济南大学概率论大作业一、二答案

第一章 大作业讲评1. 基本概念随机试验,样本空间, 样本点,随机事件,概率,条件概 率;事件的互不相容,事件的独立性. A与B互不相容 A∩B= ; A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) 2. 事件间的基本运算 A( B C ) ( AB) ( AC ),A B A B A B A B

A B AB A AB

3. 概率的计算方法 直接计算(古典概型)P(A) A中包含的样本点个数 S中样本点总数

利用公式

加法公式 A1 , , An两两互不相容 P ( Ai ) P ( Ai )i 1

n

n

事件A, B : P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A AB) P( A) P( AB)

i 1

P( A) 1 P( A)条件概率公式P ( B | A) n

乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式事件的独立性

P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( B | A)n i 1 i 1

P ( A) P ( ABi ) P ( A | Bi ) P ( Bi )P ( Bi | A) P ( Bi A) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )

P( A | B )P( B )j 1 j j

n

i 1,2, , n

P ( A1 An ) P ( A1 ) P ( An ) P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 ) P ( An )

一、填空题1. 设A、B、C为三个事件，用 A、B、C的运算关系表示下列事 件ABC _______; (1) A、B都发生，而C不发生__________A B C _______; (2) A、B、C至少有一个发生__________

AB C A B C A B C ___; (3) A、B、C恰好有一个发生__________ __________(4) A、B、C不多于一个发生__________ __________ ____ . AB C A B C ABC ABC1 1 1 2. 若P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 则P ( AB ) ____; P ( B ) _____ . 8 2 2 4 4

1

1

0.6 3. 若P( AB) 0.6, 则 1 P( A ) P( B ) P( A B ) _________ .3 则a ______; . 0.3 若事件A与B独立, 则a _______ 74. 设P( A) a, P( B) 0.3, P( A B) 0.7, 若事件A与B互不相容,

0.7 5. 若P ( A) 0.5, P ( B) 0.4, P ( A B) 0.3, 则P ( A B) ______; 0.8 . P ( A B ) _______7 6. 将一枚质地均匀的硬币 连抛3次, 则至少出现一次正面的 概率为_____ 8 .

10 A12 1 10 8. 10人中至少有2人出生于同一月份的概 率为__________ 12 __ .

5 此目标被击中 , 则它是乙击中的概率为______. 8

7. 今有甲乙两人独立射击 同一目标, 其命中率分别为 0.6和0.5, 现已知

9. 一架七层楼的电梯, 在底层登上4位乘客,电梯在每一层都停,

5 则没有两位及两位以上 乘客在同一层离开的概 率为_______ . 18

乘客从第二层起离开电 梯, 且每位乘客在哪一层离 开是等可能的,

10. 设A、B为两个事件, 且满足条件AB A B , 若设P( A) p,

1 p . 则P ( B) __________

二、选择题1. 独立射击三次 , Ai 表示第i次命中目标( i 1,2,3 ) .则至多有两次 命中目标的事件是 (

D

)

( A) A1 A2 A3

( B) A1 A2 A3

(C ) S A1 A2 A3

_______

___

( D)

A1 A2 A3

__________

2. 设A、B为两个事件 , 且P( AB) 0, 则(

( A) A与B互斥

( B) AB是不可能事件( D) P( A) 0或P( B) 0

C)

(C ) AB未必是不可能事件

3. 设随机事件A、B互不相容, 则必有(

B)

( A) P ( A) 1 P ( B)(C ) P ( AB ) P ( A) P ( B)

( B) P( A B ) 1 ( D) P ( A B ) 0

4. 袋中有5个黑球， 3个白球，大小相同，一 次随机地摸出 4个球， 其中恰好有3个白球的概率为 (

5 ( A) 4 C8

( B)

3 8

A)

3 31 (C ) ( ) 8 8

3 31 ( D) C ( ) 8 84 8

5. 设两两相互独立的三个事件A、B、C , 满足条件ABC , 1 9 P ( A) P ( B ) P (C ) , P ( A B C ) , 则P ( A) ( ) 2 16

D

( A)

3 4

1 ( B) 8

(C )

3 1 或 4 4

( D)

6. 设0 P( A) 1, P( B) 0, P( B | A) P( B | A),则有(

C

1 4)

( A) P( A | B) P( A | B)(C ) P ( AB ) P ( A) P ( B)

