关于美式期权定价方法的研究_郑小迎

1999年9月

第15卷第3期陕　西　工　学　院　学　报JournalofShaanxiInstituteofTechnologySept.1999Vol.15　No.3

【文章编号】1002-3410(1999)03-0001-05

关于美式期权定价方法的研究＊

郑小迎,陈金贤　(西安交通大学管理学院,陕西西安　710049)

【摘　要】　美式期权的路径依赖特征导致了其定价的复杂性,并使得美式看涨、看跌

期权之间的定价原理差异较大。本文在深入剖析美式期权特点及其价值形成机理的

基础上,利用Black-Scholes定价模型,分别探讨了美式看涨、看跌期权的定价方法,

并讨论了在其有效期内产生的现金流对美式期权价值的影响。

【关　键　词】　美式期权;　路径依赖;　Black-Scholes定价模型

【中图分类号】　F831　　　【文献标识码】　A

1　引言期权是70年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具,20多年来它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展。按照交易时间的不同,期权有欧式期权和美式期权之分。由于美式期权可在其有效期内任何营业日进行交易,因此,它比欧式期权应用得更为普遍,国际金融衍生市场交易的大多数期权都是美式期权,尤以股票期权市场最为突出[1]。然而,美式期权提前执行的可能性,促使其收益不仅取决于到期日的基础资产价格,而且取决于基础资产的移动路径,即具备路径依赖特征,从而导致其定价远比欧式期权复杂,并使得美式看涨、看跌期权之间的定价也存在较大差异。本文将首先剖析美式期权的特征及其价值形成机理。在此基础上,利用Black-Scholes期权定价模型(以下简称B-S模型),深入研究美式看涨、看跌期权的定价原理,并分析了期权有效期内产生的现金流(如股票的股利、债券的利息)对其定价的影响。鉴于我国当前金融创新的发展动向,本文仅以股票作为期权的基础资产进行研究,至于股指、债券、货币等类型的基础资产暂不作讨论。

2　期权价值的分解与度量

期权是一种选择权,其购买者在支付了一定金额的权力金后,就拥有在预先规定的时间或该时间之前按预先规定价格购买或出售一定数量基础资产的权利。以下定义使得期权有如下的详细划分:根据所赋予的权利不同,可分为看涨期权(购买权)和看跌期权(出售权);根据执行时间的不同,可分为欧式期权和美式期权:欧式期权只允许买方在到期日进行交易,而美式期权则允许买方在到期日或到期日之前的任何营业日进行交易。相应地,预先规定的时间称为期权的到期日(记为T);预先规定的价格称为期权的执行价格(记为E);支付的权利金即收稿日期:1999-05-18　　　　

作者简介:郑小迎,男,27岁,博士研究生。＊,

　　·2·　　　　　　　　　　陕　西　工　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　　　第15卷为期权价格,它是期权价值的货币表现形式,无论美式期权或欧式期权,其价值都由两部分构成,即内涵价值和时间价值。

2.1　内涵价值

它是指履行期权合约时能够立即获得的收益,内　表1　期权内涵价值的表现形态涵价值充分反映了基础资产的市场价格与期权执行价种类看涨期权看跌期权格之间的关系。具体而言,看涨期权的内涵价值表现

为基础资产的现价与执行价格的差额;相应地,看跌期

权的内涵价值表现为执行价格与基础资产的现价的差

额。根据内涵价值的大小,期权可呈现了三种不同形

态,即实值期权、两平期权和虚值期权(如表1所示)。

2.2　时间价值

随着期权合约时间的延续,基础资产价格的变动有可能使期权发生增值或贬值。由于在期权到期日前的任意交易日,期权都有增值的机会,从而使期权买方愿意为这一机会支付一定数额的权力金。显然,期权合约的剩余有效期越长,则期权时间价值越大;反之,时间价值越小。一旦期权到期,该期权也就完全丧失了时间价值。

期权的内涵价值和时间价值之间有如下的关系:在两平期权时时间价值最大,而向实值或虚值发展时逐渐递减。通过上述分析,我们可得出期权价值的变化规律(如图1所示)。　　以上描述的仅是期权的价值形成机理,但还不

