2007-2012年湖州市(期望杯)初三数学竞赛试题和答案

1 2007年湖州市”期望杯”初三数学竞赛试卷

(考试时间120分钟 满分120分) 2007.12

一、选择题

（共8小

题，每小题5分，满分

40分。以下

每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分）

1．正实数,x y 满足1xy =,那么441

1x y +的最小值为（ ）

(A)1

2 (B)2 (C)1 (D)2

2．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为,,a b c ，则,,a b c 正好是直角三角形三边长的概率是（ ）

（A ）1216 （B ）172 （C ）136 （D ）1

12

3．已知，如图1，点G 是BC 中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2厘米的速度沿图1的边

线运动，运动路径为：GCDEFH ，相应的三角形ABP 的面积y （平方厘米）关于运动时间t （s ）的图象如图2，若AB=6厘米，则下列四个结论中正确的个数有（ ）

①图1中的BC 长是8厘米; ②图2中的M 点表示第4秒时y 的值为24;

③图1中的CD 长是4厘米; ④图2中的N 点表示第12秒时,y 的值为18.

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

4．回文数是指

这个数字由左

向右读起来与

由右向左读起

来数值都相

同，例如：电

子时钟上显示

的时间

02:20 ，

23:32就是回

文数。有一个

24时制的数字钟显示的范围从00:00到 23:59 。请问在一天之中有多少次钟面显示的数字出现回文数？（ ）

题次 一 (1--8) 二 (9--14) 三 总分

15 16 17 18 得分 评卷人

2 第9题 A B D P

C 第8题 第12题 A C

D A 1 B 1 C 1 D 1 第13题

（A ）12 （B ）16 （C ）17 （D ）18

5．若关于x 的方程0tan 2222=?++x x 有两个相等的实数根，且000180,

（A ）045 （B ）060 （C ）030 （D ）015

6．ΔABC 的三边长皆为整数,且24a bc b ca +++=,当ΔABC 为等腰三角形时,它的面积的答案

有（ ）

(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种

7．四条直线y=x+10，y=-x+10，y=x-10，y=-x-10在平面直角坐标系中围成的正方形内（包括四边）整点的个数有（ ）个。（若x 、y 都为整数,则（x ，y ）为整点）

（Ａ）221 （B ）222 （C ）223 （D ）224 8．如图，点P 是平行四边形ABCD 内一点，

且9,6,PAB PAD S S ??==那么PAC S ?等于（ ）

（A ）4 （B ）4.5 （C ）3 （D ）无法确定

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，

且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 。

10．某中学生暑期社会调查团共17人到几个地方去考察，事先预算住宿费平均每人每天不超过x 元。一日到达某地,该地有两处

招待所A 、B 。A 有甲级床位8个，乙级床位11个；B 有甲级床位10

个，乙级床位4个，丙级床位6个。已知甲、乙、丙床位每天分别为

14元、8元、5元。若全团集中住在一个招待所里，按预算只能住B 处，则整数x = 。

11．若p 和q 为质数，且9135=+q p ，则22p q + 。

12．如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P 是正六边形的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三

角形斜边的长 。

13．在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正

方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结

如图所示，若小正方形的面积恰为32811,则n 的值为 。 起来,14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1， 2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面个数的和。现以这组数中的各个

数作为正方形的边长构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形

3

11

2

3

15

1

12

11

32

1④

③

②

①1

1

2

3

5

...

拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为8的矩形周长是 。

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，a

C +=11，试比较A 、B 、C 的大小，并说明理由．

16．已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．

（1）求x 1，x 2 的值；

（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

4

17．如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C 。

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图②，E 为BC 延长线上一动点，过A 、B 、E 三点作⊙O’，连结AE ，在⊙O’上另有一点F ，且AF ＝AE ，AF 交BC 于点G ，连结BF 。下列结论：①BE ＋BF 的值不变；②

AG BG AF BF ，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

(第17题图①)

5

18．已知42++=m m y ,若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）

（1）求c b a 、、的值；

（2）对c b a 、、

的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．

(第17题图②)

6

2008年初三数学竞赛试题

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40

A ，

B ，

C ，

D 号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1. 已知x

x

x x -=

-11，则x 应满足（ ） A .x ＜1

B . x ≤0

C . x ＞1

D . x ≥0且x ≠1

2. 有一个游戏的规则是：你想一个数，乘以2，加上8，再除以2，最后减去你所想的数，我就知道结果．这

个结果是（ ） A .1

B . 2

C .3

D . 4

3． 在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取( )个

A .8个

B .9个

C .7个

D . 6个

4.已知关023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简

b a b

c c a ---+-的结果是…………………（ ）

A .2a

B .2b

C .2c

D .0

5. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，在斜边AB 上取两

点M 、N ，使∠MCN =45°．设MN=x ，BN=n ，AM=m ，则以x 、m 、n 为边的三角形

的形状为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x 、m 、n 的值而定 6．函数y ＝1

x

-图象的大致形状是（ ）

y

x

O

y

x O

y

x

O

y

x

O

N

M

C

B

A

7

A B C D

7. 设n 是正整数，0＜x ≤1，在△ABC 中，如果AB ＝x n +，BC ＝x n 2+，CA ＝x n 3+，BC 边上的高AD ＝n ，那么，这样的三角形共有（ ）

A.10个

B.11个

C.12个

D.无穷多个

8. 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2 次，若两个正面朝上

的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。 A.512 B.49 C.1736

D.12 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．如图5，点A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，∠A=25°，∠O=54°，则∠E= °.

