概率论课上习题

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概率与数理统计释疑解难

十、概率论与数理统计

一、填空题

1、设在一次试验中，事件A发生的概率为p。现过行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为1?(1?p)n；而事件A至多发生一次的概率为(1?p)n?np(1?p)n?1。

2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。解：用Ai代表“取第i只箱子”，i=1，2，3，用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?由贝叶斯公式

11131553???????353638120

13?P(A2)P(B|A2)3620P(A2|B)????

53P(B)531203、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为。

解：设事件A在一次试验中出现的概率为p(0?p?1)，则有1?(1?p)?319，从而解得27p?1 34、已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8，则和事件A?B的概率P(A?B)= 。

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B|A)

?0.5?0.6?0.5?0.8?0.75、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”，则A?B代表事件“目标被命中”，且

所求概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.5?0.6?0.5?0.6?0.8P(A|A?B)?P(A)0.6??0.75

P(A?B)0.8 208

概率与数理统计释疑解难

6、设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4，0.3和0.6。若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)? 。

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.4?0.3?0.6?0.1，

因为A?A(B?B)?AB?AB，故P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.1?0.3 7、已知P(A)?P(B)?P(C)?不发生的概概率为。

由ABC?AB，P(AB)?0得P(ABC)?0，所求事件概率为

11，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，则事件A、B、C全416P(A?B?C)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?{P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)}

3?88、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。

用Ai代表事件“第i次抽次品”，i=1，2。则所求概率为

P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?211021???? 1211121169、已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)? 。

由

P(AB)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?1?P(A)?P(B)?P(AB)P(B)?1?P(A)?1?p

得

10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是。

用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的，C代表产品是次品，则所求概率为

601?P(A)P(C|A)3100100P(A|C)???

402P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)6017???10010010010011、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

6”的概率为。 5用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则0?X?1，0?Y?1.

X，Y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形?，

209

概率与数理统计释疑解难

其面积为1，事件“X?Y?6”对应图中阴影部分A，A的面积为 5

1?4?17 1????2?5?252

12、随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于半圆0?y??的概率为。 412ax?x2也即样本空间?的面积为m(?)??a2，所求事件对图中阴影部

212?2分即区域A的面积为m(A)?a?，故得所求事件概率为

12?2a?am(A)2114P(A)????

12m(?)2??a2

13、若随机变量?在(1，6)上服从均匀分布，则方程x2??x?1?0有实根的概率是。

P{x2??x?1?0有实根}?P{?2?4?0}?P{|?|?2} 614?P{6???2}??du??0.825514、已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?X的方差为。

将f(x)改写为

1?e?x2?2x?1，则X的数学期望为；

f(x)??(x?1)2? ?exp??2?1?2(1/2)?2??21可见X服从正态分布N(1,11)，所以E(X)?1，D(X)?. 2215、设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知?(x)??x??12?e?u22du，

210

概率与数理统计释疑解难

?(2.5)?0.9938，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为。

?9.95?10X?1010.05?10?P{9.95?X?10.05}?P????0.020.02??0.02?10.05?10??9.95?10? ??????????(2.5)??(?2.5)?0.02??0.02???(2.5)?[1??(2.5)]?2?(2.5)?1?0.987616、已知随要变量X的概率密度函数f(x)?1?xe，???x???，则X的概率分布函数2?1x?2e,x?0。 F(x)??1?x?1?e,x?0?22ke?2k?0，17、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松 (Poisson)分布，即P{X?k}?，k!1，2，?，则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)? 。

E(Z)?3E(X)?2?3?2?2?4

18、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E{X?e?2X}= 。

E{X?e?2x}????0xe?xdx????0e?2xe?xdx?1?14? 3319、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y?X2在(0，4)内概率分布密度fY(y)= 。

y?x2，0?x?2的反函数x?y，0?y?4. fY(y)?fX(y)?|(y)?|?14y12yfX(y)?1?,0?2y21y?2，

即

fY(y)?，0?y?4.

20、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E(X2)= 。

X服从B(10,0.4)分布，E(X)?10?0.4?4，D(X)?10?0.4?0.6?2.4，

E(X)?E(X)?D(X)?4?2.4?18.4

222 211

概率与数理统计释疑解难

21、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为：机变量Z?max?X,Y?的分布律为：。

XP01211则随2P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}? P{Z?1}?1?P{Z?0}? 22、设X和Y为两个随机变量，且 P{X?0,Y?0}?111??， 2243 434，P{X?0}?P{Y?0}?， 77则P{max(X,Y)?0}= 。

记A?{X?0}，B?{Y?0}.则

{max(X,Y)?0}?A?B，{X?0,Y?0}?AB，

P{max(X,Y)?0}?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)从而 ?P{X?0}?P{Y?0}?P{X?0,Y?0}

4435????7777??1?2??的随机变量，?0,?23、设?，则随机变量????是两个相互独立且均服从正态分布N?????2????的数学期望E(???)? 。

记Z????。则Z~N(0,1)。从而

E|???|?E|Z|??|z|?????12?ez2?2dz???2??0z?ez2?2z2??2dz???e???2?2. ?????0??24、若随机变量X服从均值为2，方差为?2的正态分布，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}= 。

由于X的密度函数关于X=2为轴对称。故P{X?2}?P(X?2)?0.5，

P{0?X?2}?P{2?X?4}?0.3，从而

P{X?0}?P{X?2}?P{0?X?2}?P{X?2}?P{0?X?2}?0.5?0.3?0.2.

25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各

212

概率与数理统计释疑解难

取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是。

令B={第一人取得黄球}，则B={第一人取得白球}；A={第二人取得黄球}. 据全概率公式

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?201930202????. 5049504951

及直线y?0，x?1，x?e2所围成，二维随机变量(X，Y)x

在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为。 26、设平面区域D由曲线y?区域D的的面积为A??e21dx?(ln|x|)?2，故(X, Y)的联合概率密度为x1e2?1?,(x,y)?D,(X,Y)关于X的边缘概率密度为 f(x,y)??2??0，其它

?1?1122x??1dy,1?x?e???,1?x?e,故fX(2)? fX(x)??f(x,y)dy??02??2x??4?0,?0，其它，其它??27、假设P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，那么

(1) 若A与B互不相容，则P(B)? ；

(2) 若A与B相互独立，则P(B)? 。 (1) P(B)?P(A?B)?P(A)?0.7?0.4?0.3.

(2) 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

得 P(B)?[P(A?B)?P(A)]/[1?P(A)]?[0.7?0.4]/[1?0.4]?0.5. 28、一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为手的命中率为。

4设命中率为p(0?p?1)，则至少命中一次概率为1?(1?p)，由1?(1?p)?480，则该射8180，81解得p?2。 329、设A，B为随机事件，P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，则P(AB)? 。由P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.3，得

P(AB)?P(A)?0.3?0.7?0.3?0.4，故P(AB)?0.6.

30、将C，C，E，E，I，N，S第七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为。

213

概率与数理统计释疑解难

11，P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?，48则A，B，C三个事件至少出现一个的概率为。

32、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为。 31、设对于事件A，B，C有P(A)?P(B)?P(C)?记事件Ai“取出的产品为第i等品”，i=1，2，3。则A1，A2，A3互不相容，所求概率为

P(A1|A1?A2)?P(A1)P(A1)0.62???.

P(A1?A2)P(A1)?P(A2)0.6?0.3333、一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi?1(i?1,2,3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则P{X?2}= 。 i?1用Ai表示事件“第i个零件是合格品”，则P(Ai)?求概率

11i?，P(Ai)?1?，所

i?1i?1i?1P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?12311312111?????????23423423424.34、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。

用A，B分别代表取出的第1和第2件为正品，则所求概率为

P(A?B|A?B)?P(A?B)/P(A?B)?

2A4?2A10P(A?B)1?P(AB)?A62?4?3?6?5?11???1?2?????A10?10?9?10?9?5

35、设随机变量的分布函数为

??0,若x?0,???F(x)??Asinx,若0?x?,

2???1,若x?,?2?则A= ，P{x?}? 。

6???????F(x)?P{X?x}右连续，由F??0??F??得出

?2??2?

