北京理工大学自动控制理论04-07真题及解析

北京理工大学

2007年自动控制理论考试试题

一、选择填空 （每小题10分，共60分）

1 采样系统的特征方程为D?z??z2??2K?1.75?z?2.5?0，使系统稳定的K值是（ ） （a）K?2.63 （b）0?K?2.63 （c）所有K?0

（d）不存在这样的K值。

2 采样系统的输出y?kT?的z?变换为Y?z??的输出为（ ）

（a）y?0??0,y?T??27,y?2T??47,y?3T??60.05 （b）y?0??1,y?T??27,y?2T??674.4,y?3T??16845.8 （c）y?0??1,y?T??27,y?2T??647,y?3T??660.05 （d）y?0??1,y?T??647,y?2T??47,y?3T??27 3 s-域的传递函数为G?s??10s?s?2??s?6?z?2z?2z?25z?0.6z3232，则前四个采样时刻

，T为采样周期。经采样后z-域的脉

??z?是（ ） 冲传递函数G??z??（a）G??z??（b）G??z??（c）G??z??（d）G55zz6z?16z?15z6z?11z6z?1????5zz?6T4z?ez?e5zzz?e?55zz?T12z?e?T

?6T?4z?e?2T12z?e5z??6T12z?e5z?6T

?2T?6z?e

?t44 线性系统的单位斜坡响应为y?t??t?4?4e，则该系统的单位阶跃响应为

_______，该系统的传递函数为_______。

5 最小相位系统的开环对数幅频特性如图1，则该系统的速度误差系数Kv=-_______，加速度误差系数Ka=_______。

图1：折线对数幅频特性

6 非线性系统的一个平衡态xe位于不稳定的极限环内，该极限环内没有其它极限环。下述说法正确的是（ ）。 （a）xe是不稳定平衡态。

（b）xe是稳定平衡态，以极限环内的点为初始状态的运动轨迹都趋于xe。 （c）xe是稳定平衡态，以极限环外的点为初始状态的运动轨迹都趋于xe。 （d）上述说法都不对，根本无法判定xe是否稳定。

二、根轨迹方法 （20分）

单位反馈系统如图2，其中G?s??s?bs?s?a?为简便起见，，a?0，b?0为待定参数。

图中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号和均采用这种简便记法。 （1）设Gc?s??K?0,已知根轨迹的分离点和汇合点分别是1和-3。确定参数a

和b并画出根轨迹图；

（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K值。

（3）说明在稳定的前提下该反馈系统和标准二阶系统的阶跃响应在快速性和超

调量两方面有何不同。

图2：单位反馈系统

三、状态空间方法 （20分）

。??考虑系统 ?x?t??Ax?t??bu?t?

T???yt?cx?t??du?t??其中A?R3?3,b,c?R3,d?R

（ⅰ）设u?t??0，已知：若x1?0???100?T,则x1?t???e?t若x2?0???110?,则x2?t??eTT00?T；

??tett0?tT；

etT若x3?0???111?,则x3?t??e??te?teAt?，且

x2?0?x3?0??

?x1?t?x2?t?x3?t???e?x1?0?确定状态转移矩阵eAt和系统矩阵A。

（ⅱ）设

??1?A?0???000??b1????T1，b?b2，c??c1?????2???b3??c3?

?20c2 ?1??2，确定?A，b?的可控性和b1，b2，b3的关系，以及?A，cT?的可观测

性和c1c2c3的关系。

四、频率法 （20分）

考虑图2所示的控制系统，其中G?s??1s?s?a?,a?0。

（1）用Nyquist稳定性判据证明闭环系统对任何比例控制器Gc?s??Kc都不稳

定。

（2）设Gc?s??Kc?1??s?为PD控制器。用Nyquist判据确定使闭环系统稳定的

Kc和?的值。

五、离散控制系统 （20分）

离散系统的状态空间表达式为

?x?k?1??Ax?k??bu?k? ?T????yk?cxk? 其中

?0?A?0????0.510?2.250??1，b??0??3??1?，cTT0???0.2501?

