高三数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数

设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件

★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x1?x2（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

★若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x?x1（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

23.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法

4.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当

x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数

y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： (1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时，函数FF2(x)?f(x)?g(x)的1(x)?f(x)?g(x)、增减性与f(x) (或g(x))相同，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?不能确定；

(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么： ①F1(x)?f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定； ② F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)减函数。

6.奇偶函数的单调性

奇函数在定义域内严格单调，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)?f(?x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)??f(?x)，则称函数f(x)为奇函数。

2.奇偶性的几何意义

具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较f(x)与?f(?x)的关系；

(2)

f(x)（f(?x)?0）与?1的关系； f(?x)(2) f(x)?f(?x)与0的关系

4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断

对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：

(1)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)为偶函数； g(x)(2)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么：

①F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?二、函数的对称性 1.函数自对称

（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是f(?x)?f(x)

（2）关于原点?0,0?对称的函数（奇函数）的充要条件是f(x)?f(?x)?0 （3）关于直线y?x对称的函数的充要条件是f?1(x)?f(x) 2.两个函数的图象对称性

（1）y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 （2）y?f(x)与y?f(?x)关于y轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 （3）y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 （4）y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 （5）y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点?a,b?对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点?a,b?对称。 （6）y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x)a?b对称。 2?1（7）y?f(x)与y?f(x)关于直线y?x对称。

二、函数的周期性 1.周期性的定义

对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

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