足以充分度量美式期权价格。由于美式期权和欧式

期权具有密切的联系,所以首先应溯根求源,在详细

考察欧式期权定价的基础上,逐渐凸现出美式期权

的定价原理,而B-S模型正是解决这一问题的有

效手段之一。该模型由美国的金融学家Black与

Scholes在其著名论文《期权定价与公司债务》

(1973)中首次提出,其后,Merton、Cox、Ross与图1　期权价值的变化规律(以看涨期权为例)Ingersoll又对其进行了深入地研究与改进,并将其

推广到诸如股票期权、股指期权、货币期权等众多衍生品的定价之中[3]。

首先作出以下假设:(1)证券市场是一个弱性的有效市场;(2)所有投资者都处于一个风险中性的环境中,所有的证券收益率均为无风险利率;(3)无交易费用或税收;(4)随时可以按无风险利率贷入或贷出资金。交易时间内的股价(记为S)被看作是随时间(记为t)变化的连续时间变量,并且服从几何布朗运动,也称对数正态分布:

dS=μSdt+σSdZ(1)　　

其中,μ为预期收益率;σ为标准正态分布的标准差;dZ是一个维纳过程。根据ITO定理知基于不付股利股票的任意一种衍生品(记为f(S,t))将遵循如下的几何布朗运动:

222dfσSS+)dt+σSdZ2+μ2 S t S S[2]实值期权两平期权虚值期权S>ES=ES<ES<ES=ES>E(2)　　

通过构造适当的投资组合策略,消去(1)、(2)式的随机项dZ。然后,利用套利原理可得到f

第3期　　　　　　　　　　郑小迎,陈金贤　关于美式期权定价方法的研究＊　　　　　　　　　·3·

222+rSσS2=rf t S2 S(3)　　

r为无风险利率,方程(3)被称为B-S模型,为二阶线性抛物型偏微分方程[4,5]。对应于不同种类的衍生品,该方程有不同的解。由于欧式期权只在到期日执行,故有明确的边界条件。以欧式看涨期权CE(S,t)为例,其边界条件描述为:

CE(S,t)=MAX(S-E,0)

进而可得到CE(S,t)的解析解:

CE(S,t)=SN(d1)-Ee

2-r(T-t)(4)　　(5)　　N(d2)其中,d1,d2=d1-σ,N(.)是累计标准正态分布函σ数。相同条件下的欧式看跌期权价格(记为PE(S,t))可由其与看涨期权的平价关系得到:

PE(S,t)=CE(S,t)-S+Ee-r(T-t)=e-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1)(6)　　

3　不付股利条件下的美式期权定价

美式期权提前执行的可能性导致其定价远比欧式期权复杂,即在有效期内的任一时刻,不仅要度量期权的价值,还要判断它是应执行或继续持有。美式期权定价仍可利用ITO定理来构造投资组合策略,然而提前执行的可能性使得该投资组合的收益不会超过无风险收益。针对美式期权(记为VA(S,t)),方程(3)修正为:

2 VA VA22 VA+rS+σS≤rVA S2t S2(7)　　

因此,我们将美式期权的定价分解成三个待解决的问题:(1)在美式看涨、看跌期权有效期内任一时刻,判断是否具备执行期权的条件;(2)若具备提前执行的条件,则判断相应的股价分布特征,由此推出该条件下的期权定价;(3)美式期权有效期内发生的现金流(这里指股利)不但会影响期权的价值,还会改变期权提前执行的条件,有必要对此加以考察。以下对美式看涨(记为CA(S,t))、看跌期权(记为PA(S,t))定价的分析正是沿着这条思路展开的。

3.1　不付股利条件下的美式看涨期权定价

首先应判断该类期权是否具备提前执行的条件。若期权在有效期内处于实值状态,期权买方立即执行该期权,并在股票市场上抛出股票,即可实现收益S-E。但是,这并不能说明该期权就具备了提前执行的条件。恰恰相反,这种做法极不明智,因为它使买方仅获得了期权的内涵价值,而失去了时间价值,即丧失了因股价上升而使期权增值的机会(如图1所示),故买方应继续维持多头头寸,以期望获取更高的收益。若买方预期股价被高估,期权将要向两平或虚值状态发展,这时买方也不应执行期权,而应售出期权,以便同时获得内涵价值和时间价值。

综上所述,美式看涨期权在任何情况下都不具备提前执行的条件。因此,其价格与欧式看涨期权相同,即

CA(S,t)=CE(S,t)

3.2　不付股利条件下的美式看跌期权定价,(8)　　

　　·4·　　　　　　　　　　陕　西　工　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　　　第15卷时,内涵价值已基本达到最大,而时间价值有可能出现负增长,即S出现向相反方向变动的趋势(如图2所示)。为避免时间价值上的损失,在S下降到一定程度(记为Sf(t))时,就应当执行该期权,从而获取收益E-S,否则就继续维持该头寸,其价格与欧式看跌期权相同(如图3所示)