（ⅰ）判断系统的稳定性。

（ⅱ）令u?k??r?k??fTx?k?，求状态反馈阵f使闭环系统的极点为-0.5，0.5，0。

六、Lyapunov稳定性 （10分）

设非线性系统的数学描述如下：

。。y?y?sin?y?0

。（ⅰ）写出系统的状态方程； （ⅱ）求系统的所有平衡点；

（ⅲ）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。

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2006年自动控制理论考试试题

一、根轨迹方法 （25分）

单位反馈系统如图1，其中G?s??1s?s?2?。为简便起见，图中用R表示r(t)的

Laplace变换R(s)。其余的符号和以后的图均采用这种简便记法。 （1）设Gc?s??K,画出根轨迹图；

（2）确定K的值，使闭环系统单位阶跃响应的最大超调量为Mp?e??。计算相

应的上升时间tr； （3）设计控制器Gc?s??tr?3?8Kc??Ts?1??Ts?1使最大超调量Mp保持不变，上升时间为

，并使闭环系统尽可能地简单。

图1：单位反馈系统

二、状态空间方法 （30分）

。??考虑系统 ?x?Ax?Bu （1）

??y?Cx?Du?0?先设 A??1??0001?a0???a1 ??a2??2（ⅰ）证明：若f?s??s3?a2s2?a1s?a0??s??1??s??2?,其中?1??2，则可通过

??Tx，将状态空间表达式（1）变为 状态空间中的线性变换x。??? ?x???y??x?u??BA （2）

???DuCx

??1??J??0其中 A???0?1?可取为 T??0?1?0?200??1 ??2??2?1??11T

?2?2?2?2??

?2001?01（ⅱ）设 A?????00??0 ??1?? 求eJt和eAt。

（ⅲ）A同（ⅱ）， B??110?T,C??001?

判断系统的可控性和可观测性。若系统不可控或不可观测，确定不可控

或不可观测的模态；

（ⅳ）A,B,C同（ⅲ），D=0，x?0???1?11?T,x?t?是状态方程在初态x?0?下的

解，证明xT?0?x?t??3e?t?u?t?,t?0，并解释这个结果。

??1?0（ⅴ）又设 A???0??0001000010??0? 0???1? B,C,D待定。若要通过状态反馈u?t??Kx?t?配置系统的极点，至少需要几

个独立的控制变量（即B至少要有几个线性无关的列向量）？请说明理由。若要通过状态反馈u?t??Kx?t?使闭环系统渐近稳定，至少需要几个独立的控制变量？请说明理由。

三、频率响应分析 （25分）

考虑图2所示的控制系统，其中Gc?s?,G1?s?和G2?s?均为最小相位系统，其渐近对数幅频特性曲线如图3，H(s)=1。

图2：由三个最小相位环节构成的反馈控制系统

图3：渐近对数幅频特性曲线

（1）确定开环传递函数G0?s??Gc?s?G1?s?G2?s?H?s?并画出其渐近对数幅频和相频特性曲线（要求按图3中的尺寸自制两张对数坐标纸）； （2）画出Nyquist曲线G0?j??；

（3）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值，并用根轨迹方法验证； （4）求K=1和K=2时的稳态误差和加速度误差。

四、非线性控制系统 （25分）

系统的方框图如图4所示，其中?1??2??3?1，M2?M3?1，K1?1，所有的非线性特性均关于原点中心对称，G?s??s?1s2。画出负倒特性曲线和线

性部分G?s?的Nyquist图，以此分析系统是否存在自激振荡及其稳定性；如果存

在自激振荡，请计算输出y?t?的振幅和频率。图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：

?2K1??1???arcsinN1?X???1??2XX?2???1?1?????X???，X??1

N2?X??2K2?4M??2??arcsin?2XX??232???2?1?????X???，X??2

N3?X???X4M3?3???1??3??j，X??3 2X?X??

图4：具有非线性特性的反馈控制系统

五、离散控制系统 （25分）

考虑如图5所示的直流电机速度控制系统，ZOH表示零阶保持器。设模拟被控对象的传递函数如下：

Gp?s??261714.877?s?297.456??s?879.844?

