)整除g(x)知g(Ai)?0，i?1,2,?,s。

?g(A1)?故 g(A)?????g(A2)?????0，因此f(x)整除g(x)。 ??g(As)?????0，因此对于每一个i有??f(As)?又因为

?f(A1)?f(A)?????f(A2)?f(Ai)?0，即fi(x)整除f(x)。而g(x)是fi(x)的最小公倍式。故g(x)整除f(x) ，综

上所得f(x)?g(x)。

因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即Jordan标准型，所以利用Jordan标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。

（6）A的最小多项式即为A的不变因子dn????Dn???Dn?1???。

事实上，将矩阵化为Jordan标准形后，各Jordan块的最小多项式的最小公倍式，即初

等因子的最小公倍式dn???，即是A的最小多项式。

例3-7中，矩阵A的初等因子为：??1,??1,??2，A的最小多项式即为

m???????1????2?。

§4 多项式矩阵与Smith标准形

一、多项式矩阵的概念

1．多项式矩阵的定义 若矩阵A?????aij????m?n的元素aij(?)都是?的多项式（系数属于某一数域P），则

A(?)称为??矩阵，或多项式矩阵。如A?????E?A。

作为多项式矩阵的一种推广就是有理分式矩阵。 2．多项式矩阵的秩

A???至少有一个r阶子式不是零多项式，而所有的r?1阶子式都是零多项式，则称

A(r)的秩是r。零矩阵的秩定义为零。

3．A???是满秩的（或非奇异的） 秩为n，A???不是零多项式。

4．A???是可逆的（或称为单模矩阵）

存在多项式矩阵B???，使得A???B????B???A????E。 3－11 注：（1）A???的逆矩阵是唯一的。（2）满秩矩阵不一定可逆。如B?????定理3－9 A???是可逆的充分必要条件是A????c?0。

证明 设A(?)可逆，则有多项式矩阵B(?)，使得式3－11成立，从而有

|A(?)|?|B(?)|?|E|?1

?1???。

??2??故|A(?)|与|B(?)|只能是零次多项式，且不等于零（数），所以当A(?)可逆时，|A(?)|必定等于某个非零常数c。

反过来，若|A(?)|?c?0，则易知A(?)可逆，且其逆矩阵为

*A?1(?)?1cA(?)

*这里A(?)是A(?)的伴随矩阵。

例3－10 多项式矩阵

???1A(?)??2???3???1???，B(?)??22??5??4????3??2??3?? 2??5??6???3中，A(?)是可逆的，而B(?)是不可逆的，因为

|A(?)|?4，|B(?)|?0

5． 多项式矩阵的初等变换

定义3－5 下列变换称为多项式矩阵A(?)的初等变换

（1）互换A???的任意两行（列）；（2）以非零的数k(?P)乘A???的某一行（或列）；

（3）以多项式????乘A???的某一行（或某一列）并加到另一行（或列）。

由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，即它们都是单模矩阵。

对一个多项式矩阵进行一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。

6．等价

定义 A???~?B???，是指经过有限次初等变换能把A???化为B???。 （1）多项式矩阵的等价是一种等价关系。

（2）A???~?B???的充分必要条件是存在初等矩阵P1,?,Ps,Q1,?,Qt，使得

B????P1?PsA???Q1?Qt?P???A???Q???，

P(?)与Q???都是单模矩阵。

二、多项式矩阵的Smith标准形

引理 A?????aij????m?n中a11????0，并且A???至少有一个元素不能被a11???所整

，使得b11????0，且

除，则比可以找到一个与A???等价的多项式矩阵B?????bij????b11???的次数低于a11???的次数。

m?n

证明：分为三种情况。

（1）?ai1???不能被a11???所整除，则ai1????q???a11????r???，且r???的次数低

于a11???的次数。用A???的第i行减去q???乘以第一行，再把第i行和第一行互换即可。

（2）若在A???的第一行中存在不能被a11???整除的元素，可类似处理。

（3）若A???的第一行（列）中的元素都能被a11???整除，而aij????i?1,j?1?不能

被a11???整除。设ai1????????a11???。将第i行减去第一行乘上????，再将新的第i行加到第一行上，即成为情形 (2)。

定理3-10 任意非零的多项式矩阵A?????aij????m?n都等价于下形式的Simith标准形：

?d1????0????J?????0?0????0?0?00?dr???0?00?00?0??d2?????00?0?????0?0??0????0?， 0????0??这里r是A???的秩，di????i?1,?,r?是首项系数为1的多项式，且

di???|di?1???,i?1,?,r?1。

J(?)称为A(?)的史密斯（Smith）标准型。

证明：经过有限次初等变换后，总可以使矩阵A???等价于一个多项式矩阵B1???，使

得该矩阵的第(1,1)元素可以整除其他所有的元素。再通过初等变换把B1???第一行（列）的其它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行

下去，即得定理的证明。

?0?例3－11 求多项式矩阵A????????0?(??1)00

????1的Simith标准形。

????2??0

?1????例3－12 化多项式矩阵A?????2??1??2??1??? 为Simith标准形。 ?2???????22????100

?1?答案：0???00?0??1??0，0???????1????2???0?0?0??0。

?3?????

三、多项式矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子

定义3－7 设多项式矩阵A???的秩r?1，则A???中所有k 阶子式的首项系数为1的

最大公因式Dk???，称为A???的k 阶行列式因子。

?B???，则A???,B???必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。定理3－11 若A???~

证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩，并具有相同的行列式因子即可。 定义3－8 在A???的Simith 标准形J???中，多项式d1???,?,dr???称为A???的不

变因子。

注1：因为A????J???，所以具有相同的行列式因子，故有：

D1????d1???,D2????d1???d2???,?,Dr????d1????dr???，

从而有：d1????D1???,d2????D2???D1???,?,dr????Dr???Dr?1???。

注2：A???的不变因子由其行列式因子完全确定，所以Simith标准形式唯一的。 注3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。

注4：可逆矩阵的Simith标准形是单位矩阵（因为Dn????1）；与单位矩阵等价的多项

式矩阵必可逆。

A???为可逆矩阵的充分必要条件，是A???可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

定义3－9 把A???的每个次数大于或等于1的不变因子分解为互不相同的方幂的乘积，所有这些一次因子的方幂（相同的按出现的次数计算），称为A???的初等因子。

??1?例3－13 求矩阵A??1????1?20?126??3的特征矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子。 ?4??（不变因子为1,??1,???1?）。 四、几个重要结论

1．定理3－12 若A???~是A???,B???有相同的行列式因子，?B???的充分必要条件，或相同的不变因子。

证明思路：必要性由定理3－11即得；充分性源于有相同的行列式因子，或相同的不变

因子的多项式矩阵具有相同的Simith标准形。

2．两个n 阶矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。

3．A???的行列式因子、不变因子与初等因子亦称为矩阵A的行列式因子、不变因子与初等因子。

（1）A~B?A,B有相同的不变因子。

（2）在复数域内A~B?A,B有相同的初等因子。

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