奥数学生版

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专题一：速算与技巧

[专题介绍]:计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 速算与巧算主要加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

[经典例题]1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。

例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。

例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？ 例4 求292和822的值。

例4 求9932和20042的值。

例5 88×64＝？

例6 77×91＝？

专题二：百分数应用题

1、 较复杂的百分数应用题

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例1、 甲校学生人数是乙校学生人数的40%，甲校女生人数是甲校学生人数的30%，乙

校男生人数是乙校学生人数的42%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？

做一做：1、如果一个三角形的底边长增加10%，底边上的高缩短10%，那么这个三角形的面积是原来三角形面积的百分之几？

有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入32块水果糖后，奶糖就只占25%，那么这堆糖中有奶糖多少块？

做一做：2、某中学上年度高中男、女生共有290人，这一年度高中男生增加4%，女生5增加%，共增加了13人，本年度该校有男、女生各多少人？ 例3、某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知： 1、甲、乙两校获一等奖的人数相等。

2、甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5：6 。 3、甲、乙两校获二等奖人数的总和占两校获奖人数总和的20% 4、甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50% 5、甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。 那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分之几？ 2、

商品销售中的百分数应用题。

商品销售要获得利润（赚的钱），获利多少可用利润率（百分数）来反映。要解决商品销售中的数学问题，必须了解以下各种量之间的关系。

利润＝卖价－成本，利润率＝利润/成本 ×100% ，定价＝成本×（1＋期望利润率） 卖价＝成本×（1＋利润率），成本＝卖价÷（1＋利润率），减价后的卖价＝定价×折扣（百分数）

折扣（百分数）＝减价后的卖价/定价

例1、某书出售时比原价降低了10%，第二次增订出版增加了篇幅，比上次售价增加10%出售，售价为9.9元。问：原版书每本的定价是多少元？

例2、某商品按定价出售，每个可获得利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元出售12件所获利润一样多，这种商品每件定价多少元？

做一做：3、一种香瓜大量上市，每天的价格都是前一天的80%，妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元，若这10个瓜都在第三天买，则能少花多少钱？

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例3、 有一批练习本，按40%的利润定价出售，当销售掉80%后，剩下的打折扣出售，结

果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时折扣是多少？

做一做：4、某电子产品按定价的80%出售，能获得20%的利润，由于今年买入价降低，按同样定价的75%出售，就能获得25%的利润，那么今年买入价是去年买入价的几分之几？

例4、张先生向商店订购每件100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5%，则由于张先生的订购数增加，获得的利润反而比原来多100元。部：这种商品的成本是多少元？

专题三：工程问题

1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？

2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？ 二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只? 三．数字数位问题

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1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...

3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少? 4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数. 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.

8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数. 答案为3963

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分? 四．排列组合问题

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 五．容斥原理问题

1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？

六．抽屉原理、奇偶性问题

1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？

2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？

3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）

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七．路程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数） 7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?

9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?

八．比例问题

1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快

2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?

4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？ 5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？

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专题四： 分数应用题（一）

用分数来解答的应用题叫做分数应用题，与百分数有关的应用题叫做百分数应用题。分数应用题有以下三种基本类型：

求一个数是另一个数的几分之几； 求一个数的几分之几是多少；

已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，他有其自身的特点和解题规律。在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。实际上分数（百分数）应用题涉及的知识面广，数量关系变化多端，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，通过分析推理，弄清量与分率的对应关系，将复杂的分数应用题转化为上述三种类型，然后依据有关的数量关系解答应用题。

在日常生活、生产当中会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。这两讲我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律。

11例1 新华书店运来一批图书,第一天卖出总数的8多16本,第二天卖出总数的2少8

本,还余下67本。这批图书一共多少本?