数字控制器由微处理器实现，其脉冲传递函数为

D?z??KP?KRT?z?1??? 2?z?1?式中，T?0.001s、KP?1和KR?295.276

图5：直流电机速度控制系统的框图

（1）求数字控制系统的开环和闭环脉冲传递函数； （2）判断整个控制系统的稳定性；

（3）当?d为单位阶跃函数时，求数字系统在采样时刻的输出响应； （4）重新设计数字控制器D?z?，使数字系统对单位阶跃输入具有最小拍输出响应。

常用函数的z-变换表：

1s?zz?1；

1s???zz?e??T；

1s2?Tz?z?1?2

六、Lyapunov稳定性 （20分）

设非线性系统的数学描述如下：

。。x?x?x?1?0

2。（ⅰ）写出系统的状态方程； （ⅱ）求系统的所有平衡点；

（ⅲ）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。

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2005年自动控制理论考试试题

一、（25分）最小相位系统的开环渐近幅频特性曲线如图（1）所示，其中参数?1，

?2，?3，?c为已知。

（1）求开环传递函数表达式；

?c/?2?2，?c/?3?0.1（2）给出闭环系统相位稳定裕量表达式。当?c/?1?100，

时，判别系统的稳定性，并画出Nyquist图的大致形状；

（3）设参考输入r?t??bt?12ct2,求系统的稳态误差。

图（1）

二、（20分）系统如图（2）所示。 （1）画出以Kt为参数的闭环根轨迹；

（2）从根轨迹上确定Kt应取的值和闭环极点，使系统的单位阶跃响应的动态品质指标百分比超调?%?16.3%。

图（2）

三、（20分）设

f1?s??s?6s?12s?832f2?s??s?3s?4s?232

f?s,????1???f1?s???f2?s?（1）试用Routh判据证明，对所有??[0,1]，f?s,??均稳定。 （2）试用根轨迹方法证明，对所有??[0,1]，f?s,??均稳定。

四、（20分）考虑如图（3）所示的离散时间控制系统，D?z?为数字控制器。

图（3）

（1）求被控对象的开环传递函数；

（2）当D?z??1时，判断闭环系统的稳定性；

（3）试设计系统在单位阶跃输入下的最小拍控制器D?z?，并计算调节时间。 注：

1s?zz?1；

1s???zz?e??T；

1s2?Tz?z?1?2

五、（20分）非线性系统如图（4）所示，滞环继电器特性的描述函数为

N?X??4M4hM4?h?1?????j2?X?X?X?2?X4h?h?1??，M?1 ??j2X?X??2（1）该系统是否存在自持振荡？自持振荡是否稳定？

（2）若存在稳定的自持振荡，当要求自持振荡频率??20rad/sec，振幅?0.7时，

继电器参数h应如何取值？

图（4）

六、（25分）如图（5a）所示系统由A、B、C组成，它们各自对不同输入r?t?的响应曲线y?t?分别如图（5b）所示。

（1）该系统的三个环节A、B、C的传递函数是什么？开环系统的总传递函数是

什么？画出其结构图；

（2）从结构图上选状态变量，写出状态空间表达式；

（3）当K?10,T?0.1,求单位阶跃输入时系统的稳态误差和动态响应指标百分

比超调?%，上升时间tr，峰值时间tp。

图（5a）

图（5b）

七、（20分）系统如图（6）所示：

图（6a）

设

G?s??3?s?1??s?1??s?2?,H?s??s?1s?1

（1）写出G?s?和H?s?的对角规范形状态空间表达式，并由此给出图（6b）所示

系统的状态空间表达式；

图（6b）

（2）判断图（6b）所示系统的稳定性；

（3）若系统不稳定，判断是否存在带状态观测器的状态反馈，使系统稳定； （4）设

G?s??s?1s?1,H?s??3?s?1??s?1??s?2?

请重新讨论（1）、（2）和（3）中提出的问题。

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2004年自动控制理论考试试题

一、（20分）设系统A、B有相同的根轨迹如图1所示，系统A没有闭环零点，系统B有一个闭环零点（-2）。

（1）求系统A、B的开环传递函数G(s)H(s); （2）画出它们可能的结构图。

图 1

二、（20分）某系统由典型环节组成，是单位负反馈的二阶系统。它对单位阶跃输入的响应曲线如图2所示。试求该系统的开环传递函数及其参数。

图 2

三、（20分）某非线性系统如图3所示，h1?h2?1,M1?M2?2,饱和特性的描述函数为

??sinN1?X?????2K?1aX?aX2??a?1?????X???；a?h1；K?4M2M1h1；

只有死区的继电器特性的描述函数N2?X??（1）试分析系统的稳定性；

（2）求出系统极限环的振幅和频率。

?X?a?1???,a?h2，M?M?X?2

图 3

四、（20分）已知系统如下图4所示：

图 4

（1）求系统对单位阶跃输入响应的最大超调量和过渡过程时间； （2）求闭环系统的谐振频率?p和谐振峰值M??p?； （3）求开环系统对数频率特性的截止频率?c和相位裕量?。 五、（20分）控制系统的方框图如图5所示。 （1）令系统状态x??x1x2x3?，写出系统状态空间表达式；