?????1?????????A?1,P?|X|???P???X???F???F????sin?0?

6?6?62??6?6??6?214

概率与数理统计释疑解难

36、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布。记Y?X1?2X2?3X3，则DY= 。

62DY?D(X1)?(?2)DX2?3D(X3)??4?22?9?3?46

122237、设随机变量X的数学期望EX??，方差DX??2，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有P{X???3?}?1。 938、已知随机变量X~N(–3，1)，Y~N (2，1)，且X，Y相互独立，设随机变量

Z?X?2Y?7，则Z~N（0，5）。

Z为正态随机变量的线性组合，仍然服从正态分布，且

EZ?E(X)?2E(Y)?7??3?2?2?7?0

DZ?D(X)?(?2)2D(Y?1?4?1?5)，故Z~N(0,5)。

39、设随机变量X的分布函数为

?0,??0.4,F(x)?P{X?x}???0.8,??1,若x??1,若?1?x?1,

若1?x?3,若x?3,则X的概率分布为

x?113P{X?x}0.40.40.2

由公式P{X?x0}?F(x0?0)?F(x0?0)算出 P{X??1}?0.4?0?0.4，

P{X?1}?0.8?0.4?0.4，

P{X?3}?1?0.8?0.2。

40、设随要变量X的概率密度为

?2x,0?x?1,f(x)??

0,其他,?1??以Y表示对X的三次独立重复观察中事件?X??出现的次数，则P{Y?2}? 。

2??1?1??3?2?1?Y~B(3,p)，其中p?P?X????22xdx?，故P{Y?2}?C3??64??9。 ??02?4??4??4? 41、设X是一个随机变量，其概率密度为

215

12概率与数理统计释疑解难

?1?x,若?1?x?0,?f(x)??1?x,若0?x?1,

?0,其他.?则方差DX? 。

42、设总体X的的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为。

43、设X1，?，Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，其中参数?和?未知，1记X?n?Xi?1ni，Q?2?(Xi?1ni?X)2，则假设H0:??0的t检验使用统计量。

44、设由来自正态总体X~N(?,0.92)容量为9的简单随机样本得样本均值X?5，则未知参数?的置信度为 0.95的置信区间是。

45、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1,?,X9和Y1，?，Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U?为。由于

X1???X9Y12???Y92服从分布，参数

Yi~N(0,1)，故 3

192?Yi?Y??????Yi~?2(9)。

9i?1i?1?3?9219再X??Xi~N(0,1)，据t分布的定义，有

9i?1

U?XY/9~t(9)

46、设A，B是任意两个随机事件，则P{(A?B)(A?B)}=0。

(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?[(A?B)(A?B)]?[(A?B)(A?B)]??

47、设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3，p)的二项分布。若P{X?1}?5，则P{Y?1}= 。 9由于P{X?0}?1?P{X?1}?1?544002?，故由P{X?0}?C2pq?q2?，得99932?2?19003q?。从而P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C3 pq?1?q3?1????3327??

216

概率与数理统计释疑解难

48、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N (0，22)的简单样本，

X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，则当a? ，b= 时，统计量X服从?2分布，其自由度为。

服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因为E(X1?2X2)?0，

D(X1?2X2)?22?22?22?203X3?4X4~N(0,100)。因为

，故

X1?2X2~N(0,20)。同理，

?X1?2X2??3X3?4X4?X?a(X1?2X2)?b(3X3?4X4)??????????

?1/a??1/b?222249、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。

二项分布的标准差为np(1?p)，已知n?100，又p(1?p)?1，其中等号当且仅当4p?11时成立，故当p?时试验成功次数的标准差最大，其最大值为5。 2250、从1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1?X中任取一个数，记为Y，则

13 48 p(X?2)?二、选择题

1、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X–2Y的方差是

(A) 8. (B) 16. (C) 28. (D) 44.

D(3X?2Y)?32D(X)?22D(Y)?9?4?4?2?44

2、设A、B是两个随机事件，且0?P(A)?1，P(B)?0，P(B|A)?P(B|A)，则必有 (A) P(A|B)?P(A|B) (B) P(A|B)?P(A|B) (C) P(AB)?P(A)P(B) (D) P(AB)?P(A)P(B) 由题设知

P(A|B)?P(AB)P(B|A)P(A)?P(B)P(B)，

由B?(AB)?(AB)，(AB)?(AB)??及P(B|A)?P(B|A)知

217

概率与数理统计释疑解难

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?[P(A)?P(A)]P(B|A)?P(B|A)，

故P(AB)?(P(A)P(B|A)?P(A)P(B)，即应选(C)。

3、若二事件A和B同时出现的概率 P(AB)?0，则 (A) A 和B不相容 (相斥). (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0或P(B)=0. 4、对于任意二事件A和B，有P(A–B)= (A)P(A)?P(B). (B)P(A)?P(B)?P(AB). (C)P(A)?P(AB) (D)P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

5、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为

(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”. (B) “甲、乙两种产品均畅销”.

用A1表示甲产品畅销，A2表示乙产品畅销，则A?A1A2，从而

A?A1A2?A1?A2。

6、设A，B为两随机事件，且B?A，则不列式子正确的是

(A) P(A?B)?P(A). (B)P(AB)?P(A).

7、设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为

?11m?1111 11

P{X?m}P{Y?m}2222 则下列式子正确的是

(A) X=Y. (B)P{X?Y}?0. (C) P{X?Y}?m1. (D)P{X?Y}?1. 2P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}1

P{X??1}?P{X??1}?P{X?1}P[Y?1]?2 8、已知随机变量X服从二项分布，且EX?2.4，DX?1.44，则二项分布的参数n，p

的值为

(A) n=4，p=0.6. (B) n=6，p=0.4. (C) n=8，p=0.3. (D) n=24，p=0.1

由EX?np，DX?np(1?p)得方程组

np?2.4，np(1?p)?1.44。

解方程组即得n=6，p=0.4。

9、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是

218

概率与数理统计释疑解难

(A) A与B不相容. (B) A与B相容.

因为A与B不相容(即AB??)，所以A?B?A?AB?A 10、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?EX?EY，则 (A) D(XY)?DX?DT. (B) D(X?Y)?DX?DY

X与Y独立可推出X与Y互不相关；

E(XY)?EX?EY?X与Y互不相关?D(X?Y)?D(X)?D(Y)

11、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则

(A) P(C)?P(A)?P(B)?1. (B) P(C)?P(A)?P(B)?1

P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1

12、假设事件A和B满足P(B|A)?1则

(A) A是必然事件. (B) P(B|A)?0. (C) A?B. (D) A?B

此题中4个答案均不对，现举例说明如下：设随机变量?服从??[0,1]上的均匀分布，记

1?3???A??0????，B??0????易计算

2?4???

1??P?0????P(AB)2?P(B|A)????1.

1?P(A)?P?0????2??1???1}，易2显然答案(A)，(C)，(D)都不成立。下面再说明(B)也不成立，事实上由A?{计算

3??1P?????P(BA)24?1/41P(B|A)??????0。

P(A)?1?1/22P????1??2?故(B)也不成立。

13、设随机变量X的密度函数为?(x)，且?(?x)??(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有

a1 (A) F(?a)?1??(x)dx. (B) F(?a)???(x)dx

002(C) F(?a)?F(a). (D) F(?a)?2F(a)?1.

?a?由?(?x)??(x)。有

?0???(x)dx????0?(x)dx?1 2 219

概率与数理统计释疑解难

和所以

??a0?(x)dx????(?t)dt????(?t)dt????(x)dx

000aa?aF(?a)???a???(x)dx???(x)dx???(x)dx???00?aa1???(x)dx。 02 14、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N(?,42)，Y~N (?,52)，记p1?P{X???4}，

p2?P{Y???5}，则

(A) 对任何实数?，都有p1?p2. (B) 对任何实数?，都有p1?p2.