。

　　图2　美式看跌期权价值规律(未执行)　　　图3　美式看跌期权价值规律

这样一来,美式看跌期权的定价按照S的大小被分解为两个部分(如表2所示)。边界条件Sf(t)可由下式确定,即

Sf+e-r(T-t)N(-d2(Sf))-SfN(-d1(Sf))=E

表2　美式看跌期权定价

股价范围

0<S<Sf(t)

S>Sf(t)处理方式执行继续持有约　　束　　方　　程2 PA PA122 PA<rPA+rS+2σS S2 PA PA22 PA+rS+σS=rPA t S2 S(9)　　PA(S,t)的表达式E-SPE(S,t)

4　股利的影响

若在期权有效期内,股票以恒定比率(记为q)支付股利,则股利的支付将使股票价格的增长率较不支付股利时减少了q。相应地,基于支付股利率股票S的欧式期权与基于不付股利股票Se-q(T-t)的欧式期权具有相同的价值。因此,支付股利条件下的欧式看涨期权定价(记为CEQ(S,t))可描述为:

2 CEQ CEQ22 CEQ+(r-q)S+σS=rCEQ S2 t S2(10)　　

进而得到关于CEQ(S,t)的表达式:

CEQ(S,t)=Se-q(T-t)N(d1q)-Ee-r(T-t)N(d2q)

2(11)　　,d=d-σ。该条件下欧式看跌期其中,d1q2q1qσ权的价格(记为PEQ(S,t))可由平价关系得到:

PEQ(S,t)=e-r(T-t)N(-d2q)-Se-q(T-t)N(-d1q)(12)　　

进一步分析可知,股利使看涨期权价值持续下降,而使看跌期权价值不断上升。从而导致美式看跌期权买方继续维持其头寸,以获取更高的收益,即该期权具有正的时间价值。所以,美式看跌期权(记为PAQ(S,t))因q的影响将失去提前执行的条件,其价值与欧式看跌期权

第3期　　　　　　　　　　郑小迎,陈金贤　关于美式期权定价方法的研究＊　　　　　　　　　·5·

PAQ(S,t)=PEQ(S,t)

分析,其定价被分解为两个部分(如表3所示),边界条件Sf(t)满足以下方程:

Sf-Sfe-q(T-t)N(d1q)+Ee-r(T-t)N(d2q)=E

表3　支付股利条件下的美式看涨期权定价

股价范围处理方式约　　束　　方　　程

2 CAQ CAQ122 CAQ+(r-q)S+σS=rCAQ t S2 S2 CAQ CAQ22 CAQ+(r-q)S+σS<rCAQ t S2 S2(13)　　　　相反,美式看涨期权的时间价值却因此出现负增长,从而具备提前执行的条件,类似上述(14)　　CAQ(S,t)的表达式CEQ(S,t)E-S0<S<Sf(t)继续持有S>Sf(t)执行

5　结束语

解决美式期权定价的核心问题在于合理、准确地判断期权买方是否具备提前执行的条件。当该条件不成立时,美式期权价值与欧式期权相同;相反,一旦具备这一条件,美式期权价值将发生改变。另外,在期权有效期内发生的现金流也对美式期权的执行条件产生了影响,进而影响到期权的定价。本文分别在不付股利、支付股利两种条件下对美式看涨、看跌期权定价进行了详细地讨论,并得到了严格的解析解,其相应的执行边界值可通过迭代法而得到。

【　参　考　文　献　】

[1]　[美]约翰·赫尔.期权、期货与衍生证券[M].北京:华夏出版社,1997.143-159,399-447.

[2]　Black,Scholes.ThePricingofoptionsandcorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973,81:

637-655.

[3]　PaulWilmott,SamHowison,JeffDewynne.TheMathematicsofFinancialDerivatives[M].CambridgeUni-

versityPress,1995.58-83.

[4]　南京工学院数学教研组.工程数学,数学物理方程与特殊函数[M].北京:高等教育出版社,1982.58-

65.

Astudyonthepricingofamericanoption

(Xi'anJiaotongUniversity,Xi'an710049,China)ZHENGXiao-ying,CHENJin-xian　

Abstract:　Thepath-dependentcharacteristicofAmericanoptionresultsinit'spricingcomplexityandcausesthepricingdifferencesfromAmericancalloptionandputoption.Basedup-ontheanalysisofAmericanoption'scharacteristicsandvaluingorigin,thispaperderivesthepric-ingmodelsofAmericancalloptionandputoptionusingBlack-Scholespricingmodel.Furthermore,theinfluencesfromthecashflowbeforeAmericanoption'sexpirationarediscussedattheendofthepaper.;　-model

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q47e.html