1例2 某工厂第一车间原有工人120名，现在调出8给第二车间后，这是第一车间的人6数比第二车间现有人数的7还多3名。求第二车间原来有多少人？

例3 学校图书室内有一架故事书，借出总数的75%之后，有放上60本，这时架上的书

1是原来总数的3。求现在书架上放着多少本书？

3例4 一块西红柿地，今年获得丰收。第一天收下全部的8，装了3筐还余12千克，

第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐。这块地共收了多少千克？

6例5 库房有一批货物，第一天运走20吨，第二天运走得吨数比第一天多17，还剩下9这批货物的17，这批货物有多少吨？

例6 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公顷。那么这块稻田有多少公顷？

练习题

111．小明看一本小说，第一天看了全书的8还多21页，第二天看了全书的6少4页，

还剩下102页。这本小说一共有多少页？

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72．某小学五年级有三个班，一班和二班的人数相等，三班的人数占五年级的20，并

且比二班多3人，问五年级共有多少学生？

113．有一堆砖，搬走4后又运来306块，这时这堆砖比原来还多了5，问原来这堆砖有

多少块？

14．车间共有工人152名，选派男工的11和5名女工参加培训班后，剩下的男女工的人

数正好一样多。问车间的男、女工各有多少人？

5．一本书，已看了30页，剩下的准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页

5数恰好为全书的22，这本书共有多少页？

16．一瓶饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重700克；如果喝掉饮料的3后，连瓶共

重800克，求瓶子的重量。

7．食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多2千克，第三天又吃掉剩下的油的一半多3千克，最后桶里还剩下2千克油，问桶里原有油多少千克？

38．菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的8时，装满了4筐还多36千克，收完其余的部

分时，又刚好装满8筐，求共收黄瓜多少千克？

119．甲乙丙三人到银行存款，甲存入的款数比乙多5，乙存入的款数比丙多5，问甲存

入的款数比丙多几分之几？

10．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年。再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须，又过了生命的七分之一他才结婚，再过了五年，他幸福的得了个儿子。可这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世的生涯。”你能根据这段话推算出丢番图活到了多少岁吗？多少岁结婚？

分数百分数应用题（一）

一、例题

1、水结成冰时，体积增加

1，当冰融成水后，体积要减少几分之几？ 10

2、某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个

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商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？

3、某处摆着甲、乙两盆花，一群蜜蜂飞来，在甲花上落了

11，在乙花上落了。假如这群43蜜蜂中再有两盆花上蜜蜂之差的3倍的蜜蜂落在花上，则剩下2只蜜蜂，这群蜜蜂共有多少

只？

4、小牛乘汽车从县城到省城需2天，他第一天走了全程的等于第一天的

5、光明小学六年级有学生360人，其中女生占年级总人数的60%，转来的女生有多少人？

6、甲乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他原有猪的

1又72千米，第二天走的路程21，求县城到省城的距离。 27，后来又转来了几名女生，这样女生占六121，已卖掉110头，则甲、4乙两户剩余的猪的头数相等，甲两户原来积各养猪多少头？

7、人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的20%，乙车间加工余下的25%，丙车间加工再余下的40%，还剩下3600个没加工，这批零件共有多少个？

8、庆丰文具店运来的毛笔比钢笔多1万支，其中毛笔的

31与钢笔的支数相同，庆丰文具72店共运来多少万支笔？

9、四个孩子合买一只60元的小船。第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的三分之一，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的四分之一，第四个孩子付多少钱？

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10、煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的

11。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的，这幢楼有多少住户？ 86

11、某车间生产甲、乙两种零件。生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有

4合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件共生产多少个？ 5

12、某车间两个生产小组计划生产680个零件，实际两个小组共生产了798个零件，甲组生产的零件数比本组的任务多生产了原来的任务各是多少个？

13、把105升水注入甲、乙两个容器，可注满甲容器及乙容器的容器的

13，乙组生产的零件仅比本组任务多生产，两个小组5201，或可注满乙容器及甲21，每个容器的容量各是多少？ 3

14、有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆里的黑子为全部黑子的

2。把三堆棋子集中在一起，白子为全5部棋子的几分之几？

二、练习

1、一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，甲每天比乙少做（ ）% 2、一车间某月上旬生产的零件个数是全月计划的45%，中旬生产的零件数是上旬的