?4??Y????Y???p2?P??1??1?P??1??1??(1)，由于?(?1)?1??(1)，

?5??5?所以p1?p2。

15、设0

P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(A|B)P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)???P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)P(B)P(B)1?P(B)?P(AB)?P(A)P(B).? 16、设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，则随?的增大，概率P{X????}

(A) 单调增大 (B) 单调减小. (C) 保持不变. (D) 增减不定

?X??? P{|X??|??}?P??1???(1)??(?1)，其中?表示N (0, 1)的分布函数。

???17、设随机变量X和Y独立同分布，记U?X?Y，V?X?Y，

则随机变量U与V必然

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零由于

E(UV)?E[(X?Y)(X?Y)]?E[X2?Y2]?E(X)?E(Y)?0?E(U)?E(V),22

所以U与V互不相关，(D)必然成立。当X与Y为正态随机变量时，U与V也为正态随机变量，U与V独立。但若取P{X?0}?P{Y?0}?

220

1，2概率与数理统计释疑解难

P{X?1}?P{Y?1}?

1，则由 211，P{V?2}?P{X?1,Y?1}?，

44P{U??1}?P{X?0,Y?1}?而P{U??1,V?2}?0知U与V不独立，说明(A)与(B)都不一定成立，故只有(D)必然成立。

18、已知0?P(B)?1且P{(A1?A2)|B}?P(A1|B)?P(A2|B)，则下选项成立的是 (A) P[(A1?A2)|B]?P(A1|B)?P(A2|B). (B) P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B). (C) P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B).

(D) P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2).

将P{(A1?A2)|B}?P(A1|B)?P(A2|B)两边同乘以P(B)即得(B)式。 19、设A，B为任意两个事件且A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是

(A) P(A)?P(A|B). (B) P(A)?P(A|B).

P(A)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A|B)

20、设n个随机变量X1，X2，?，Xn独立同分布，

1DX1??，X?n2?i?1n1Xi，S?n?12?(Xi?1ni?X)2

则

(A) S是?的无偏估计量. (B) S是?的最大似然估计量.

21、设X1，X2?Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，记

S121?n?1?(Xi?1nni?X)22，S21?n1?n?(Xi?1nni?X)2，

2S31?n?1?(Xi?1i??)22，S4?(Xi?1i??)2，

则服从自由度为n—1的t分布的随机变量是 (A) t?X??S1n?1. (B) t?X??S2n?1. (C) t?X??S3/n. (D) t?X??S4/n.

221

概率与数理统计释疑解难

22、设X是一随机变量，EX??，DX??2(?,??0常数)，则对任意常数C，必有 (A) E(X?C)2?EX2?C2. (B) E(X?C)2?E(X??)2.

?(C)?E(X?C)2?E(X2?2CX?C2)?E(X2)?2?C?C2

是C的二次函数，而函数?(C)的最小值为?(?)，即?(C)??(?)，故

E(X?C)2?E(X??)2。

23、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是

某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 (A) a?3222，b??. (B) a?，b?.

55331313，b?. (D) a?，b??.

2222x???x???(C) a??由题设，应有limF(x)?1。又lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b，故a-b=1。经检验知应选(A)。

24、设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0?P(C)?1，则在下列给定的四对

事件中不相相互独立的是

(A) A?B与C. (B) AC与C. (C) A?B与C. (D) AB与C

因为A，B，C相互独立，所以A，B，C相互独立，故A?B?AB与C相互独立。类似分析可知A?B与C，AB与C相互独立。从而(A)，(C)，(D)均不正确。本题似应附加条件P(A)?0才能得到AC与C不相互独立这一结论。这是因为

P(A)?0时，P(AC)?1，P(AC?C)?P(C)?P(AC)?P(C)，此时(AC)与C也相互独立。

当P(A)?0时，由0?P(C)?1知0?P(AC)?1，所以0?P(AC)?1。此时

P(AC?C)?P(C)?P(AC)?P(C)，故(AC)与C不相互独立。

三、解答题与证明题

1、设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为

222

概率与数理统计释疑解难

?e?y,?1,0?x?1, fY(y)??fX(x)??0,其它,??0,y?0, y?0,求随机变量Z?2X?Y的概率密度函数。

解法一由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度函数为

?e?y，0?x?1,y?0f(x,y)?fX(x)?fY(y)??

0,其它?因此，Z的分布函数为

FZ(z)?P{2X?Y?z}??0,?z????2(1?e2x?z)dx,0?1??0(1?e2x?z),?2x?y?z??fX(x)?fY(y)dxdy

z?0,0?z?2,z?2,

所以，Z的概率密度函数为

??0,z?0,??1fZ(z)?FZ?(x)??(1?e?z),0?z?2,

?2?1(e2?1)e?z,z?2??2解法二由于X与Y相互独立，所以Z的概率密度函数为

fZ(z)??????fX(x)fY(z?2x)dx??fY(z?2x)dx01

??z?0?0,z?0,?z0, ??2?(z?2x?1?z???e)dx,0?z?2??(1?e),0?z?2,0?1?(z?2x?2)dx,z?2??0e?1(e2?1)e?z,z?2.???212、设随要变量X的概率密度函数为fX(x)?密度函数fY(y)。解 Y的分布函数

?(1?x2)，求随机变量Y?1?3X的概率

FY(y)?P{Y?y}?P{1?3X?y}?P{3X?1?y}

dx1?P{X?(1?y)3}??3?arctgx

(1?y)?(1?x2)?(1?y)3?????

1??3??arctg(1?y)????2?223

概率与数理统计释疑解难

因此，Y的概率密度函数为

d3(1?y)2 fY(y)?FY(y)??6dy?1?(1?y)3、设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布，而Y服从标准正态分布。试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数。

解由于Z为独立正态随机变量X与Y的线性组合，Z仍然服从正态分布，故只需确定Z的均值E(Z)和方差D(Z),

E(Z)?2E(X)?E(Y)?3?5,D(Z)?22D(X)?(?1)2?D(Y)?4?(2)2?1?9。所以Z服从正态分布N(5,9)，从而得Z的概率密度函数为

fZ(z)?132?e?(z?5)，???z???

4、设二维随机变量(X，Y)在区域D:0?x?1，y?x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z) 解 (X,Y)的联合概率密度函数是

X的边缘概率密度是 fX(x)??1,0?x?1,|y|?x f(x,y)??其它，?0,?2x,0?x?1, f(x,y)dy??0,其它，?11?????22 E(X)??xfX(x)dx??x?2xdx?x3?，

??0303??1 E(X)??xf(x)dx??x?2xdx?x4??022??2121?01， 2 D(X)?E(X)?[E(X)]? D(Z)?2?D(X)?222141??， 29182. 9 5、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

?2e?(x?2y),x?0,y?0, f(x,y)??0,其它,?求随机变量Z?X?2Y的分布函数。解 FZ(z)?P{Z?z}?P{X?2Y?z}?x?2y?z??f(x,y)dxdy.

224

概率与数理统计释疑解难

当z≤0时，P{Z?z}?0。

当z>0时，

P{Z?z}??dx?0z0zz?x202e?(x?2y)dy??e?xdx?0zz?x202e?2ydy

??(e?x?e?z)dx?1?e?z?ze?z,所以Z=X+2Y的分布函数为

0,z?0,? FZ(z)???z?z?1?e?ze,z?0.6、设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(?,?2)，Y服从[??,?]上均匀分布，求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示，其中

?(x)?2??1x??e?t2dt2)。

解 X和Y的概率密度分别为

fX(x)?12?e?(x??)22?2?1?,???x??,，???x???；fY(y)??2?

?其它。?0, 由于X与Y独立，可用卷积公式求Z=X+Y的概率密度，注意到fY(y)仅在[??,?]上才取非零值，所以Z的概率密度函数为

fZ(z)??

????fX(z?y)fY(y)dy?????fX(z?y)?fY(y)dy

1?2?z?y??????12??e?(z?y??)22?2dy.令t??，则有

z????

1fz(z)?2???z?????12?e?t2dt2?12???z??????z??????????????. ?????????1?xe，???x???。 2 7、设随机变量x的概率分布密度为f(x)? (1) 求X的数学期望EX和方差DX；

(2) 求X与X的协方差，并问X与X是否不相关？

(3) 问X与X是否相互独立？为什么？解 (1) E(X)??????xf(x)dx?0，

225

概率与数理统计释疑解难

D(X)??????xf(x)dx??2??0x2e?xdx?2.