T（2）判断系统的稳定性、能控性和能观测性；

（3）判断能否通过状态反馈把闭环系统的极点配置在-2，-3，-4？请说明理由，

并在可能的情况下，求出状态反馈阵F。

图 5

六、（20分）设有如下非线性系统：

?。3x??x?x112? ?。1?x2?x1?x22?（1）试确定系统所有的平衡态； （2）判断各平衡态的稳定性。

七、（20分）离散系统如图6所示。已知K?0,T1?0,T为采样周期，试证明系统的稳定条件是0?K?21?e1?e??TT1?TT1?。

图 6

注：

1s?zz?1；

1s???zz?e??T；

1s2?Tz?z?1?2

八、选择填空题（10分）请将答案标明题号写在答题纸上

（1）线性定常系统的对某输入信号的响应已知，则求该系统对输入信号的导数的响应，可通过把系统对输入信号响应的（ ）来求取；而求该系统对输入信号的积分的响应，可通过把系统对输入信号响应的（ ）来求取。（ ） （a）导数，导数； （b）积分，积分； （c）导数，积分； （d）积分，导数；

（2）在频率法校正中，利用串联超前校正网络和串联滞后校正网络的实质是：（ ）（a）前者主要是利用相位超前特性，后者利用相位滞后特性； （b）前者是利用低频衰减特性，后者利用高频衰减特性；

?010??0?A?bfT???001??????0??f1f2f3?

???0.5?2.25?3????1???010????001?? ???0.5?f1?2.25?f2?3?f3??sI??A?bfT??s3??3?f23?s??2.25?f2?s??0.5?f1?

希望的特征多项式为?s?0.5??s?0.5?s?s3?0.25s

令sI??A?bfT?= ?s?0.5??s?0.5?s，可得

?3?f3?0?f1?0.5??2.25?f?2??0.25??f2?2.5 ??0.5?f?1?0?f3?3即将极点配置在-0.5，0.5，0的状态反馈矩阵为f??0.52.53?T。。。。。六、解：（ⅰ）y?y?sin?y?0 令x1?yx2?y，则

?。状态方程为： ??x1?x2。

??x2??x2?sin?x1?。（ⅱ）由??x1?0?x2?0?x1?k?k?0,?1,?2,??。，得 ???x2?0??x2?sin?x1?0??

?x2?0 所以系统所有的平衡点为?k，0?T。其中k?0,?1,?2,?

（ⅲ）①在平衡点xTe??k，0?，k?0,?2,?4,?处：

。

做偏差置换，令?y?x??11?k?y???y1?y2。

2?x2??y2??y2?sin??y1?k? 将其线性化，得

??f?f?11?A???y1?y?2?f???01???01??0??f22?????cos??y?1?k??1?y?1?0???cos?k?1??????????y1?yy2?02??y1?0y2?0??1??

1

?I?A?0??1??1?j4??12，?2??1?j4??12

两个特征值均具有负的实部，?平衡点xe??k，0?T，k?0,?2,?4,?处是渐近稳定的。

②在平衡态xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处：

T。??y1?x1?ky1?y2???。 做偏差置换，令?

?y2?x2??y2??y2?sin??y1?k?将其线性化，得

??f1??yA??1??f2???y1?f1??y2???f2??y2??1??0??????cos??y1?k??1?y1?0y2?0y1?0y2?0?0?????cos?k1??0????1???1?? ?1?

?I?A?0??1??1?4??12，?2??1?4??12

T有一个特征值具有正的实部，?平衡点xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处是不稳定的。

2006年

一、解：（1）系统的开环传函G0?s??绘制根轨迹的步骤如下:

①开环极点p1?0，p2??2 数目 n=2；无零点

系统有两条根轨迹，分别起始于p1，p2，终止于无穷远处。 ②实轴上根轨迹段为??2，0?； ③渐近线与实轴夹角为?a??90?； 渐近线与实轴交点为?a?0?22??1；

Ks?s?2?

1④由d?1d?2?0

?分离点d??1由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：

???（2）由 Mp?e

1??2?e?????K22?0.707

闭环传递函数为 ??s??s?2s?K2

??2??n?2?K?2? 由 ?K??n2??