2，该9车间在下旬将全月计划按时完成了。现在知道下旬比中旬多生产7000个零件，求全月计划生产多少个零件？

3、两块铁皮，第一块的面积比第二块小

11，从两块铁皮上各剪下它们的，共剪下36平539

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方分米。原来这两块铁皮的面积各是多少？

4、有若干围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在所有的棋子中，白子占32%。共有多少堆棋子？

5、有10千克蘑菇，它们的含水量是99%，稍经晾晒，含水量下降到98%，晾晒后的蘑菇多重？

6、有两只桶装油44千克，若第一桶里倒出原来每只桶各装油多少千克？

7、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的吃了余下的

1，第二桶里倒进2.8千克，则两桶油重量相等，511，第二天吃了余下的??第六天761。这时还剩下12只桃子。那么第一天和第二天猴子共吃了多少只桃子？ 2118、建筑工人铺地砖，第一天用去的砖比总砖数的少25块，第二天用去第一天剩下的又

33124块，第三天用去第二天剩下的又33块，最后还剩下19块。开始一共有多少块砖？

39、一盒糖果连盒重450千克，吃去一部分后连盒重150克，已知盒子的重量是原有糖果重量的

1，这盒糖果吃去了几分之几？ 82倍，如果甲把自己生产的零件给乙310、甲、乙两人共同生产一批零件，甲生产的是乙的155个，甲生产的就是乙的

3，原来两人各生产多少个？ 411、某小学举行六年级数学竞赛。参加竞赛的女生人数比男生多28人。根据成绩，男生全部达到优良，女生有

1没有达到优良，男、女生取得优良成绩的合计42人，参加比赛的人4占全年级人数的20%。六年级共多少人？

专题五：数的大小比较

【分数、小数大小比较】

（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）

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个数是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

【算式值的大小比较】

例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。 试比较A与B的大小。

（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）

例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

例3 图5.1中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积

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专题六：逻辑思路

“逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。 【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。

例1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下： 甲：丙第二个进去，乙第三个进去。 乙：甲第三个进去，丙第一个进去。 丙：甲第一个进去，乙第三个进去。

三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？

例2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？” “匹兹乌图。”那个人回答。

外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？” 第二个人回答：“他说他是宝宝族的。” 第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”

请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 例1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？

例2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：

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A班代表说：“B是第三名，C是第五名。” B班代表说：“D是第二名，E是第四名。” C班代表说：“A是第一名，E是第四名。” D班代表说：“C是第一名，B是第二名。” E班代表说：“D是第二名，A是第三名。”

最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。

如图2.21，假设B-3，在B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个B，则应是不对的，画一个“×”，再找与这个B同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与C同列的“A”，它不对，画一个“×”，等等。最后A-3被画了一个“√”，这与B-3相矛盾，故B-3是错的。在这个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。

从（1）的C开始，因B-3是错的，则C-5记“√”，则（4）中C-1画“×”，B-2记“√”，由此推出（5）D-2记“×”，（2）D-2记“×”，??从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。

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【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本内容是：同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。 排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有区别：一是适用范围不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。排中律则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个是错误的。反过来。如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。 例1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？

例2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：

（1）毛梓青比教师年龄大； （2）曾实和医师不同岁； （3）医师比张晓年龄小。

你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？

例1 200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒，但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五人排出名次来。

例2 填数使下列竖式成立：

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专题七：牛吃草问题

摘要：一、牛吃草问题 牛吃草问题是一个很有趣的问题，关键在于牧场每天都长新草，通过两组条件的比较，先求出每天（周）长牧草的新草量，然后把牛分成两部分，一部分吃新草，一部分 推荐导读 一、牛吃草问题

牛吃草问题是一个很有趣的问题，关键在于牧场每天都长新草，通过两组条件的比较，先求出每天（周）长牧草的新草量，然后把牛分成两部分，一部分吃新草，一部分吃旧草，从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的，但在解数学问题中，这种分成几部分去解决问题的方法，可以使复杂的问题变成简单的问题，化繁为简是常常应用的技巧之一。