(2) cov(X,|X|)?E(X|X|)?EX?E|X|?E(X|X|)?所以X与|X|互不相关。

?????x|x|?f(x)dx?0，

(3) 对于任意给定的0?x0???，事件{|X|?x0}包含在事件{X?x0}内，故有从而

0?P{|X|?x0}?P{X?x0}?1，

P{X?x0,|x|?x0}?P{|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{X?x0}。

因此，X与|X|不独立。

8、已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和

N(0,42)，X与Y的相关系数?XY??1XY，设Z?? 232 (1) 求Z的数学期望EZ和方差DZ； (2) 求X与Z的相关系数?XZ；

(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？解 (1) EZ?111E(X)?E(Y)?。 323注意 D(X)?9，D(Y)?16，cov(X,Y)?有

?XY?D(X)?D(Y)?????3?4??6，

?1??2?

11?1??1?DZ????D(X)????D(Y)?2??cov(X,Y)32?3??2?

111?D(X)?D(Y)?cov(X,Y)?1?4?2?3.943??X?1?Y?1??cov?X,??cov(X,X)?cov(X,Y). 3?2?2?322 (2) cov(X,Z)?cov?X,(,X)?D(X)?9，cov(X,Y)??6有注意 covX 所以

cov(X,Z)?11?9?(?6)?3?3?0， 32?XZ?cov(X,Z)D(X)?D(Z)?0.

226

概率与数理统计释疑解难

(3) 因为Z是正态随机变量X与Y的线性组合，故Z也是正态随机变量，又因为

?XZ?0，所以X与Z相互独立。

9、设随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0, fX(x)??0,x?0,?求随机变量Y?eX的概率密度fY(y)。解 FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}.

当y<1时，FY(y)?0，当y?1时，Fy(y)?P{X?lny}?因此Y的概率密度为

?lny0e?xdx.

?0,d?fY(y)?Fy(y)??1,dy2?y?y?1y?1.

[注] 分布函数也可定义为FY(y)?P{Y?y}

10、设?，?是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知?的分布律为

12，3，又设X?max{?,?}，Y?min{?,?}。，i?1，3 (1) 写出二维随机变量(X，Y)的分布律： X 1 2 Y P(??i)?1 2 3

(2) 求随机变量X的数学期望E(X)：解(1) X Y 1 2 3

[注] 由于总有Y≤X，故

① P{X?i,Y?j}?0，当i?j时。

② P{X?i,Y?i}?P{??i,??i}?P{??i}P{??i}?1 1/9 0 0 2 2/9 1/9 0 3 3 3/9 2/9 1/9 111??,i?1,2,3. 339 227

概率与数理统计释疑解难

③ P{X?i,Y?j}?P{??i,??j}?P{??j}P{??i}? (2) X的布律为

X Pi 1 1/9 2 3/9 112??,当i?j时。 9993 5/9 1359E(X)?1??2??3??.

999222。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分511、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是布函数和数学期望。

解显然X服从二项分布B?3.?，X的可能取值为0，1，2，3；其概率分别为

032?2??5?

2?272?540?2??1?2??， P{X?0}?C3,P{X?1}?C3???1??????1???125?5??5?125?5??5?2?8?2??2?363?2??. P{X?2}?C???1???,P{X?3}?C3???1???125?5??5?125?5??5?23230

即X的分布律为

Xp0123

27/12554/12536/1258/125据上，可得X的分布函数为

x?0?0,?27,0?x?1?125?81?F(x)?P{X?x}??,1?x?2

?125?117,2?x?3?125?x?1?1,X的数学期望为

27543686?1??2??3??. 125125125125526(或：E(X)?np?3??)。

55E(X)?0?12、设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为

1的正态分布，求随2机变量X?Y的方差。

228

概率与数理统计释疑解难

??1?2???1?2?解令Z?X?Y。由于X?N?0,???，Y~N?0,???，且X和Y相互独立，故

??2????2??????Z~N(0,1)。

因为 D(|X?Y|)?D(|Z|)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2?E(Z2)?[E(|Z|)]2，而

E(Z)?D(Z)?1，

E(|Z|)??|z|????12?。

e?z2/2dz?22????0ze?z2/2dz?2?，

所以 D(|X?Y|)?1?2? 13、设总体X的概率密度为

?(??1)x?,0?x?1 f(x)??0,其它?其中??1是未知参数，X1，X2，?，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。

解 ① ?的矩估计量。

由于总体X的数学期望为

E(X)??????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1， ??2??11n?X，解得未知参数?的矩估计量为令其等于样本均值X??Xi，即

??2ni?1

② ?的极大似然估计量。

设(x1，x2，??，xn)是来自样本(X1,X2,?,Xn)的一个观测值，则参数?的似然函数为

因此，似然方程为

ndlnL(?)n???lnxi?0。

d???1i?1???2X?1

1?XlnL?nln(??1)???lnxi。

i?1n???1??解之，得?的极大似然估计值为??n?

?lnx?i?，从而得?的极大似然估计量为 i?1?n229

概率与数理统计释疑解难

?????1??n??lnX?i?。 i?1?n当0?xi?1(1=1，2，?，n)时，恒有L(?)?0，故

lnL?nln(??1)???lnxi。

i?1n因此，似然方程为

ndlnL(?)n???lnxi?0。

d???1i?1???1??解之，得?的极大似然估计值为??n?

?lnx?i?，从而得?的极大似然估计量为 i?1?n?????1??n??lnX?i?。 i?1?n 14、从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

附表：标准正态分布表

z1?t2/2?(z)?edt

??2??z ?(z) 1.28 0.900 1.645 0.950 1.96 0.975 2.33 0.990 解以X表示样本均值，则

X?3.4n~N(0,1)，从而有

6P{1.4?X?5.4}?P{?2?X?3.4?2}

?|X?3.4|2n??P{|X?3.4|?2}?P?n??

66???n???2???3??1?0.95,???n???，由此得n?1.96，即n?(1.96?3)2?34.57，所以n至少应取35。?0.975故? ?3?3?? 15、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。附表：t分布表

230

概率与数理统计释疑解难

p tp(n) n 35 36 1.6896 1.6883 2.0301 2.0281 0.95 0.975 解设该次考试的考生成绩为X，则X~N(?,?2)。把从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，样本标准差记为S，本题是在显著性水平?=0.05下检验假设拒绝域为

H0:??70；H1:??70，

|t|?|x?70|n?t1??/2(n?1)。

s由n?36，x=66.5，s=15，t0.0975(36?1)?2.0301，算得

|t|?|66.5?70|36?1.4?2.0301，

15所以接受假设H0:??70，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

16、设某设备的寿命T（

单位：千时）服从三段模型

??e??tt?0f???0.03732（1）在（0，6）上服从解的指数分布，有 ?0t?0?（2）在（6，60）服从（0，360）上的均匀分布（3）在(60,?)服从N(75,39)

2) （A）求0?T?10的概率，（B）求寿命超过50（千时）的概率?(0.385)?0.6498 (1) P(0?T?10)?P(0?T?6)?P(6?T?10)

?1?e?0.03723?6?10?6?1?0.7998?0.0111?0.3113 36060?50T?3560?75?P(?) 3603939 (2) P(T?500?P(50?T?60)?P(T?60)??0.0278?P(T*??0.3846),T*~N(0,1) ?0.0278?P(T*?0.3846)?0.0278??(0.3846)?0.0278?0.6498?0.677617、设分子的速度总体X服从马克斯威尔分布

?4x2?x2?e???0X,X,?X为简单样本 f(x)??312n???0x?0?（1）求出?的矩估计量和极大似然估计量

231

2概率与数理统计释疑解难

（2）指出无偏估计量（说明理由）解 (1) ①求矩估计量：

E(X)?????0x?4x2?3?2?e?x2?dx2????04x2?3?e?x2?2a2xd(2) 2????02??te?tdt??x t?()2

?(2????)?X， ??2X为矩估计量

② 求极大似然估计量 L???i?1n4xi23n?e?xi2?2?(?i?1n4xi2??1)13n?1?e?2?xi2i?1w

nlnL?ln(?i?14xi2?n)?3nln???2?i?1nxi2dlnL?3n2 ??3da???i?1xi2?0

令2???i?1xi2?? 所以?2?Xi?1n2i3n3n为极大似然估计量

(2) 矩估计量为无偏估计量，因为

1?)?E(E(?X)?E(22n?????X)ii?1n?12?nn?E(X)?2n?E(X)ii?1i?1n?n

?2n?i?12????2n?2n????2?x?x2??x?0,?为参数 18、设总体X服从瑞利分布f(x)??e??x?0?0X1,X2?Xn为简单随机样本，求