??n?2?2???2?

上升时间 tr?22????n1??2?34?

（3）要保持Mp不变，即??，结合tr?????n1??2?38?，得到?n?22

1??Kc?s??T??由题意得，Gc?s??1s?T?

1??Kc?s??1T????开环传递函数G0?s??Gc?s?G?s?? 1s?s?2?s?T?为使闭环系统尽可能简单，取

1T?2，即T?0.5,此时G0?s???Kc2??s?s?????

2?Kc??n?88?s?2??由?2，所以Gc?s???2??n?4???0.5s?4???

??Tx，则x?T?1x?代人（1）可得 二、解：（ⅰ）x。。???1?1?Tx?x??ATx??Bu??TAT????1???Du?y?CTx?y?CT?1?1??TBux??Dux

令

??TATA?1??B2?1?TB??CTC?1。????,即可得到?x??y??x?u??BA

???DuCx00??1 ??2???1? 由T??0?1??11?2?0??2?2?，A?1?2??2??0?0001?a0???1???J??0?a1，计算得A????a2???00e?2t?20??1（ⅱ） J??0???0?20?e?1t0???Jt1?e??0??0?2???00??t?te2??te2??

?01 A?????00010??0??0相当于（ⅰ）中的A?1????1???0001?a0???a1 有a0?a1?0??a2???1101??0 ?0??a2?1

则f?s??s3?s2?s2?s?1?,即?1??1?1??2?0，此时T?0???1?1 A可通过非奇异阵T化为约当阵，即TAT?1??1Jt?TeT?0???1?1101??0?0???1?J。 所以

1??10??0?t1???t?t0????e?t?11?e0??0??te??eAt?e?t??0?0?0100??1??t?0??1???1?110

（ⅲ） rankUc?rankB?AB?1?2AB?rank1???0011?0??0?2?3， ?0??所以系统不完全可控；

rankVo?C??0????rankCA?rank0???2???CA???101?11???1?3 ?1??所以系统完全可观测；

确定不可控模态是在A为J的情况下，看B中的某一行是否为零。

??10此题中A化为J?????00000??1???TB??01时，B???0???1?1100??1??0??????01?1 ?????0????0????1??可见，?1??1所对应的模态为不可控模态，即e?t。

（ⅳ）x?t??ex?0???eAt0tA?t???Bu???d??ex?0??AtT?t0eBu?t???d?

AtxT?0?x?t??x?0?eTAtx?0??x?0??t0eBu?t???d?

At??110???11?t1??t?t??e?t?11?e?t0??1????0?1??1????te????1??10?t??11???t10??t?t??e?t?11?e0??1????01u?t???d?????te????0???3e??1?1???t?11?t?1?u?t???d???0??t???3e?t??u?t?,t?0都有xT?0?x?t??3e?t。

0?10000000??0?，B至少要有2个线性无关的列1??0???1?0???（ⅴ）①将A化为约当阵为A?0??0向量。原因：

若要通过状态反馈u?t??Kx?t?配置系统的极点，即保证系统完全可控。

?,B??A对应的约当阵中出现了两个约当块对应同一特征值-1，若要保证??A?中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线?中对应A状态完全可控，B?的第一行、第二行必须是线性无关的。 性无关的，即B?中至少要有2?B个线性无关的列向量。

（4）由于G?z??0.17?z?0.2??z?1??z?0.4?，除有一个极点在单位圆上外，所以零极点都在

z?1单位圆内部，故可取Ge?z??， 则??z??1?满足r?l?n?m?

zz 则 D?z?????z?G?z?G?15.88?z?0.4?G?z??z?1?z?0.2

e?z??C?z??D?z?G?z?1?D?z?G?z?R?z??1?1?2z?1?z?z?z?3??