10．如图，在△ABC 中，AB=AC, AD ⊥BC, CG ∥AB, BG 分别交AD,AC 于E,F.若32=BE EF ，那么

BE GE 等于 .

11．在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于

O 点，若S △＝4，S △＝9，则凸四边形ABCD 面积的最

小值为__________________．

12. 如图，P （x ，y 边长为6的正方形边上及其内部的点， 若x ，y 都是整数， 则这样的点P 共有13. 已知二次函数c bx ax y ++=2（其中的图象经 过点A （－1，4）与点B （2，1x 轴有两个不同的交点，则b+c 14. 若关于x 的二次方程ax 2－(3a+1)x+4a －5=0至少有一个整数根，则正整数a 的值

是 ．

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式 211220111

x x x a x x x +-++++=-+- 试求所有这样的实数a 的和．

第9题 B

O A D E A

B C G F E 第10题

16．如图。已知△ABC边BC上高AE和边AC上高BF的交点为H．⊙O是△ABC的外接圆，M为AB的中点．连结MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．

F

E

8

9

17．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝4， ∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，已知

A （1，0），A

B 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重

合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移

动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S.

（1）求折痕EF 的长；

（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线2

43y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；

（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围.

18．如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1

个长度单位。 （1）如图，格点C 与格点A 、B 构成的三角形ABC 的面积是2，还有一些格点与格点A 、B 构成的三角形面积也是2，请找出所有

这样的格点，并在图上标示出来。

（2）有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD，请你找出所有这样的格点D，并在图中标出。

A

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；如没有，思考：在下面的8*8格点图中，是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图（如100*100个点的格点图），这个结论是否成立？

（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形，有没有以AB为底的等腰直角三角形？一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有？

10

11 2008年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议 题次

1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D B

D C C 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．52O

10．2

3 11．25

12．49

13．-4

14.2或3

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．(12分)

解：题中等式可化为 2

2240x x a +++= ①

（1）当方程①有两个相等的实数根时， △442(4)0a =-??+=V ，--------（2分） 由此得172a =-

，此时方程①有一个根12x =-，验证可知12

x =-的确满足题中的等式 当方程①有两个不相等的实数根时，442(4)0a ?=-??+>，由此得72a <-（2分） （2）若1x =是方程①的根，则原方程有增根1x =，代入①解得28a =-，此时方程①的另一个根2x =-，它确也满足题中的等式； （4分）

（3）若1x =-是方程①的根，则原方程有增根1x =-，代入①解得34a =-，此时方程①的另一个根0x =，验证可知0x =确满足题中的等式； （2分）

因此172a =-，28a =-，34a =-即为所求，且123312

a a a ++=-（2分） 16．(12分)

作⊙O 直径CE ．连结AE 、BE

四边形BHAE 为平行四边形．故线段AB 与EH 互相平分．

又由题设知M 为AB 的中点．且点D 在MH 的延长线上．

于是点E 、M 、H 、D 在同一直线上

．因为CE 为⊙O 直径，

所以．∠EDC=90°．故HD ⊥CD ．

17

12

18．（1）C1、

C2、C3、C4，

如图：

B

C

C

A

C

（答对一

个给0.5

分）

（2）

D1、D2、D3、

D4等9点，

如图：

D

A

B

D

（答对一个给0.5分）

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没

有格点为顶点的等边三角形。(2分)

说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）,(c,d),证明a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。(2分)

（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以AB为底的等腰直角三角形。

一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),符合条件的第3个点有几个，如其中一个可以是（a+d-b,b+a-c）。

在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),只有当a+d与b+c具有相同的奇偶性时，才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。(4分)

13

14

2009年初三数学竞赛试题

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．

3．可以用计算器

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40

后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1. 下列各对数的大小比较，正确的是( ) A ．34.14.1< B ．4

1

)5.0(3->-

C ．2332--<

D ．3557->-

2. 已知,11=-a a 那么代数式a a

+1

的值为（ ）

A .

25 B . －2

5

C .－5

D .