（1）求?的极大似然估计量

（2）该估计量是否为无偏估计量？说明理由。解 (1) L???i?1nxi2x2?ie2??(?x)?ii?1n1n?e1n2?xi2?i?1

lnL?ln?i?1n1xi?nln??2??xi?1n2i

232

概率与数理统计释疑解难

dlnLn1???d??2?2?xi?1n2n2i

解方程 ?n??n12?2i?xi?12i?0

求出 ???xi?12n

n??1所以?为极大似然估计量为 ?2n?)?1 (2) E(?2n??0?Xo?122i

?i?1nE(Xi2)1?2n?E(Xi?1n0

E(X2)??x2?nx?e?x22?dx?2?

?)?1?E(?2n??1??2nn?i?12i2??2n??? 2n?Xi?1为?的无偏估计量.

219、某工厂生产的螺钉长度X~N(?,?)，现从一批螺钉中随机地抽取6件，测得长度的平均值x?5.46,标准差s?0.0802，问是否可以认为该批螺钉的平均长度为5.50 方差小于0.09?(??0.10)

22t0.05(5)?2.015,t0.05(6)?1.9412,?0,?0.90(5)?1.61.90(6)?2.204

2?解 (1) H0:???0?5.50 ， H1:???0

?2未知，选统计量 T?X??0S/n~t(n?1)

H0的拒绝城为|T|?ta(n?1)

2|t|?|5.16?5.500.0802/6|?1.2217

233

概率与数理统计释疑解难

ta(n?1)?t0.05(5)?2.0150

2?1.2217?2.0150 即|t|?ta(n?1)，不在拒绝城内，所以接受H0，可以认为这批螺钉

2的平均长度为5.50.

22 (2) H0:?2??0 ?0.092 ， H1:?2??0 ?未知，选统计量，??222(n?1)s22?0~x2(n?1)

H0的拒绝城为 ??x1?a(n?1)

5?0.08022???3.97 20.09222?1(n?1)?x?a0.90(5)?1.610

2?3.97?1.610即?2??1)，不在拒绝城内。接受H0，这批螺钉长度的方差不?a(n?1小于0.092。

19、对某圆柱的直径进行n次独立测量，测得的数据为：（?,?），x1,x2,??xn,设Xi~N21X?n?Xi，欲使P（X??<

i?1n?）不小于0.95，问至少需要进行多少次测量？若进行4100次测量，上述概率可达多少？解 X~N(?,?2n)，

Z???n~N(0,1)

P(|Z??|??4)?P(|Z???n|?n) 4??(nnn)??(?)?2?()?1 444nnn)?1?0.95，?()?0.975，?1.96，444欲使P(|X??|??4)?0.95，只要2?(n?(4?1.96)2?61.5，取n?62，至少要进行62次独立测量。若进行100次测量，2?(n?)?1?2?(2.5)?1?2?0.9938?1?0.9876，P(|X?u|?)?0.9876 442220、设X~N(?,2?)，Y~N(?,?)，相互独立

234

概率与数理统计释疑解难

（1）写出（X+Y），X-Y）的分布；（2）求出（X-Y），（X+Y）的相关系数（3）讨论（X-Y），（X+Y）的相关性，独立性；（4）写出（X-Y），（X+Y）的联合密度函数。解(1) 设U?X?Y，V?X?Y U~N(?,2?2) fU(u)?12?2?1e?e?(u??)22?2?2

(v?3?)22?2?2 V~N(3?,2?2) fv(v)? (2) E(U)?E(X)?E(Y)??

2?2?

?E(Y)?3? E(V)?E(X）E(UV)?E(X?Y）(X?Y）?E(X2?Y2)?E(X2)?E(Y2)?D(X)?E(X)?D(Y)?E(Y)??2?4?2??2??2?3?3cov(U,V)?3?2?3?2?3????0

??uv?0

(3) ?uv?0，U，V不相关，因为U，V都服从正态分布，不相关与独立是等价的，所以U，V相互独立。

fu,v(u,v)?fu(u)?fv(v)(见(1))22

(4)

?14??2e?14?2[(u??)2?(v?3?)2]

21、已知离散型随机变量X的概率分布为：

P{X?1}?0.2，P{X?2}?0.3，P{X?3}?0.5

(1) 写出X的分布函数F(x). (2) 求X的数学期望和方差.

x?1,?0,?0.2,1?x?2,?解：(1) F(x)?P{X?x}??

?0.5,2?x?3,?x?3,?1,或

x?1,?0,?0.2,1?x?2,? F(x)?P{X?x}???0.5,2?x?3,?x?3.?1,

235

概率与数理统计释疑解难

2 (2) EX?1?0.2?2?0.3?3?0.5?2.3，EX?1?0.2?4?0.3?9?0.5?5.9，

DX?EX2?(EX)2?5.9?5.29?0.61。 22、已知随机变量Y的概率密度为

y2???y2a2,f(y)??2e?a0,?y?0 y?0求随机变量Z?解：

1的数学期望EZ Y111EZ?E()???f(y)dy??e??y0a2Y?????y22a2dyy21?22a??????y22a2

e?22?a??12?2ady?edy?.2a2a2???2?a 23、假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其

中18件一等品，现众两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回).试求：

(1) 先取出的零件是一等品的概率p；

(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。引进下列事件：

解： Hi={被挑出的是第i箱}，i=1，2；Aj={第j次取出的零件是一等品}，j=1，2，那么，由题设知

P(H1)?P(H2)?113；P(A1|H1)?，P(A1|H2)?。 25511132????。 25255 (1) 由全概率公式

p?P(A1)?P(H1)P(A1|H1)?P(H2)P(A1|H2)? (2) 由条件概率的定义和全概率公式

q?P(A2|A1)??P(A1A2)1?[P(H1)P(A1A2|H1)?P(H2)P(A1A2)|H2)]P(A1)P(A1)5?110?9118?17?1?951????.??4?49?29??0.485572?250?49230?29????

24、玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1

和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

(1) 顾客买下该箱的概率?；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率?。解：引进下列事件：A={顾客买下所察看的一箱}，Bi={箱中恰好有i件残次品}(i=0，1，2)。

236

概率与数理统计释疑解难

由题设知P(B0)?0.8，P(B1)?0.1，P(B2)?0.1；

4444P(A|B0)=1，P(A|B1)?C19/C20?4/5，P(A|B2)?C18/C20?12/19。

(1) 由全概率公式

a?P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.8?1?0.1?i?02412?0.1??0.94。 519 (2) 由贝叶斯公式

??P(B0|A)?P(B0)P(A?B0)0.8??0.85。

P(A)0.9425、假设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y?e2X的概率密度

f(y)

解：X的密度函数为

?1,1?x?2, g(x)??其他.?0,记F(y)?P{Y?y}为Y的分布函数，则有

F(y)?P{Y?y}?P{e2x?0,y?e2,1??2lny?y}???dx,e2?y?e4,

1?1,y?e4,??因此

?0,y?e2,??1f(y)?F?(y)??,e2?y?e4,

?2y?y?e4,?0,24(补充规定f(e)?0，f(e)?0)，得

?124?,e?y?e,f(y)??2y

?其它.?0,26、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，

如是废品，则仍掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。

解：用X代表在取到正品之前已取出的废品数，X只可能取三个值：0，1，2： 1) 分布

P{X?0}?842882181?，P{X?1}??????，P{X?2}?。 10510945109845237

概率与数理统计释疑解难

2) 数学期望

3) 方差

EX?0?481102?1??2???。 54545459EX2?02?428148822?1??22??，DX?EX?(EX)?。 5454545405?e?(x?y),若0?x???,0?y??? f(x,y)??其他,?0, 27、已知随机变量X和Y的联合密度为