可见输出c?k?在1拍以后就完全跟踪输入。 六、解：（ⅰ）。。。。x?x?x2?1?0 令x1?xx2?x，则

?。状态方程为： ??x1?x2。

??x?x22?1?x2?1（ⅱ）由?。??x1?0?x2?0?x1?1?x1??1。，得 ???x2?0??x21?x2?1?0???x2?0或??x2?0

所以系统所有的平衡点为?1，0?T、??1,0?T。 （ⅲ）①在平衡态xe1??1，0?T处：

?。

做偏差置换，令?y?1?x1?1???y1?y2

?y。2?x2??y22??y1?2y1?y2??f?f1? 将其线性化，得?1A???y1?y?2??01???f2?f???02????2y?1?2?1??y1?0??2???y1?y2??yy2?01?0y2?0

?I?A?0???1?j7?j71?2，??12?2

两个特征值均具有负的实部，?平衡点xe1处是渐近稳定的。 ②在平衡态xe2???1,0?T处：

1??1? ??y?x1?1 做偏差置换，令?1?y?x2?2。?y1?y2??。2??y2??y1?2y1?y2

??f1??y将其线性化，得A??1??f2???y1?f1??y2???f2??y2???0????2y1?2y1?0y2?01???1?y1?0y2?0?0???21?? ?1?

?I?A?0??1?1，?2??2

有一个特征值具有正的实部，?平衡点xe2处是不稳定的。

2005年

一、解：（1）由图可得开环传递函数

?s??K??1????1????s2?s???s??1???1????2???3?G?s??

下面来求取K。

设???1时，L?LA，结合??1时，L?20lgK，得

??40?lg?1?lg1??LA?20lgK?c?20lgK?40lg??20lg?1???20lg??lg??L?0?1 1cA??K??c?1?G?s???c?1???s??1????1????s2?s???s??1?1???????2??3?

（2）闭环系统相位稳定裕量

??180?????c??180??arctan?c?1?arctan?c?2?arctan?c?3?180?

=arctan?c?1?arctan?c?2?arctan?c?3

当?c/?1?100，?c/?2?2，?c/?3?0.1时，??20.28?

此时闭环系统稳定。

Nyquist图的大致形状如下图：

（3）由于系统是??型系统，?对于r?t??bt，稳态误差为0

对于r?t???ess2?12ct2， K??lims2G?s??K??1?c

s?0cK??c?1?c

cc稳态误差 ess?ess1?ess2?0??1?c??1?c

二、解：（1）系统特征方程为 s?s?2??10?Kts?1??0

s?2s?10?10Kts?02

1?10Ktss?2s?10Ks2?0

等效开环传函 G??s??

绘制根轨迹步骤如下：

s?2s?102 (K=10Kt)

①开环极点p1??1?3j，p2??1?3j 数目 n=2; 开环零点z?0，数目m=1。系统有两条根轨迹。 ②实轴上根轨迹段为???，0?； ③渐近线与实轴夹角为?a???；

1?1d?1?3j?1d④由d?1?3j

?分离点d??1020?21010?d?10时，K?? ?舍去

分离点d??10

⑤从复极点-1+j3出发的根轨迹的出射角为

??arctan??3??90??180??180??arctan3?90??198.4?

从复极点-1-j3出发的根轨迹的出射角为?198.4?。

由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：

???（2）欲使超调量?%?e

1??2?16.3%，应有??0.5

由??cos?，得??60?

过坐标原点做与负实轴夹角为60?的直线，交根轨迹于A点。设A点坐标为

??，??，显然?????????3?22，将其代人特征方程s2?2s?10?10Kts?0，可得

????1.58?????2.74?K?0.12?t????2?10Kt???10?0?2??2?10Kt???0

???3?

即当Kt?0.12时，可使?%?16.3%，闭环极点从（?1.58?j2.74）开始，沿根轨迹方向移动。

三、（1） 解：依题意得，

f?s,????1???f1?s???f2?s???1???s?6s?12s?8??s?3s?4s?23232????

?s??6?3??s??12?8??s?8?6?32

列Routh表如下：

ss3 1

12?8? 8?6?

2 6?3?

s1

24??78??646?3?2

s0 8?6?

24??78??646?3?2对所有的??[0,1]，有6?3??0 ?0 8?6??0

?对所有??[0,1]，f?s,??均稳定。

（2）

解：f?s,????1???f1?s???f2?s???1????s3?6s2?12s?8????s3?3s2?4s?2?

?s??6?3??s??12?8??s?8?6?32323

2s??6?3??s??12?8??s?8?6??0?s?6s?12s?8?3s?8s?6??02??