5

3．甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离s(km)和骑行

时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法: (1)他们都骑行了20km; (2)乙在途中停留了0.5h; (3)甲、乙两人同时到达目的地; (4)相遇后,甲的速度小于乙的速度. 根据图象信息,以上说法正确的有( ) A.4个 B.3个

C.2个

D.1个

4．在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线， 并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6．那么△ABC 的面积 等于（ ）

第3题图

D

A

E

B

C

第4题图

15 A．12B．14 C．16D．18

5．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在

6．下图中阴影部分的面积与算式│-3

4

│+（

1

2

）2+2-1

的结果相同的是（）

7．观察数列：1，2，5，12，29，70，169，□，…的规律性，则根据上述规律，□所表示的数应是（）A．239B．250C．389D．408

8．如图，将矩形ABCD纸片对折并重新放平，得折痕MN，

再将纸片沿AE折叠，使点B落在折痕MN上。

若AB=3，则折痕AE的长为( )

A．2 B．3

4

3

C．3

2

3

D．3

2

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．关于x的方程0

2

2=

-

-

+a

x

x有唯一的实数解，则a=________.

10．

2

222

151********

22233100100

+-

++++

+++

L=__________.

11．已知x、y为正整数(x≥y )，且满足xy– ( x + y ) = 2p + q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数。试写出满足上述条件的数对(x，y ) （写出一对即可）．

12.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC

于F，M为EF中点，则AM的最小值为． A

B C

P

E

F

M

第22题

l

P

C

B

第5题图

B′

′

A

B

M

E

第8题图

16

）

13．试写出关于点P （1，1）成中心对称的两条抛物线的解析式 ；

14. 观察下列数表：

第一列 第二列 第三列 第四列

第一行 0 2 4 6 …

第二行 2 4 6 8 …

第三行 4 6 8 10 …

第四行 6 8 10 12 …

… … … …

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n 行与第n 列交叉点上的数应为______．(用含有正整数n 的式子表示)

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．解不等式 0321>--++-x x x ．

16．

某乡A

B ，两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300240吨，D 仓吨．现将这些柑桔运到

C

D ，两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存库可储存260吨；从A 村运往C D ，两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C D ，两处的费用

分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A

B ，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．

（1）请填写下表，并求出A B y y ，与x 之间的函数关系式；

（2

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．

17

18

17．如图，已经矩形ABCD 中，延长BC 到E ，使CE ＝CA ，F 是AE 的中点，

求证：BF ⊥FD ．

18． 已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？

A B E

19 （2）设△AQP 的面积为y （2

cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

P

图①

20

2009年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．ａ=±49 10．101

199 11．x = 9， y = 3 或x = 5， y = 5. 12．

56

13．略

14.20，4(ｎ－1)

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)

解： （1）当x ＜－2时，得－3x －4＞0， ∴3

4

-

（2）当－2≤x ≤1时，得－x ＞0，x ＜0

∴ －2≤x ＜0

（3）当x ＞1时，得x －2＞0，x ＞2 ∴ x ＞2

综上所述，可得原不等式的解是x ＜0或x ＞2

16．(12分)

55000(0200)A y x x =-+≤≤，34680(0200)B y x x =+≤≤．

（2）当A B y y =时，550003468040x x x -+=+=，； 当A B y y >时，550003468040x x x -+>+<，； 当A B y y <时，550003468040x x x -+<+>，．

∴当40x =时，A B y y =即两村运费相等；当040x <≤时，A B y y >即B 村运费较少；当

40200x <≤时，A B y y <即A 村费用较少．

（3）由4830B y ≤得346804830x +≤

21 50x ∴≤

设两村运费之和为y ，A B y y y ∴=+．

即：29680y x =-+．

又050x Q ≤≤时，y 随x 增大而减小，

∴当50x =时，y 有最小值，9580y =最小值（元）．

答：当A 村调往C 仓库的柑桔重量为50吨，调往D 仓库为150吨，B 村调往C 仓库为190吨，调往D 仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．

17．（12分）

证明：延长DF 交BE 于M ，连结BD

∵ AD ∥ME ， ∴ ∠DAF ＝∠MEF

又 AF ＝FE ， 且∠AFD ＝∠EFM

∴ △AFD ≌△EFM ∴ DF ＝FM

∵ BD ＝AC ＝CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋AD ＝CM ＋BC ＝BM

即 BD ＝BM ，且 DF ＝FM ∴ BF ⊥FD

18． 解：（1）由题意：BP ＝tcm ，AQ ＝2tcm ，则CQ ＝(4－2t)cm ，

∵∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∴AB ＝5cm

∴AP ＝（5－t ）cm ，

∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，

∴AP ∶AB ＝AQ ∶AC ，即（5－t ）∶5＝2t ∶4，解得：t ＝10

7

∴当t 为10

7秒时，PQ ∥BC

………………2分 （2）过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，则易证△AQD ∽△ABC

∴AQ ∶QD ＝AB ∶BC

∴2t ∶DQ ＝5∶3，∴DQ ＝6

5t

∴△APQ 的面积：1

2×AP ×QD ＝1

2（5－t ）×6

5t

∴y 与t 之间的函数关系式为：y ＝2

335t t -

………………5分 （3）由题意：

当面积被平分时有：2335t t -＝1

2×1

2×3×4，解得：t

＝52±

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