第五章傅里叶分析

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第五 章 傅里叶分析实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

第一节 傅里叶级数与傅里叶变换 一、傅里叶级数

如有如下周期函数： f (t ) a0 a0 a0 2 2 2 Ak cos(k t k )k 1 n n

(5.1)

Ak (cosk t cos k sin k t sin k )k 1 n

(a k cos k t bk sin k t )k 1

(5.2)

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上式为一三角级数，当 时，即 n实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

f (t )

a0

2

(a k cos k t bk sin k t )k 1

称为傅里叶级数。其中 k , bk 为傅里叶系数， a 可按最小二乘原理解出 为： 2 T2 a 0 T f (t )dt T 2 2 T2 a k T f (t ) cos k tdt T 2 T 2 2 bk T f (t ) sin k tdt T 2

(5.3)

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二、傅里叶级数的复数形式实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

由欧拉公式： e ei i

cos i sin cos i sin

可得： 1 i i cos (e e ) 2 1 i i sin (e e ) 2

(5.4)

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令： c0 2 1 c k (a k ibk ), 2 1 c k (a k ibk ) 2 则其复数形式为： a0 f (t ) 1 其中：c k Tk

(5.5)

c ek T

ik t

(5.6) (5.7)

2 T 2

f (t )e ik t

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三、傅里叶变换实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

为了得到傅里叶变换的 具体形式， 首先考虑定义在- x l上的傅里叶 l 级数展开，然后令 趋于无穷。有前述 l 可知，定义在- x l上的函数有如 l 下形式的傅里叶级数： f ( x) 其中：k

a l

k

e

ik x l

1 ak 2l

l

f (t )e

ik t l

dt

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令l , 将a k 代入前面的和式，得到 ： 1 l ik t l ik x l f ( x) lim ( f (t )e dt)e l l k 2l 1 l ik ( x t ) l lim f (t )e dt l 2l l k

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k 再令 k , k 1 k , 有： l l 1 l k i ( x t ) f ( x) lim ( f (t )e dt) l 2 l k (5.8) 1 l i ( x t ) 令 Fl ( ) l f (t )e dt 2 则(5.8)式中的和式为：k

F ( l

n

)

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当l趋于无穷， 趋于0时，( .8)式变为： 5 f ( x) lim Fl ( )d l

1 2

(

2

1

f (t )e i t dt)e i x d

(5.9)

将圆括号中的部分记为 ( ),即： f f ( )= 1 2 f (t )e

i t dt

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函数f ( )称为f的傅里叶变换。 于是( .9)成为： 5 1 i x f ( x) (5.10) f ( )e d 2 由于上式将函数 ( x)表示为其傅里叶 f 变换的积分形式，所以 5.10 ( )通常 称为傅里叶逆变换式。

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四、傅里叶变换的性质实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

首先引入f的傅里叶变换的另一个 记号： F [ f ]( ) f ( )。类似地，定义傅里叶变 换的逆算子为： 2 1 由此可知F 是F的逆： F 1 1

F

f ( x) f

1

f ( )e d

i x

F

(5.11)

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下面给出傅里叶变换及 其实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

逆变换的部分性质：

1 傅里叶变换及其逆变换算子是线性算子。

2 f与t

n

乘积的傅里叶变换n

由下式给出： d F f ( ) F t f (t ) ( ) i n d n n

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3 f与 乘积的傅里叶逆变换n

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由下式给出： F 1

F f

5 n阶导数的傅里叶逆变换 为： -1 (n) n 1 F f (t ) ( it ) F f (t )

( ) (i ) F f ( )(n) n

d 1 f ( ) (t ) ( i ) F f (t ) n d 4 n阶导数的傅里叶变换为 ：n n

n

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6 平移的傅里叶变换为： i a F f (t a ) ( ) e F f ( ) 7 傅里叶变换的比例性质 为：1 F f (bt) ( ) F f ( ) b b

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8 若t 0时有f (t ) 0, 则：2 其中 f 为f的拉普拉斯变换，即： f ( s ) f (t )e dt ts 0

F f ( )

1

f (i )

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第二节 离散傅里叶分析实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

一、离散傅里叶谱分析 设有一实验曲线，时间 长度为0到T,将其

分成N等分，其步长设为 t,得序列x j j t , j 0,1,2, , N 1,则其抽样值为：xj yj x0 y0 x1 y1 …… …… xN-1 yN-1

式中yi f ( xi )。

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于是在( .3)式中，用求和代替积 5 分实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

运算，傅里叶系数的计 算式为： 2 a0 y j N j 0 N 1 2 2 jk a k y j cos N j 0 N N 1 2 2 jk bk y j sin N j 0 N N 1

(5.12)

求出a k , bk 后，再求出振幅 k 和相位 k。 A

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二、离散傅里叶变换(DFT) 为将连续的傅里叶变换 公式转为离散形式，将时间长度T分为N个等分，其步长为 t,即 T N t,则其离散数字序列为 k k t , x k

0,1,2, , N 1,相应地函数f (t )值记为f (k t ), 简记为f (k ),离散值为f (0), f (1), , f ( N 1)。 1 对于F ( f ),同理取频率间隔 f , 令 T j 0,1, , N 1, 则离散值记为F ( j f ),简记为 F ( j )。

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此时连续的傅里叶变换 公式相应的离散 傅里叶变换公式为： F ( j ) f ( k )ek 0 N 1 k 0 N 1 2 i jk / N

(5.13)

傅里叶逆变换的离散式 为： 1 f (k ) N

F ( f )e

2 i jk / N

(5.14)

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令：W e

2 i / N

则(5.13 ),( .14)可写为： 5 F ( j ) f (k )W j 0, N 1 ,N 1 k 0 N 1 jk

(5.15)

1 jk f (k ) F ( j )W N k 0 k 0, N 1 (5.16)

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第三节 快速傅里叶变换实 用 测 量 数 据 处 理 方 法中 南 大 学

由(5.15 )式得：F ( j ) f (k )Wk 0

N 1

jk

[ f (0)W 0 j f (2)W 2 j f (4)W 4 j f ( N 2)W( N 2) j

]

[ f (1)W 1 j f (3)W 3 j f (5)W 5 j f ( N 1)W ( N 1) j ] [ f (0)W0j

f (2)W

2j

f (4)W ]

4j

f ( N 2)W

( N 2) j

W j [ f (1)W 0 j f (3)W 2 j f (5)W 4 j f ( N 1)W ( N 2 ) j ], (5.17)

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令：实 用 测 量 数 据 处 理 方 法

g (u ) f (0) f (2) f (4) f ( N 2) g (0) g (1) g (2) g ((N 2) 1) (5.18)

h(u ) f (1) f (3) f (5) f ( N 1) h(0)h(1)h(2) h((N 2) 1) (5.19) 上式表明序列 g (u ) 和 h(u ) 是序列 f (k ) 的子 h 由 序列，且 g (u ) y由 f (k ) 的偶样本点组成，(u ) 中 南 f ( k ) 的奇样本点组成。所以 序列 g (u ) 和 h(u ) 的 大 学 长度均为序列 f ( k ) 的一半。

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