【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量

5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝11|a|x1＋y1. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝ x2－x1 ＋ y2－y1 . 3．平面向量共线的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √

)

2

2

x1y1

x2y2

1．设e1，e2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0；

②空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内；

④对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①

→→→→→

2．在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s＝________. 答案 0

2 2→→→2→2→→2→2→

解析 因为CD＝2DB，所以CD＝CBAB－AC)＝－AC，则r＋s＝ －＝0.

33333 3 →→→

3．在 ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________． 答案 (－3，－5)

→→→→→→

解析 ∵AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)， →→→→→

∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．

π

4．设0＜θ＜向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.

21答案 2

解析 ∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos θ＝0，

π

∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，

21

∴tan θ＝.

2

5．已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 答案 (1,5)

→→

解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

4＝5－x，即 1＝6－y，

2

2

x＝1，

解得

y＝5.

题型一 平面向量基本定理的应用

→→→

例1 (1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.

→1→→→2→

(2)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋，则实

311数m的值为________． 43

答案 (1) (2)

511

→→→→→→→→→→→→1→→

解析 (1)因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，

4→8→4→所以AB＝AN，

554

所以λ＋μ5→→

(2)设BP＝kBN，k∈R. →→→→→因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN 1→→→→→→

＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k－AB)

4→k→

＝(1－k)ABAC，

4→→2→且AP＝mAB＋AC，

11

k2

所以1－k＝m，，

411

83

解得k＝，m＝.

1111

思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

→→→1→→1→→ (1)在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝

42

________.(用e1，e2表示)

(2)如图，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分

xy→→→→

别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC的值为________．

x＋y

25

答案 (1)1＋2

3121

3

→→→

解析 (1)如图，MN＝CN－CM →→→2→＝CN＋2BM＝CN＋

31→2→→＋(AC－AB)

4312

2＋(e2－e1)

4325

1＋e2.

312

→1→1→→→→(2)易知AG＝AB＋AC，MN＝－xAB＋yAC，

33→ 1 →1→

故MG＝ x AB＋.

3 3

1→→1 由于MG与MN共线，所以x y＝－，

3 3 1xy1

即xy＝(x＋y)＝.

3x＋y3题型二 平面向量的坐标运算

例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝________. (2)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为__________． 4 4 13 3

答案 (1) － (2)

3 5 3 5解析 (1)由已知3c＝－a＋2b

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 4 13

所以c＝ － .

3 3

(2)AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

→

→→→

→4AB→ 3

∴与AB同方向的单位向量为 ，－.

5 → 5

|AB|

思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

→

(1)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为__________．

→→→→

(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，→

则BC＝________.

答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)

→

解析 (1)设点B的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)．

x＋1＝6，→

由AB＝3a，得

y－5＝9，

x＝5，

解得

y＝14.

→→→→→→

(2)BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 题型三 向量共线的坐标表示

命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标

例3 (1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________. (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)

解析 (1)由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b， 得1×m＝2×(－2)，即m＝－4. 从而b＝(－2，－4)，

那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， →→∴DC＝2AB.

设点D的坐标为(x，y)，

→

则DC＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， →

AB＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，

4－x＝2，∴ 2－y＝－2，

x＝2，

解得

y＝4，

故点D的坐标为(2,4)．

命题点2 利用向量共线求参数

例4 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________． 5

答案 －

4

→→

解析 AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，

→→

根据题意AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5， 5

∴a＝－.

4

命题点3 求交点坐标

例5 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 答案 (3,3)

→→→→→

解析 方法一 由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．

3→→→→→

又AC＝OC－OA＝(－2,6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所

4→3→

以OP＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．

4

xy→→→→

方法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以，即x＝

44y.

→→→→

又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3,3)．

思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，

y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

→→

(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．

→→→

设OA＝(－2,4)，OB＝(－a,2)，OC＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，

C三点共线，则的最小值为________．

ab

答案

3＋2

2

11

→→

解析 由题意得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)， →→

又AB∥AC，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，

－a＋2＝λ b＋2 ，即

－2＝－4λ，

整理得2a＋b＝2，

1111112ab＝(2a＋b)(＋＝＋)

ab2ab2ba1

≥(3＋22

11．解析法(坐标法)在向量中的应用

2π→→

典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如

3→→→

图所示，点C在以O为圆心的AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答

→

解 以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

13

则A(1,0)，B(－，．[4分]

22

2π

设∠AOC＝α(α，则C(cos α，sin α)，

31

cos α＝x－y， 2 →→→

由OC＝xOA＋yOB，得

3

sin α＝， 2所以x＝cos α＋

2ab3＋22

)(当且仅当b＝2a时，等号成立)． ba2

323

α，y＝sin α，[8分] 33

π

所以x＋y＝cos α3sin α＝2sin(α＋)，[11分]

62π

又α，

3

π

所以当αx＋y取得最大值2.[14分]

3

温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y

的最大值．

引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．

[方法与技巧]

1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]

1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．

2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

x1y1x2y2

A组 专项基础训练

(时间：40分钟)

1.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： →→→→→→→→

①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③

→→→→

解析 ①中AD，AB不共线；③中CA，DC不共线．

13

2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－＝________.