( B) P ( A | B) P ( A | B)( D) P( AB) P( A) P( B)

7. 设P ( A | B ) P ( B | A)

1 2 , P ( A ) , 则( 4 3

D

)

( A) A与B独立, 且P( A) P( B) 5 ( B ) A与B独立, 且P ( A B ) 12 (C ) A与B不独立, 且P( A | B ) P( A | B)7 ( D ) A与B不独立, 且P ( A B ) 12

8. 某人向同一目标独立重 复射击, 每次射击命中目标的概 率为p, 则此人第 4次射击恰好是第 2次命中目标的概率为 (

C

)

( A) 3 p(1 p)2(C ) 3 p2 (1 p)2

( B) 6 p(1 p)2( D) 6 p2 (1 p)2

9. 一副扑克牌(52张)均分于四人手中 , 则至少有两人手中持有 A的概率为 (

D)

1 9 2 9 C4 C 48 C 4 C 48 ( A) ( B) 13 13 C 52 C52

13 2 9 C52 C4 C48 (C ) 13 C52

13 1 9 C52 C4 C48 ( D) 13 C52

10. 设A、B为随机事件, P( B) 0, P( A | B) 1, 则有(( A) P ( A B) P ( A) (C ) P ( A B) P ( B) ( B) P ( A B) P ( A) ( D) P ( A B ) P ( B )

B

)

三、解答题1. 设A、B为两个相互独立的随机事件,已知A和B都不发生的 1 概率是 , A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率 9 相等, 试求A发生的概率P ( A).

解：

P( AB ) P( B A), P ( A) P ( AB ) P ( B) P ( AB ). 1 又 P ( AB ) , A, B相互独立， P( A) P( B), 2 9 P ( A ) . 1 2 2 3 P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) [1 P ( A)] , 9

2. 从0,1,2,3四个数字中任取三个进 行排列，求取得的 三个数字排成一个三位 偶数的概率 .

解： 设事件A表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”,事件B表示“此三位偶数的末尾为0”, 2 1 1 A A 5 2 P ( A) P( B) P( B ) 33 2 A . 3 A4 A4 12

3. 甲乙丙三人同时向飞机 射击, 三人的命中率分别为 0.4,0.5,0. 7, 飞机被一人击中而被击 落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的 概率为0.6,若被三人击中 , 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率 .

解： 设Ai =“飞机被i人击中”,i=1,2,3 , B=“飞机被击

落”,则由全概率公式：P ( B) P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 ) P ( B A2 ) P ( A3 ) P ( B A3 )

设

H i =“飞机被i击中”, i:甲、乙、丙 P ( A1 ) P( H1 H2 H3 H1 H 2 H 3 H1 H 2 H 3 )

P( H1 H2 H3 ) P( H1 H2 H3 ) P( H1 H2 H3 )

(独立性)

P( H1 )P( H2 )P( H3 ) P( H1 )P( H2 )P( H3 ) P( H1 )P( H2 )P( H3 )

0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36

同理求得

P( A2 ) 0.41

P( A3 ) 0.14

P ( B) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458

4. 一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能知道正确答案， 1 也可能乱猜一个.假设他知道正确答案的概率为 , 乱猜答案猜对的 3 1 概率为 , 若已知他答对了 , 则他确实知道正确答案的概率是多少? 5

解： 设事件A表示“知道正确答案”,事件B表示“答对了”,则所求为 P ( A | B )P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) P ( A | B) P ( B) P ( AB ) P ( AB) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A)1 1 5 3 . 1 2 1 7 1 3 3 5

5. 玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含0, 1, 2只残次品的 概率相应位0.8 , 0.1 , 0.1 ,一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时 售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品， 则买下该箱玻璃杯，否则退货，试求 ( 1 )顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2 )在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.

解： 设 A =“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”, B “箱中恰有i件残次品” i 0,1,2则 P( B0 ) 0.8, P( B1 ) P( B2 ) 0.1P ( A | B0 ) 1,4 C19 4 P ( A | B1 ) 4 , C20 5 4 C18 12 P ( A | B2 ) 4 C20 19 2 448 P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi ) 0.94 475 i 0 P ( A | B0 ) P ( B0 ) 95 P ( B0 | A) 0.85 P ( A) 112

(1)由全概率公式

(2)由贝叶斯公式

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