?1???3s?8s?632?2?s?6s?12s?8?0 即等效开环传递函数为：

G?s????3s?8s?632?2?s?6s?12s?8??42??42??3??s??j??s??j????33??33????s?2?3

设K?3?，G?s???42??42?????Ks??js??j????33??33????s?2?3，根轨迹图如图所示：

根轨迹与虚轴的交点处K为：

K??s?2?3s?283?3s?0

s?2

此时，??1，当0???1时，由根轨迹可知，f?s,??均稳定。 四、解：（1）系统开环脉冲传递函数

?1?e?Ts???5111??1?1?1G?z??????51?z??51?z?????2??s2ss?1?ss?s?1?????s?s?1????????51?z??1????Tz2??z?1??zz?1?zz?e?T?KT?1?ez?1?e???T??z?1z?e????T????T?Te?T???

当T=1s时，

G?z??5?0.368z?0.264???z?1??z?0.368?1.825z?1.32z?1.368z?0.3682

（2）当D?z??1时，闭环传递函数

??z??G?z?1?G?z??1.825z?1.32z?0.457z?1.6882

系统z特征方程为：

D?z??z?0.457z?1.688?02

用Routh判据来判断系统的稳定性： 令z???1??1，得D????2.231?2?1.376??3.145?0

所以闭环系统不稳定。 （3）可设Ge?z??z?1z， 则??z????z?G?z?Ge?z??1z?满足r?l?n?m?

? 则 D?z???D?z?G?z?1G?z??z?1??1?2?z?0.368?0.548z?0.273

C?z??1?D?z?G?z?R?z??1z?1?z?z?z?3??

可见调节时间为1拍，即1个采样周期。 五、解：（1）由已知得 ?1N?X???X4??h?h?1????j4?X?2

负倒特性曲线如图7.9所示：

G?j???20j??0.1j??1???21?0.01?2?j20??1?0.01?2?

G?j??曲线如图7.9所示：

由图可知，负倒特性曲线与G?j??曲线有交点。所以存在自持振荡，

并且是稳定的自持振荡。（由不稳定区?稳定区）

图7.9 系统?1N?X?曲线和G?j??曲线

（2）由?1N?X??G?j??，得

?h20??2?4?1?0.01?? ?2h?2??X1?????2?41?0.01??X????由①得，h?80???1?0.01?10X22? 当??20时，h?20.8??0.255

由①、②得，

?h2??h?h?X?2

?1100当??20,X?0.7时，h?0.313 所以h的范围是 0?h?0.255

六、解：（1）由图可知，环节A的传递函数为：GA?s??K;

环节B的传递函数为：GB?s??环节C的传递函数为：GC?s??1Ts?11s;

。

开环系统的总传递函数为：G?s??Ks?Ts?1?，系统结构图如图8.4所示：

图8.4 系统结构图

（2）把系统结构图化为图8.5的形式，在图8.5上选取状态变量x1、x2，可得

x1?K?u?y??K?u?x2???Kx2?Ku。。x2?1Tx1?1Tx2

y?x2 即状态空间表达式为：

??。?x1??。????x2??????y??0??0?1??T?K??x??K?1??1????u?x0T???2????x1?1????x2?

图8.5 状态变量选取图

（3）当K?10,T?0.1时，开环传递函数为G?s??Ks?Ts?1??10s?0.1s?1?

可见系统是Ⅰ型，对于单位阶跃输入，稳态误差为零。 闭环传递函数为 ??s??G?s?1?G?s??100s?10s?1002

对照标准二阶闭环传递函数，有??0.5,?n?10

???1??2超调量： ?%?e?100%?16.3%

由 ??cos??0.5???60????2?3

?32上升时间： tr?????n1????0.24s

101?0.5峰值时间： tp???n1??2??101?0.52?0.36s

七、解：（1） G?s??3?s?1??s?1??s?2??2s?1?1s?2

?。?1?x??对角规范型状态空间表达式为：???y??2?H?s??s?1s?1??1?x????u?2??1?1?x

。??x??x?u对角规范型状态空间表达式为：?

??y??2x?u由题意，得 G1?s??3?s?1?2?s?1??s?1??s?5?1016?3s?6s?3s?5s?s?5322

??0。???x?0?系统的状态空间表达式为：????5??y??30??0????1x?0u???

??5???1??3?x（2）由?I?A?0??1?1,?2??1,?3??5,有一个具有正实部的特征值，

所以系统不稳定。

（3）由（1）中的状态空间表达式可知，为可控标准型实现 计算rankV?C??3????rankCA?rank15???2???CA????456663???9?2，所以系统不可观； ??39??o 其实，也可根据G1?s?的表达式写出其可观标准型实现，经计算，不可控。 即系统的可控、可观测性有一个被破坏（因为存在零极点相消）。 所以不存在带状态观测器的状态反馈，使系统稳定；

（4） G?s??同理可得，

s?1s?1,H?s??3?s?1??s?1??s?2?