试求：(1) P{X?Y}；(2) E(XY)

P{X?Y}?(1)

x?y??f(x,y)dxdy????0dy?e?(x?y)dx0y??E(XY)??????0??????01e?y(1?e?y)dy?.2

(2)

?????xyf(x,y)dxdy????0?y??0???0xye?(x?y)dxdy

xedx??xyedy?1.28、设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。 X的密度的函数为

?1?,2?x?5f(x)??3

?其它.?0,记 A?{X?3}，则

P(A)?P{X?3}??12dx?。 3335 用?表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则?服从参数为n?3，p?分布，故所求概率为

2的二项320?2??1?3?2? P{??2}?C32?????C3????27?3??3??3??3 29、某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数

分布，分布密度为

?1?x?e600,若x?0, f(x)??600?0,若x?0,?试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率?。

238

概率与数理统计释疑解难

解：Xi(i?1，2，3)表示第i只元件寿命，以Ai(i?1,2,3)表示事件“在仪器使用最初200小时内，第i只元件损坏”，则

所求概率为

?1?600P(Ai)?P{Xi?200}??edx?e3。

200600??x1??P(A1?A2?A3)?1?P(A1?A2?A3)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?1?(e)?1?e?1.?133

30、已知随机变量X和Y的联合概率分布为； (x, y) P{X?x,Y?y} (0，0) 0.10 (0，1) 0.15 (1，0) 0.25 (1，1) 0.20 (2，0) 0.15 （2，1） 0.15 试求：(1) X的概率分布；(2) X+Y的概率分布；(3) Z?sin解：(1) X的概率分布为

(2) X+Y的概率分布为

?(X?Y)2的数学期望。

x012

P{X?x}0.250.450.30s0123

P{X?Y?s}0.100.400.350.15??(X?Y)?EZ?E?sin?2?? (3)

?0.10?sin0?0.4?sin?0.4?0.15?0.25.?2?0.35?sin??0.15?sin?2

31、从0，1，2，?，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A1?{三个数字中不含0和5}；A2?{三个数字中不含0或5}；

A3?{三个数字中含0但不含5}。

332C9?C814解： P(A1)?C/C?7/15，P(A2)?， ?315C10383101C92?C8C8277 P(A3)?或 ?P(A)??3333030C10C10 32、一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：知小时)，

已知X和Y的联合分布函数为：

239

概率与数理统计释疑解难

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),若x?0,y?0 F(x,y)??0,其他.? (1) 问X和Y是否独立？

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?。解法一：(1) X和Y的分布函数分别为：

?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)??0,若x?0;??1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)??若y?0.?0,

由于F(x,y)?FX(x)?FY(y)，知X和Y独立。 (2)

??P{X?0.1,Y?0.1}?P{X?0.1}?P{Y?0.1}?[1?FX(0.1)]?[1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.

解法二： (1) 以f(x,y)，f1(x)和f2(y)分别代表(X,Y)，X和Y的概率密度，有

?F2(x,y)?0.25e?0.5(x?y),若?0，y?0f(x,y)????x?y0,其他;?f1(x)??

????

?0.5e?0.5x,若x?0, f(x,y)dy??若x?0;?0,?0.5e?0.5y,若y?0, f(x,y)dx??若y?0.?0,f2(y)??????由于f(x,y)?f1(x)?f2(y)知X和Y独立。

(2)

??P{X?0.1,Y?0.1}??????0.1??0.1???0.10.25e?0.25(x?y)dxdy

?0.10.5e?0.5xdx????0.10.5e?0.5ydy?e.33、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X

和Y分别表示甲和乙的命中次数。试求X和Y的联合概率分布。

解 X服从参数为n=2，p=0.2的二项分布，Y服从参数为n=2，p=0.5的二项分布，它们的概率分布分别为：

x012y012

P{X?x}0.640.320.04P{Y?y}0.250.50.25由X和Y的独立性知X和Y的联合概率分布为：

X 0 1 Y

240

2 概率与数理统计释疑解难

0 1 2 0.16 0.32 0.6 0.08 0.16 0.08 0.01 0.02 0.01

34、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 [附表]

x00.51.01.52.02.53.0

?(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999有中?(x)是标准正态分布函数。

解设X为考生的外语成绩，由题设X~N(?,?2)，其中??72。现在求?，由条件知

2?X??96?72??24?0.023?P{X?96}?P????1????，

????????24?????0.977。 ???24从而

由?(x)的数值表，可见

??2，因此??12，这样X~N(72,122)。故所求概率为：

X???60?72X??84?72???Q{60?X?84}?P????P?1??1????12???12??

??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?0.841?1?0.682. 35、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。

(1) 求X的概率分布；(2) E1。 1?X解(1) X的可能值为0，1，2，3。以Ai表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”，则

P(Ai)?P(Ai)?

1，i=1，2，3，且A1，A2，A3相互独立。 21P{X?0}?P(A1)?，

2P{X?1}?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1， 41P{X?2}?P(A1?A2?A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?，

81P{X?3}?P(Ai?A2?A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?。

81111111167?1????????. (2) E?1?X224384896241

概率与数理统计释疑解难

36、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布N(220，252)。试求： (1) 该电子元件损坏的概率?；

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率?。附表：

x0.100.200.400.600.801.001.201.40?(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919

表中?(x)是标准正态分布函数

解引进下列事件：A1={电压不超过200伏}，A2={电压在200-240伏}，A3={电压超过240伏}，B={电子元件损坏}。由于X~N(220,252)，因此

?X?220200?220?P(A1)?P{X?200}?P??????0.8?0.212，

2525??

P(A2)?P{200?X?240}??(0.8)??(?0.8)?0.576，

P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212。

由题设知P(B|A1)?0.1，P(B|A2)?0.001，P(B|A3)?0.2。 (1) 由全概率公式

??P(B)??P(Ai)P(B?Ai)?0.0642。

i?13(2) 由贝叶斯公式

??P(A2|B)?P(A2)P(B?A2)?0.009。

P(B)22237、假设随机变量X和Y在圆域x?y?r上服从联合均匀分布

(1) 求X和Y的相关系数?；(2) 问X和Y是否独立？解 (1) X和Y的联合密度为

?1?2,若x2?y2?r2;f(x,y)???r

?其他.?0,X的密度为

?1?f1(x)???r2????r2?x2??r2?xdy?2222r?x,?r?x?r2, ?r0,其他.r2?x2,?r?y?r其他.,

?2?Y的密度为 f2(y)???r2??

??r2?y2??r?y2dx?20,2?r2242

概率与数理统计释疑解难

2E(X)??x?2?r?rrr?xdx?0，EY??y??r22r2?r2?y2dy?0

cov(X,Y)?EXY?x2?y2?r2??xy?1dxdy?0. 2?r于是，X和Y的相关系数??0。

38、假设测量的随机误差X~N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率?，并利用泊松分布求出?近似值。(要求小数点后了两位有效数字)。

?1234567?附表 ??

e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001?解每次测量误差的绝对值大于19.6的概率

?|X|?p?P{|X|?19.6}?P??1.96??0.05.

?10? 设?为100次独立重复试验中事件{|X|?19.6}出现的次数，?服从参数为n=100，p=0.05的二项分布，所求概率

??P{??3}?1?P{??0}?P{??1}?P{??2}

100?99298?1?(0.95)?100?0.05?0.95??0.05?0.95.2399由泊松定理，?近似服从参数为??np?100?0.05?5的泊松分布，从而

??2???1?e??e?e?1?e?1?????22??? ?1?0.007?(1?5?12.5)?0.87.?????????239、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。数学期望EX和方差DX。

解设Ai={部件i需要调整} (i=1，2，3)，

P(A1)?0.10，P(A2)?0.20，P(A3)?0.30。

X可能取值0，1，2，3。由于A1，A2，A3相互独立，

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504，

P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)，

?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398 243

概率与数理统计释疑解难

P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092,P(X?3)?P(A1A2A3?0.1?0.2?0.3)?0.006。

于是

123??0X~??,

0.5040.3980.0920.006??EX?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6,

DX?EX2?(EX)2?1?0.398?4?0.092?9?0.006?(0.6)2?0.46.