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例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？

例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？

二、牛吃草问题概念及公式

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 假设定一头牛一天吃草量为“1”

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1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是：

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

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2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。 三、例题

1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数

2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。

例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

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例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？[小精灵儿童网站]

例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

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例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 练习

1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？

2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？

3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好

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消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？

6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？

专题八：估算技巧和运用

在我们的日常生活与工作学习中，有时要对很多情况做个大概的估计，比如说判断某人的身高或年龄，考试结束后估计一下成绩等等。同样，在处理数学问题时，我们也会遇到不必求出精确答案，或者说有时根本无法求解的情况，这时，只要我们根据所学的知识，估算出一个相对精确或符合要求的值就可以了。但即使是这样，仍不是一件很容易的事，所以我们应当学习一点估算的技巧，掌握一些估算运用的方法。这一课主要来讲一些估算技巧和运用方面的知识。

【例1】框算一下（不用笔算）：0.495×20.1＋号里填整数）

【例2】老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算它们的平均数，（得数保留两位小数），小明算出的答案是12.43，老师说：“最后一位数字错了，其它数字都对。”正确的答案是什么？

【例3】学校组织学生参加夏令营，先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60

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1×10.0l的结果在（ ）左右。

（括

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个座位的汽车4辆，而后乘船，需要定员为70人的船的至少3条，到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等，这个学校参加夏令营的人有多少？

【例4】求出1357902468÷8642097531的商精确到小数点后3位数的近似值。

【例5】求11 ［练习］

（1）五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分，那么得分最低的选手至少得多少分？（每位选手的得分都是整数） （2）有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？

（3）8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是多少？ （4）一个四位数6□□6能被134整除，求这个四位数除以134的商。

10＋1210＋1310＋??＋2110的整数部分。 10010210311011111 （5）求＋＋＋＋的整数部分。

345671 （6）已知S＝

1111，求S的整数部分。

????1980198119821991 （7）计算12345678910111213÷31211101987654321，它的小数点后前三位数字是多少？ （8）一本书的中间一张被撕掉了，余下的页数的和正好等于1000。 求（1）这本书有多少页？ （2）撕掉的是哪一张？

111，1中，选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要

（9）在1，，??，

2399100选几个数？

（10）在方框里分别填入两个相邻的整数，使下面不等式成立：

□＜（

10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19）×5＜□ 11121314151617181920专题九： 鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼”问题小朋友们听说过吗？这是一类著名的数学问题。比如：“鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中各有多少只鸡兔？”鸡兔同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上的未知数，内部资料 请勿转载

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要求根据总数量，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数装化为一个未知数，从而解出答案。 例【1】 鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只？

例【2】 盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？

例【3】 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

例【4】 学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元？

例【5】 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元？

小结 解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、

“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。 概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：

鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）

兔数＝鸡兔总数－鸡数

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专题十： 列方程解应用题

内容概述

列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法．而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题．方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃．

下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力．

典型问题

1．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的的

1，第二人拿走2个和余下911，第三人拿走3个和余下的，??，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，99问：共有多少鸡蛋?分给几个人?

2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家．有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的?

3．一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B?

4．河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需时?

专题十一： 定义新运算

5小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小2

专题简析：

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：

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*、等，这是与四则运算中的“?、?、?、·”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例题1。

假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。 练习1

1..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。 2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

1

3.设a*b=3a－ ×b，求（25*12）*（10*5）。

2

例题2。

设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6). 练习2

1． 设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。 2． 设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。

