等腰三角形典型例题练习（含答案） - 图文

等腰三角形典型例题练习

一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm， 则点D到AB的距离为（ ）

A5cm B3cm C2cm D不能确 ． ． ． ． 定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（ ） A0 ． B1 ． C2 ． D3 ．

6．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．

1

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

11（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．

（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．

12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD的度数．

14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，

求证：AE=CF．

15．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．

2

（4）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．

等腰三角形典型例题练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（ ）

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 1：3 ．

考点： 分析： A5cm ． 考点： 分析： B3cm ． C2cm ． 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系D不能确定 面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 解答：． 解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°， ∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠角平分线的性质． ∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠ED由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解． ∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：解答： 解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D ①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C． 故答案为：1：3． 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（ ） 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证D3 ． A0 ． 考点： 分析： B1 ． C2 ． 解答： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，DE=DF． 可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又 可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确． 解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=考点∠BCE=60： °，AC=DC全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．，EC=BC， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB分析：，∴△ACE ≌△DCB过（DSAS作DM），⊥ AB，于M，DN⊥AC于N，根据角∴AE=BD，故①正确； 理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60解答：°，∴ ∠ACD=∠证明：过MCN=60D°，作 DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．

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∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△A即∠EMD=∠FND=90°， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°， ∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°， ∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD， 在△EMD和△FND中 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF． BC至E，使CE=CD．连接DE． 延长（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什 么？ 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

考点： 分析： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定． （1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然 即可推出∠E的度数； 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． （2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为分析： 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答： 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，解答： 解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB， ∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO， （2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC． ∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，是什么三角形？并说明理由． ∠A=30°．求证：AB=4BD．

考点： 分析： 解答： 考点： 分析： 解答： 含30度角的直角三角形． 由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=9．如图，∠FCD，即可证明△ABC中，△AB=ACABC是等腰三角形．，点D、E分别在 AB、AC△ABC是等腰三角形． 的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=DF=EF∠CFD=90． °，且DE=DF， ∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，

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考点： 分析： 解答： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．11．（2012 ?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠底边BC上一点，1=∠2，∠PE4=⊥AB∠3，再根据等腰三角形的性质可，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得为E、F、H．易证PE+PF=CH△DFG≌．证明过程如下：△EFC，即可得到结论． 证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，如图① ，连接AP． ∴∠1=∠2，∠4=∠3， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE， 在△DFG和△EFC中 S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． ，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF． S△ABP+S△ACP=S△ABC，又∵∴AB?PE+AC?PF=AB?CH． ∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明： （2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

考点： 分析： 解答： 考点： 等腰三角形的性质；三角形的面积． 全等三角形的判定与性质． 分析： （1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC即可得出，所以FE=ECPE=PF+PH，即；CF=2CE ，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE． （2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F． PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE的点时，运用结论， PE=PF+CH． 又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE解答：．∴CF=2CE ．解： （1）如图②，PE=PF+CH．证明如下： ∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD． ∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC． ∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+A

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（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH． 可； （3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长上，D在BC的延长线上时，求出CD=1． ∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7． 解答： 解：（1）故答案为：=． 分两种情况： ①P为底边BC上一点，如图①． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4； ∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，A②P为BC延长线上的点时，如图②． ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AE∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10． ∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF， ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE （3）解：CD=1或3， 12．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3； 考点： 分析： ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于 则AM∥EM， 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1 ， （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN即可； （2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即

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∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=1 13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 考点： 分析： 解答： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60从而证得结论； （2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD∴AD=BE． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠C 15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB

延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．和CF， 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出求证：AE=CF．AB=AC=CD ，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可． 解：∠F=∠MCD， 理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°， 在△ACE和△ABE中 考点： 分析： 解答： ∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴ AB=AC， 考点： 全等三角形的判定与性质． ∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM分析： ，CE=BE根据已知利用，∴∠CMA=∠BMASAS，即可判定 △ABE≌△CBF，根据∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA解答：， 证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°， ∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD， 又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）． ， ∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）， 16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠在PMF=180△EOF中，∠°， EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F． 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由． 14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD的度数．

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考点： 分析： 解答： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． ∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG． 可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣D得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF． 解：AE与BF相等且垂直， 理由：在△AEO与△BFO中， ∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF， ∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF． 延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO， 由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF． 17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

考点： 分析： 解答： 考点： 等腰三角形的性质；三角形的面积． 等腰三角形的性质． 分析： 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明； S△CAB=AB?CF，S△PAC=AC?PE，AB?PD=（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答： 解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为解：（1）DE+DF=CG． 连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB， 证明：连接AD， ∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=A则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF． 又∵AB=AC，∴S△PAC=AB?PE，∴AB?PD=A （2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG． 即AB（PE+CF）=AB?PD，∴PD=PE+CF． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF

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