。??x??x?u1）G?s?的对角规范型为：?

??y??2x?u?。?1?x?? H?s?的对角规范型为：???y??2???1??x???u?2??1?1?x3

?s?1?2?s?2?G1?s????s?1??s?1??s?5?s?3s?2s?5s?s?532?1??5s?2s?7s?5s?s?5322

?0??01?0?。??????x?001x?0u???? 系统的状态空间表达式为：?????51?5???1????y??7?2?5?x?u2）由?I?A?0??1?1,?2??1,?3??5,有一个具有正实部的特征值，

所以系统不稳定。

3）由1）中的状态空间表达式可知，为可控标准型实现

?C??7????rankCA?rank?25???2???CA???115?22?2?5??23?2，所以系统不可观； ??113?? 计算rankVo 其实，也可根据G1?s?的表达式写出其可观标准型实现，经计算，不可控。 即系统的可控、可观测性有一个被破坏（因为存在零极点相消）。 所以不存在带状态观测器的状态反馈，使系统稳定；

2004年

一、解：（1）由图可知，开环零点为z=-2，开环极点为p1?p2??1，所以A、B

的开环传递函数为

G?s?H?s??K?s?2?

?s?1?2*（2）由系统A没有闭环零点，得其可能的结构图如图1（a）所示。

设状态反馈矩阵F??f1?1?A?BF?1???0s?f1?1sI??A?BF0?21ff2f3?

0??1????0?0?f1???1????0??2f2?1?f1?f3??1???0?f2?21?f3??0 ?1??f30s?1s?9s?26s?2432???10s?2?1?s?f1s??f1?f2?3?s??2?2f1?f3?f2?

32希望的特征多项式为?s?2??s?3??s?4??

令sI??A?BF?=?s?2??s?3??s?4?，可得

f1?9??f1?9??f1?f2?3?26??f2?20 ??2?2f?f?f?24?f?60123??3即将极点配置在-2、-3、-4的状态反馈矩阵为F??92060?。

?23?x??x1?x2?0???x1?0?1?x?0?4 六、解：（1）由?。1，得 ??或?1?x1?x2?0?x2?0?x?2???x2?02?2?2?。 所以系统所有的平衡态为?0，0?（2）①在平衡态xe1??0，0?处：

TT?2、?,?4?2??2??T。

??f1??x 将其线性化，得A??1??f2???x1?f1??x2???f2??x2??x1?0x2?0??1???1?3x2?1???2?2x1?0x2?0??1??1??0?1? ?2?? ?I?A?0????1或?0.5

两个特征值均具有负的实部，?平衡态xe1处是渐近稳定的。 ②在平衡态xe2?2??,?4?2??2??T处：

??。232233y?x?y??y?y?y2?y2?1?12?1?1422 做偏差置换，令? ??。1?y?x?2?y?y?y21222??2?2???f1??y将其线性化，得A??1??f2?f1??y2???f2????1???13y2?32y2??123?2??????1???1?2? 1???3???y1?y2??y1?0?2?y1?0?yy?02?02 ?I?A?0????2或0.5

有一个特征值具有正的实部，?平衡态xe2处是不稳定的。

七、解：系统开环脉冲传递函数

???K???G?z?????K?????T??T1???K?K??K?zz??s??1s?1????s??1??1??z?1?z?e?TT1?

??s????s??T??1????s???T1???Kz?1?e?TT1??z?1??z?e?TT1?

系统z特征方程为：

D?z???z?1??z?e?TT1??Kz?1?e?TT1??z2??K?Ke?TT1?1?e?TT1?z?e?TT1?0

用Routh判据来判断系统的稳定性，令z???1??1，可得?域特征方程为???1?2T1?TT1???1?2??K?Ke?T?1?e?TT1???1??1?e?0

K?1?e?TT1??2?2?1?e?TT1???2?1?e?TT1??K?1?e?TT1??0

在?平面上应用Routh判据可得系统稳定的充要条件是

??K?1?e?TT1??0?2?1?e?TT1??0

?2?1?e?TT1??K?1?e?TT?1??0?TT1?系统稳定条件是0?K?2?1?e??1?e?TT1?。 2?

八、（1）c （2）d （3）a （4）b （5）b

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