MN13． 设M、N是两个数，规定M*N＝ + ，求10*20－ 。

NM4

例题3。

如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？ 练习3

1． 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，

4*4=？，18*3=？

2． 规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa……..a,那么8*5=？

（b-1）个a 111

3． 如果2*1= ，3*2= ，4*3= ，那么（6*3）÷（2*6）=？。

233444

例题4。

111

规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 － = ×

⑥⑦⑦A，那么A是几？

练习4

11

1. 规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果 － ＝

⑧⑨

1

×A，那么A=？。 ⑨

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11

2. 规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，…..如果 +

⑩（11）

＝

1

×□，那么□＝？。 （11）

3. 如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，?.5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝？

例题5

1

设a⊙b=4a-2b+ ab,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。

2

练习5

1． 设a⊙b=3a-2b,已知x⊙（4⊙1）＝7求x。

2a-b

2． 对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b= ，求6▽4+9▽8。

(a+b)×(a-b)

4xy

3． 对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝ （其中m是一个确定的整数）。

mx+3y

如果1*2＝1，那么3*12＝？

专题十二：简便运算

专题简析：

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如

111111

的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －

aa+1naa×(a+1)a×（a+n）

1a+b11

），形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。 a+naba×b

例题1。

计算：

1111 + + +…..+ 1×22×33×499×100

练习1

计算下面各题： 1. 2.

1111 + + +…..+ 4×55×66×739×40

11111

+ + + + 10×1111×1212×1313×1414×15

1111113. + + + + +

261220304211114. 1－ + + +

6425672

例题2。

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计算：

12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50

练习2

计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 1

97×100 3.

1111

1×5 +5×9 +9×13 +…..+ 33×37

4. 111114 +28 +70 +130 +208

例题3。

计算：1179111315

3 －12 +20 －30 +42 －56

练习3

计算下面各题：

1. 112 +56 －791112 +20 －30

2. 119114 －20 +30 －1342 +1556

3.

19981×2 +1998199819981998

2×3 +3×4 + 4×5 +5×6

4. 6×7911

12 －20 ×6+ 30 ×6

例题4。

计算：12 +14 +11118 +16 +32 +64

练习4

计算下面各题：

1. 1112 +4 +8 +………+1256

2. 23 +29 +22227 +81 +243

3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

例题5。

计算：（1+11111111112 +3 +4 ）×（2 +3 +4 +5 ）－（1+2 +3 +4 +15 ）×（111

2 +3 +4

）内部资料 请勿转载 27

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练习5

11111111111111111. （ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）

2345345623456345

11111111111111112. （ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）

8910119101112891011129101111111111113. （1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + +

1999200020011999200020012002199920002001

1111+ ）×（ + + ） 2002199920002001

专题十三： 转化单位“1”（一）

专题简析：

把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。

acacab

如果甲是乙的 ，乙是丙的 ，则甲是丙的 ；如果甲是乙的 ，则乙是甲的 ；如

bdbdbaaccabcaaad

果甲的 等于乙的 ，则甲是乙的 ÷ ＝ ，乙是甲的 ÷ ＝ 。

bddbadbbbc

例题1。

24

乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？

35

练习1

33

1. 乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？

45

11

2. 一根管子，第一次截去全长的 ，第二次截去余下的 ，两次共截去全长的几分之几？

423. 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩

1

下的路程是他睡着前所行路程的 。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时

4火车行了全程的几分之几？

例题2。

14

修一条8000米的水渠，第一周修了全长的 ，第二周修的相当于第一周的 ，第二周

45修了多少米？

练习2

用两种方法解答下面各题：

11

1. 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的 ，第二次用去的是第一次的1 倍，第二次用去

54

黄沙多少吨？

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17

2. 大象可活80年，马的寿命是大象的 ，长颈鹿的寿命是马的 ，长颈鹿可活多少年？

2811

3. 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的 ，第二次取出余下的 ，第二次取出多少吨？

53

例题3。

12

晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天比第一天多

45看了15页，这本书共有多少页？

练习3

13

1. 有一批货物，第一天运了这批货物的 ，第二天运的是第一天的 ，还剩90吨没有运。

45

这批货物有多少吨？

12

2. 修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 ，第二天修了余下的 ，已知这两

43

天共修路1200米，这条公路全长多少米？

24

3. 加工一批零件，甲先加工了这批零件的 ，接着乙加工了余下的 。已知乙加工的个数

59

比甲少200个，这批零件共有多少个？

例题4。

4

男生人数是女生人数的 ，女生人数是男生人数的几分之几？

5练习4

3

1． 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 ，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？