[注] 如果只要求EX和DX，这时也可用如下解法：考察随机变量

?1,若Ai出现Xi??(i?1,2,3)m

?0,若Ai不出现易见

EXi?P(Ai)，DXi?P(Ai)[1?P(Ai)]，X?X1?X2?X3。

由于X1，X2，X3相互独立，从而

40、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

EX?0.1?0.2?0.3?0.6，

DX?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46.

?e?y,0?x?y, f(x,y)??0,其它.?(1) 求X的密度fX(x)；(2) 求概率P{X?Y?1}。

?????e?ydy?e?x,x?0,解 (1) fX(x)??x

?0,x?0?P{X?Y?1}? (2)

120x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxe?ydy

1?2???dx[e?(1?x)?e?x]dx?1?e?1?2e 41、设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为

?32?x,0?x?2 f(x)??8?其他,?0, (1) 已知事件A?{X?a}和B?{Y?a}独立，且P(A?B)?(2) 求

3，求常数a； 41X2的数学期望。

244

概率与数理统计释疑解难

解 (1) 由条件知P(A)?P(B)，P(AB)?P(A)P(B)，由此得

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?2P(A)?[P(A)]2?P(A)?1，并且知0?a?2。 2223。 4由于

P{X?a}????a32x3f(x)dx??xdx?a88a1?1?a3。

8从而有1?131a?，于是得a?34。 82??121132323f(x)dx??xdx?dx? (2) E2?? 22????00884Xxx 42、设随机变量X和Y独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布；引进事件A?{X?a}，

B?{Y?a}

(1) 已知P(A?B)?71，求常数a；(2) 求的数学期望。 9X解 (1) 设p?P(A).由X与Y同分布，知

P(B)?P{Y?a}?P{X?a}?P(A)?p，P(B)?1?p。

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?(1?p)?p(1?p) 72?p?p?1?,9由

12，p2?。于是a有两个值： 33a?125a?147?p1得a1?1??；由?p2得a2?1??。由233233??111311??f(x)dx??dx?ln3. (2) E??xX21x2得p1? 43、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为?t的泊松分布。

(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

(2) 求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。解 (1) 解t<0时，由于T是非负随机变量F(t)?P{T?t}?0. 当t?0时，由于事件{T?t}与{N(t)?0}等价，

F(t)?P{T?t}?1?P{T?t}?1?P{N(t)?0}?1?e??t。

于是，T服从参数为?的指数分布

P{T?16,T?8}P{T?16}e?16? (2) Q?P{T?16|T?8}????8??e?8?。

P{T?8}P{T?8}e

245

概率与数理统计释疑解难

44、假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布P{Xi?0}?0.6，P{Xi?1}?0.4(i=1，2，3，4)，求行列式X?X1X3X2X4的概率分布。

解： Y1?X1Z4，Y2?X2X3，则X?Y1?Y2，且Y1和Y2独立同分布：

P{Y1?1}?P{Y2?1}?P{X2?1,X3?1}?0.16,P{Y1?0}?P{Y2?0}?1?0.16?0.84。

随机变量X?Y1?Y2有三个可能值：–1，0，1。

P{X??1}?P{Y1?0,Y2?1}?0.84?0.14?0.1344， P{X?1}?P{Y1?1,Y2?0}?0.16?0.84?0.1344，

P{X?0}?1?2?0.1344?0.7312。

于是行列式X的概率分布为

01???1 X~???0.13440.73120.1344? 45、假设随机变量X的概率密度为

?2x,若0?x?1,f(x)??

0,若不然.?现在对X进行n次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数。试求随机变量Vn的概率分布。

解事件“观测值不大于0.1”的概率为

p?P{X?0.1}??0.1??f(x)dx?2?0.10xdx?0.01。

Vn服从参数为(n,p)的二项分布：

mP{Vn?m}?Cn(0.01)m(0.99)n?m，m=0,1,2,?,n。

46、假设自由动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布N(?,1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

??1,若X?10,?T??20,若10?X?12,

??5,若X?12? 246

概率与数理统计释疑解难

问平均内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解平均利润

E(T)?20P{10?X?12}?P{X?10}?5P{X?12}?20[?(12??)??(10??)]??(10??)?5[1??(12??)] ?25?(12??)?21?(10??)?5dE(T)??25?(12??)?21?(10??) d?(其中?(x)和?(x)分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数)令上式为0得

即

?252?e?(12??)22?212?e?(10??)212?0，

25e?21e125?10.9。解此方程得 ??11?ln221?(12??)22?(10??)22。

由此知当??10.9毫米时，平均利润最大。

47、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n(n?2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)。求 (1) 全部能出厂的概率?；

(2) 其中恰发有两件不能出厂的概率?；

(3) 其中至少有两件不能出厂的概率?。

解引入事件A={仪器需进一步调试}，B={仪器可以出厂}，则任一仪器可出厂概率为

P(B)?P(A)P(B|A)?P(AP(B?A)

?0.3?0.8?0.7?1?0.94. 用X代表所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X为n次独立试验(仪器出厂)的次数，服从参数为(n，0.94)的二项分布，因此

??P{X?n}?0.94n，

2??P{X?n?2}?Cn(0.94)n?2(0.06)2，

??P{X?n?2}?1?P{X?n?1}?P{X?n}?1?n?(0.94)n?1(0.06)?0.94n

48、已知随机变量X和Y的联合概率密度为

?(x,y)???4xy,若0?x?1,0?y?1

0,其他.? 247

概率与数理统计释疑解难

求X和Y的联合分布函数F(x,y)。解 1) 当x?0或y?0时，有

F(x,y)?P{X?x,Y?y}?0.

2) 当x?1且y?1时，有

F(x,y)?1

3) 当0?x?1且0?y?1时，有

F(x,y)??x0?y04uvdudv?x2y2.

4) 当0?x?1，且y?1时，有

F(x,y)??x10?04uvdudv?x2.

y0 5) 当x?1且0?x?1时，有F(x,y)?故X和Y的联合分布函数为

??014uvdudv?y2.

x?0或y?0,?0,?x2y2,0?x?1,0?y?1,??F(x,y)??x2,0?x?1,y?1,

?y2,x?1,0?y?1??x?1,y?1.?1,49、假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y?1?e?2x在区间(0，1)上服从均匀分布。

?1?e?2x,x?0证明：X的分布函数F(x)??

x?0?0设G(y)?P(Y?y)为Y的分布函数，由于X?0,有0?Y?1?e1）当y?0时，G(y)?0 2）当y?1时，G(y)?1 3）当0?y?1时，

?2x?1，易得

G(y)?P(Y?y)?p(1?e?2x?y) 11?2x?P(e?1?y)?P(X??ln(1?y)?F(??ln(1?y))?y22 248

概率与数理统计释疑解难

y?0?0?0?y?1 总之有 G(y)??y?1y?1?所以Y在区间（0，1）上服从均匀分布

50、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：以X表示一周5天内机器发生故障天数，则X服从参数为(5，0.2)的二项分布：

kP{X?k}?C50.2k0.85?k，k=0，1，2，3，4，5.

P{X?0}?0.85?0.328，

1P{X?1}?C5(0.2)(0.8)4?0.410， 2P{X?2}?C5(0.2)2(0.8)3?0.025，

P{X?3}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?0.057。

以Y表示所获利润，则

?10,若X?0,??5,若X?1,Y?g(X)??

?0,若X?2,???2,若X?3.

XY?10?0.328?5?0.410?0?0.205?2?0.057?5.216(万元)

51、考虑一元二次方程x2?Bx?C?0，其中B，C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。

解一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36。方程组有实根的充分必要条件是B?4C?0即C?B/4；方程组有重根的充分必要条件是B?4C?0即C?B/4。易见 B 使C≤B2/4的基本事件个数使C=B2/4的基本事件个数 1 0 0 2 1 1 3 2 0 4 4 1 5 6 0 6 6 0 2222由此可见，使方程有实根的基本事件个数为

1+2+4+6+6=19. 使方程有重根的基本事件个数为2。因此

p?1921? ，q?36361852、假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从

249

概率与数理统计释疑解难

参数为??0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。

解：以Xi(i=1，2，3)表示第i个元件无故障的时间，则X1，X2，X3相互独立同分布，其分布函数为

?1?e??x,若x?0,F(x)??

