2.2 函数的单调性与最值- 学生

§2.2 函数的单调性与最值

1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．

1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．

1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定义 量x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2． 函数的最值

前提 条件 结论 [难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最小值 自左向右看图象是下降的 征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2． 函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的 定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数 函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调 性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3． 单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

1． (2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________. 2． (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________． 3． (课本改编题)函数f(x)＝

2x

在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． x＋1

4． 已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2

的解集为________．

5． 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )

11

A．a>－ B．a≥－

4411

C．－≤a<0 D．－≤a≤0

44题型一 函数单调性的判断

ax

例1 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．

x－1

思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性．

探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．

a

(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋ (x>0)，证明函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上

x

是增函数；

(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．

题型二 利用函数单调性求参数

ax－1

例2 若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．

x＋1

思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函 数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．

探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的 任意子集上也是单调的．

(1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________．

x－5

(2)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( )

x－a－2A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3

题型三 利用函数的单调性求最值

2

例3 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

3

(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质

f?x1?

和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据

f?x2?x1需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．

x2

x1? 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??x?＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，

2

f(x)<0.

(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

忽视函数的定义域致误

1

典例：(10分)求函数y＝log(x2－3x)的单调区间．

3

易错分析 忽视函数的定义域，认为x的范围是全体实数，导致错误．

温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误． 2.函数的单调性与最值

典例：(12分)(2012·太原模拟)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1， 并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.

审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与

0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)

温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构

造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不

等式化为f(M)

方法与技巧

1． 可以根据定义判断或证明函数的单调性． 2． 求函数的单调区间

首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、 二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性 质；利用导数的性质． 3． 复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)， g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)， 则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范

1． 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分

开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．

2． 两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，

1

等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比. f?x?

A组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是 ( )

A．y＝1－x2 B．y＝x2＋2x 1x

C．y＝ D．y＝

1＋xx－1

2． (2012·徐州模拟)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的

取值范围是 ( ) 330，? B.?0，? A.??4??4?330，? D.?0，? C.??4??4?

11＋

4． 给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x1，其中在区间(0,1)上单调递

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减的函数的序号是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 6． 函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是__________．

7． 若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是____________． 三、解答题(共25分)

11

8． (12分)已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)，

ax

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 1?1

，2上的值域是?，2?，求a的值． (2)若f(x)在??2??2?

a

9． (13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．

x

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

B组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

f?x?

1． 已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )

x

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 2． 已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，

则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ( )

A．一定大于0 B．一定小于0 C．等于0 D．正负都有可能

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3． 已知函数f(x)＝{x＋4x， x≥0，4x－x， x<0， 若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 二、填空题(每小题4分，共12分)

ax＋1

4． 设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是__________．

x＋2a

?1??

6． 设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③

f?x1?－f?x2?f?x1?－f?x2?

>0；④<0.

x1－x2x1－x2

其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．(填序号) 三、解答题(13分)

7． (2012·鞍山调研)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有f?a?＋f?b?

>0成立． a＋b

(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它； 11

(2)解不等式：f(x＋)

2x－1

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

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