46

2． 如果山羊的只数是绵羊的 ，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？

73

3． 如果花布的单价是白布的1 倍，则白布的单价是花布的几分之几？

5

例题5。

11

甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？

34练习5

32

1. 甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？

45

25

2. 甲数的1 倍等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？

3632

3. 甲数是丙数的 ，乙数是丙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？

45

（想一想：这题与第一题有什么不同？）

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29

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转化单位“1”（二）

专题简析：

我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的解题思路，提高我们的思维能力。

例题1。

23

甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？

34练习1

下面各题怎样计算简便就怎样计算：

53

1. 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数

64

各是多少？

21

2. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的 ，香蕉和苹果共有220千克，橘子

32

有多少千克？

3. 某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的

9

，初二的学生数是初三10

1

学生数的1 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？

4

例题2。

32

红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的 等于黄气球的 ，蓝气球有24只，红气球

53和黄气球各有多少只？

练习2

25

1. 甲数的 等于乙数的 ，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？

36

24

2. 今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的 正好是乙得奖金的 ，甲、

37

乙两人各得奖金多少元？

11

3. 商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的 等于苹果重量的 ，梨子的重量

43

是200千克。香蕉和苹果各多少千克？

例题3。

23

已知甲校学生数是乙校学生数的 ，甲校的女生数是甲校学生数的 ，乙校的男生数

51021

是乙校学生数的 ，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？

50

练习3

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112

1. 在一座城市中，中学生数是居民的 ，大学生是中学生数的 ，那么占大学生总数的

545

的理工科大学生是居民数的几分之几？

32

2. 某人在一次选举中，需 的选票才能当选，计算 的选票后，他得到的选票已达到当选

43

5

票数的 ，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？

6

313

3. 某校有 的学生是男生，男生的 想当医生，全校想当医生的学生的 是男生，那么

5204

全校女生的几分之几想当医生？

例题4。

21

仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走 ，面粉运作 后，仓库里剩下大米和

510面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？

练习4

21

1. 甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的 、乙完成自己的 时，两人所剩

34

零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？ 2

2. 一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的 ，第三、四天共卖出这

7批水果的一半，这批水果有多少千克？

3. 甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％，乙减少他的

任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？

例题5。

400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵。除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？ 练习5