22答案 (－1,2)

111333解析 ＝(，，b＝)，

22222213

故a－＝(－1,2)． 22

3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________. 13答案 －b

22

解析 设c＝λa＋μb，

∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

－1＝λ＋μ，∴ 2＝λ－μ，

1

λ＝， 2∴ 3

μ 2

13

∴c＝a.

22

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________. 1

答案 2

解析 ∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)， 1＋λ21

且(a＋λb)∥c，∴，∴λ＝.

342

→→→→→→→

5．已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC＝

m→→

mOA＋nOB(m，n∈R)________．

n

答案 3

→→→→

解析 ∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB，

以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系， →

OA＝(1,0)，OB＝(03)，OC＝mOA＋nOB＝(m，3n)．

3n

→→→→

m

＝

3 3

∴m＝3n3.

1→→

6．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y与线段AB交于点C，且AC＝2CB，则实数a＝________.

2答案 2

解析 设C(x，y)，

→→

则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)，

x－7＝2 1－x ， →→

∵AC＝2CB，∴

y－1＝2 4－y ，

mn

解得

x＝3， y＝3.

1

∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，

21

·3，∴a＝2.

2

1→→1→→→

7．已知点A(－1,2)，B(2,8)，AC＝AB，DA＝－BA，则CD的坐标为________．

33答案 (－2，－4)

解析 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． →→

由题意得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)， →

DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．

1→→1→→

因为AC＝AB，DA＝－BA，

33

x1＋1＝1，

所以有

y1－2＝2 x1＝0，解得

y1＝4

→

－1－x2＝1，

和

2－y2＝2.

x2＝－2，

和

y2＝0.

所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， →

从而CD＝(－2，－4)．

→→→

8．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(0，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角

形，则实数m满足的条件是________． 5

答案 m≠

4

→→→→

解析 由题意得AB＝(－3,1)，AC＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则AB，AC不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠5

49．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； (2)若→AC＝2→

AB，求点C的坐标．

解 (1)由已知得→AB＝(2，－2)，→

AC＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C三点共线，∴→AB∥→

AC. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵→AC＝2→AB，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．

∴

a－1＝4， 解得

a＝5，

b－1＝－4，

b＝－3.

∴点C的坐标为(5，－3)．

10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，→OM＝t→→

1OA＋t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线． (1)解 →OM＝t→→

1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4) ＝(4t2,2t1＋4t2)．

当点M在第二或第三象限时，

有

4t2＜0，

2t1＋4t2≠0，

故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)证明 当t1＝1时， 由(1)知→

OM＝(4t2,4t2＋2)． ∵→AB＝→OB－→

OA＝(4,4)，

→AM＝→OM－→OA＝(4tt→2,42)＝t2(4,4)＝t2AB， ∴→AM与→

AB共线，又有公共点A，

∴A，B，M三点共线．

B组 专项能力提升 (时间：15分钟)

→2→1→

11．在△ABC中，点P是AB上的一点，且CP＝CA＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为

33

M，又CM＝tCP，则t的值为________．

3

答案 4

→2→1→

解析 ∵CPCA＋CB，

33

→→→→→→→

∴3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP. →→

∴2AP＝PB，因此P为AB的一个三等分点． ∵A，M，Q三点共线， →→→∴CM＝xCQ＋(1－x)CA

→→

x→→

＝CB＋(x－1)AC (0<x<1)． 2

→→→→x→ x →∵CB＝AB－AC，∴CM＝AB＋ 1 AC.

2 2 →→→→1→

∵CP＝CA－PA＝－AC＋AB，

3→→

且CM＝tCP(0<t<1)，

x→ x → →1→ ∴AB＋ －1 AC＝t －AC＋AB .

3 2 2 xtx3

∴－1＝－t，解得t＝. 2324

→12．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设OC＝→→

－OA＋λOB(λ∈R)，则λ的值为________． 1答案 2

解析 由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x＜0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a＜0，1

则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝.

2

→→→→→→

13．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.

答案 3 解析

→→→

∵MA＋MB＋MC＝0， ∴M为△ABC的重心．

如图所示，连结AM并延长交BC于D，则D为BC的中点． →2→∴AM＝.

3→1→→

又AD＝AB＋AC)，

2→1→→

∴AM＝AB＋AC)，

3→→→

即AB＋AC＝3AM，∴m＝3.

14．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的→→→

延长线交于圆O外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________． 答案 (－1,0)

→→

解析 由题意得，OC＝kOD(k＜0)， →|OC|

又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.

→|OD|又∵B，A，D三点共线， →→→∴OD＝λOA＋(1－λ)OB， →→→→∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB， ∴m＝kλ，n＝k(1－λ)， ∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．

15.将等腰直角三角板ADC与一个角为30°的直角三角板ABC拼在一起组成如图所→→→

示的平面四边形ABCD，其中∠DAC＝45°，∠B＝30°.若DB＝xDA＋yDC，则xy的值是_______________________________________． 答案

3＋3

解析 如图所示，建立平面直角坐标系．取DA＝1，则DC＝1，AC2，

AB＝2，BC＝

6.

∴xB＝DA＋ABcos 75°＝1＋22×

6－2

3， 4

yB＝ABsin 75°＝3＋1.

∴B3，3＋1)． →→→∴DB＝3DA＋(3＋1)DC，

∴x3，y＝3＋1，∴xy＝3＋3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q48i.html