1

1. 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的 放在一起是13公顷，麦地的一半和菜

3

1

地的 放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？

3

2. 师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零件168

个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？

3. 有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4。如果5元人民币减少6张，则两

种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

转化单位“1”（三）

专题简析：

解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。

例题1。

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31

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37

有两筐梨。乙筐是甲筐的 ，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的 。

59甲、乙两筐梨共重多少千克？

练习1

1

1. 某小学低年级原有少先队员是非少先队员的 ，后来又有39名同学加入少先队组织。

3

7

这样，少先队员的人数是非少先队员的 。低年级有学生多少人？

8

1

2. 王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的 ，后来从合格产品中又发现了2个

19不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？

3. 某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时

女生占总人数的48％。现在有男生多少人？

例题2。

3

某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的 。后来又买进20根长跳绳，这时长

87

跳绳的根数占长、短跳绳总数的 。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？

12

练习2

3

1. 阅览室看书的同学中，女同学占 ，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，女同

5

4

学占 ，原来阅览室一共有多少名同学在看书？

7

2. 一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆糖中有

奶糖多少千克？ 52

3. 数学课外兴趣小组，上学期男生占 ，这学期增加21名女生后，男生就只占 了，这

95

个小组现有女生多少人？

例题3。

有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现 3

短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的 ，每段布用去多少米？

5

练习3

1. 有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一段后，

2

短绳剩下的长度是长绳剩下的 ，两根绳各剪去多少米？

7

5

2. 今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的 时，儿子多少岁？

12

3. 仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩的大

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32

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3

米袋数时面粉的 ，仓库里原有大米和面粉各多少袋？

4

1

4. 甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队的 ，

2

11

乙队筑的路时其他三个队的 ，丙队筑的路时其他三个队的 ，丁队筑了多少米？

34例题4。

1

某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占 ，后来又运进一些黑白

5电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？

练习4

1

1. 书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占 。后来又运来一批科技书，这时科技书

6

3

占两种书总和的 ，现在两种书各有多少包？

11

1

2. 某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占 ，正式比赛时，有几名女选手因故

4

2

缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的 。问：正式参赛的女选手有多少人？

113. 把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，

要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？ 1

4. 东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的 ；下午又运进梨若

5

2

干千克，这时梨占两种水果总数的 ，下午运进梨多少千克？

5

例题5。

25

一堆煤，运走的比总数的 多120吨，剩下的比运走的 多60吨，这堆煤原有多少吨？

56练习5

23

1. 修一条路，第一天修了全长的 多60米，第二天修的长度比第一天的 多35米，还剩

54

100米没有修，这条路全长多少米？

23

2. 修一条路，第一天修了全长的 多60米，第二天修的长度比第一天的 少35米，这两

54

天共修路420米，这条路全长多少米？

25

3. 某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的 ，第二天修了剩下部分的 又20米，第

59

1

三天修的是第一天的 又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？

4

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33

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专题十四： 设数法解题

专题简析：

在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

例题1。

如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。 练习1

1. 已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。

2. 五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5

厘米，甲与戊谁高，高几厘米？

3. 甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45吨到

丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨、

例题2。

1

足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加 ，问一张门票降价多少元？

5练习2

3

1. 某班一次考试，平均分为70分，其中 及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格

4的同学平均分是多少分？ 2. 游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，

小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？

3. 五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生是全部

2

男生的 ，全部女生人数占全年级人数的几分之几？

5

例题3。

小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。 练习3

1. 小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原路下山

的平均速度。

2. 张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时只行

10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？

3. 小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千

米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？

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34

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例题4

1

某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多 ，女孩平均身高比男孩

5高10％，这个班男孩平均身高是多少？ 练习4

2

1. 某班男生人数是女生的 ，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘米。问：

3

女生平均身高是多少厘米？

4

2. 某班男生人数是女生的 ，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘

5米，求男、女生的平均身高各是多少？

3. 一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？

例题5

狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？ 练习5

1. 猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9

步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？

2. 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔

子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追到它？

3. 狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时

间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？

专题十五： 假设法解题（一）

专题简析：

假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。

运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。

例题1

11

甲、乙两数之和是185，已知甲数的 与乙数的 的和是42，求两数各是多少？

45练习1

11

1. 甲、乙两人共有钱150元，甲的 与乙的 的钱数和是35元，求甲、乙两人各有多少

210

元钱？

11

2. 甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的 ，乙队人数的 ，共抽调78人，甲、

73

乙两个消防队原来各有多少人？

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35

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1

3. 海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的 多50吨，五月份完

3

2

成总数的 少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？

5

例题2

1

彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出 ，则比黑白电视机多5台。

9问：两种电视机原来各有多少台？

练习2

1

1. 姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉 ，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？

71

2. 学校有篮球和足球共21个，篮球借出 后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少

3

个？

1

3. 小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉 ，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡

20

和鸭各有多少只

例题3。

3

师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的 与徒弟加工零件个数

84

的 的和为49个，师、徒各加工零件多少个？ 7

练习3

23

1. 某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的 和黑白电视机的 ，

57

共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？】

53

2. 甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的 、乙队人数的 ，共抽调188人参加

77

灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？

11

3. 学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的 和足球个数的 后，还剩下46个，

43

买来排球和足球各是多少个？

例题4。

21

甲、乙两数的和是300，甲数的 比乙数的 多55，甲、乙两数各是多少？

54练习4

21

1. 畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的 比绵羊的 多50只，这个畜牧场有山羊、绵

52

羊各多少只？

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52

2. 师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的 比徒弟加工零件个数的 多

83

60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？

11

3. 某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的 比甲班种的 少16棵，两个班各

103

种多少棵？

例题5。

11

育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加 ，女学生减少 ，共有710人，

65本学期男、女学生各有多少人？

练习5

32

1. 袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加 ，黄球减少 后，红球与黄球的总数变

85

为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？

11

2. 金放在水里称，重量减轻 ，银放在水里称，重量减少 ，一块重770克的金银合金，

1910放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？

3. 某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，

高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？

假设法解题（二）

专题简析：

已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。

应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。

例题1。

两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？ 练习1

1. 丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数

是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？

2. 在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，小学增

加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？

3. 两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩下的

重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？

例题2。

王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？

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疯狂操练2

1． 甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书

架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？

2． 上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了

20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？

3． 箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球

和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？

例题3。

12

小红的彩笔枝数是小刚的 ，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的 ，两人

23原来各有彩笔多少枝？

练习3

11

1． 小华今年的年龄是爸爸年龄的6 ，四年后小华的年龄是爸爸的4 ，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？

31

2． 小红今年的年龄是妈妈的 ，10年后小红的年龄是妈妈的 ，小红今年多少岁？

825

3． 甲书架上的书是乙书架上的 ，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书7

4

是乙书架上的5 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？

例题4。

4

王芳原有的图书本数是李卫的 ，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书57

的本数是李卫的 ，两人原来各有图书多少本？

10

练习4

4

1． 甲书架上的书是乙书架上的5 ，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上的书

4

是乙书架上的 ，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？

7

64

2． 小明今年的年龄是爸爸的 ，10年前小明的年龄是爸爸的 ，小明和爸爸今年各119

多少岁？

1

3． 甲车间的工人是乙车间的 ，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只4

1

占乙车间的6 ，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？

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例题5。

2

某校六年级男生人数是女生的 ，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人33

数是女生的4 ，现在男、女生各有多少人？

练习5

2

1． 甲车间的工人是乙车间的5 ，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲

7

车间的人数是乙车间的9 ，现在甲、乙两个车间各有多少人？

2

2． 有一堆棋子，黑子是白子的 ，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是

3

5

白子的12 ，现在白子、黑子各有多少粒？

3． 爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等

奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？

专题十六： 倒推法解题

专题简析：

有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

例题1。

13

一本文艺书，小明第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，还剩下48页，这本书

35共有多少页？

练习1

35

1． 某班少先队员参加劳动，其中 的人打扫礼堂，剩下队员中的 打扫操场，还剩12

78

人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？

32

2． 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的 ，第二天走了余下的 ，第三天走了250

83

千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？

12

3． 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的 ，乙拿走了余下的 ，丙拿走这时所剩的

65

3

，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？ 4

例题2。

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筑路队修一段路，第一天修了全长的 又100米，第二天修了余下的 ，还剩500米，

57这段公路全长多少米？

练习2

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1． 一堆煤，上午运走 ，下午运的比余下的 还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这

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堆煤原有多少吨？

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2． 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 又2公顷，第二天耕的比余下的 多3公

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顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？

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3． 一批水泥，第一天用去了 多1吨，第二天用去了余下 少2吨，还剩下16吨，原来

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这批水泥有多少吨？

例题3。

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有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出 给乙桶后，又从乙桶中倒出 给甲桶，这时两桶油各35

有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？

练习3

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1． 小华拿出自己的画片的 给小强，小强再从自己现有的画片中拿出 给小华，这时两

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人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？

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2． 甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出 给乙后，乙又拿出 给甲，这时他们各有90

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元，他们原来各有多少元？

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3． 一瓶酒精，第一次倒出 ，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的 ，第三

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次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？

例题4。

甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？ 练习4

1． 甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙

班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？

2． 甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个

放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？

3． 甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、

丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？

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