0,若x?0.? 设G(t)和T的分布函数，当t?0时，G(t)?0，当t?0时，

G(t)?P{T?t}?1?P{T?t}?1?P{X1?t,X2?t,X3?t}?1?P{X1?t}?P{X2?t}P{X3?t}?1?[1?F(t)]?1?e?1?e?3?t,t?0, G(t)??t?0.?0,3?3?t，

所以

T服从参数为3?的指数分布。

53、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1) 写出X的概率分布：

(2) 利用棣莫佛一拉普接斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。

[附表]设?(x)是标准正态分布函数

x00.51.01.52.02.53.0

?(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999解(1) X服从二项分布，参数n=100，p=0.2

kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k，k=0，1，?，100

(2) EX?np?20，DX?np(1?p)?16 根据棣莫佛-拉普拉斯定理

?14?20X?2030?20?P{14?X?30}?P????444??X?20???P??1.5??2.5???(2.5)??(?1.5)

4????(2.5)?[1??(1.5)]??(2.5)??(1.5)?1?0.944?0.933?1?0.927.54、假设X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知EXk??k(k=1，2，3，

14)。证明当n充分大时，随机变量Zn?n?Xi?1n2i近似服从正态分布，并指出其分布

参数。

250

概率与数理统计释疑解难

22证：依题意X1，X2，?，Xn独立同分布，可知X12，X2，?，Xn也独立同分布且

有由中心极限定理

Vn??Xi?1n2i?n?222n(?4??)?1n2?Xi??2ni?1(?4??)/n22?Zn??2(?4??)/n22

的极限分布是标准正态分布，所以当n充分大时Vn近似服从标准正态分布，从而

2?4??2Zn?n?Vn??2近似服从参数为???2，??22?4??2n的正态分布。

55、设总体X的概率密度为

?????x??1e??x,若x?0, p(x;?)???若x?0,?0,其中??0是未知参数，??0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，?，?。 Xn，求?的最大似然估计量?解似然函数

L(X1,X2,?,Xn;?)?(??)en???X?X??iii?1i?1nn?1

对数似然函数lnL?n?nln??nln????Xi?1n?i??lnXi??1，

i?1n由

解得?的最大似然估计量

?lnLnn????Xi?0 ???i?1??n??X?

ii?1n11，在事件{?1?X?1}P{x?1}?；84出现的条件下，X在(–1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求

(1) X的分布函数F(x)?P{X?x}；(2) X取负值的概率p。 56、假设随机变量X的绝对值不大于1；P{X??1}?解：(1) 据已知，有x??1时，F(x)?0；x?1时，F(x)?1。以下考虑?1?x?1时的情形。由于故

1?P{|X|?1}?P{X??1}?P{?1?X?1}?P{X?1}，

P{?1?X?1}?1?251

115??。 848概率与数理统计释疑解难

另据条件，有

P{?1?X?x|?1?X?1}?1(x?1) 2于是，对于?1?x?1，有(?1,x]?(?1,?1)，因此

P{?1?X?x}?P{?1?X?x},?1?X?1?P{?1?X?1}?P{?1?X?X?x|?1?X?1}515??(x?1)?(x?1),8216F(x)?P{X??1}?P{?1?X?x}? 综上，有

155x?7?(x?1)?。 816160,x??1,??F(x)??(5x?7)/16,?1?x?1,

?1,x?1? 57、假设随机变量Y服从参数为??1的指数分布，随机变量

?0,若Y?kXk??(k?1,2),

1,若Y?k?(1) 求X1和X2的联合概率分布； (2) 求E(X1?X2)。解： (1) 随机变量Y的的分布函数为

y???e?ydy?1?e?yF(y)??f(y)dy??0?0???y(y?0)(y?0)

二维随机变量(X1，X2)的所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)，且其概率分别为

P{X1?0,X2?0}?P{Y?1,Y?2}?P{Y?1}?F(1)?1?e?1； P{X1?0,X2?0}?P{Y?1,Y?2}?0；

P{X1?1,X2?0}?P{Y?1,Y?2}?P{1?Y?2}?F(2)?F(1)?e?1?e?2；

P{X1?1,X2?1}?P{Y?1,Y?2}?P{Y?2}??可得(X1,X2)的联合分布律为

p X2 0 1 X1 0 ??2e?ydy?e?2。

1 1?e?1 0 e?1?e?2 e?2 (2) 由于Xk(k?1,2)服从(0-1)分布，且

252

概率与数理统计释疑解难

P{Xk?0}?P{Y?k}?F(k)?1?e?k， P{Xk?1}?P{Y?k}?1?P{Y?k}?e?k。

故得

EXk?0?(1?e?k)?1?e?k?e?k (k=1,2)

因此E(X1?X2)?EX1?EX2?e?1?e?2。

58、一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上有均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。解设Z表示商店每周所得的利润，则

1000Y,Y?X,? Z??(Y?X)?500(X?Y),Y?X.?1000X?5000由于X与Y的的联合概率密度为：

?1?,10?x?20,10?y?20,?(x,y)??100

?其它，?0,EZ???1000y?D111dxdy???5000(x?y)?dxdy100100D2ydx?5?dy?(x?y)dx1010201020y所以

?10?dy?102020y?10??2010y(20?y)dy?5??32??y?10y?50?dy?2?

20000?5?1500?14166.7(元).3 59、设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表

分别为3分、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p；

(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。解：设Hi={报名表是第i区考生的} (i=1，2，3)， Aj?{第j次抽到的报名表是男生表} (j=1，2)，

1； 37820 P(A1|H1)?，P(A1|H2)?，P(A1|H3)?。

101525则 P(H1)?P(H2)?P(H3)? 253

概率与数理统计释疑解难

(1) p?P(A1)??P(H)P(Aii?131?375?29。 |H)??????1i3?101525?90 (2) 由全概率公式得

7820，P(A2|H2)?，P(A2|H3)?。 101525785 P(A1A2|H1)?，P(A1A2|H2)?，P(A1A2|H3)?。

303030 P(A2|H1)? P(A2)?1?7820?61。 P(H)?P(A|H)??????i2i?3?101525?90i?1331?785?2P(A1A2)??P(Hi)P(A1A2|Hi)??????。

3?303030?9i?1因此，q?P(A1|A2)?P(A1A2)/P(A2)?2/920?。

61/906160、设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随要变量，而经销商店过货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解：设进货量a，则利润为

?500a?(X?a)300,a?X?30,?300X?200a,a?X?30, Ma?????500X?(a?X)100,10?X?a?600X?100a,10?X?a.EMa??期望利润

301011a130?Madx?(600x?100a)dx?(300x?200a)dx??10a2020202a230???1?x1?x????600??100ax?300??20ax0???20?2202??10??a2

??7.5a2?35a0?525.0依题意，有?7.5a?350a?5250?9280，即7.5a?350a?4030?0。解得 2022?a?26。 3 61、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机?1,若抽到i等品,抽取一件，记Xi??(i?1,2,3)。

0,其他?试求：(1) 随机变量X1与X2的联合分布；(2) 随机变量X1与X2的相关系数?。解 (1) 设事件Ai?“抽到i等品”(i=1，2，3)。由题意知A1，A2，A3两两互不相容。

P(A1)?0.8，P(A2)?P(A3)?0.1。

254

概率与数理统计释疑解难

易见，P{X1?0,X2?0}?P(A3)?0.1，P{X1?0,X2?1}?P(A2)?0.1； P{X1?1,X2?0}?P(A1)?0.8，P{X1?1,X2?1}?P(?)?0。 (2) EX1?0.8,EX2?0.1.

DX1?0.8?0.2?0.16,DX2?0.1?0.9?0.09.

EX1X2?0?0?0.1?0?1?0.1?1?0?0.8?1?1?0?0. cov(X1X2)?EX1X2?EX1?EX2?0?0.8?0.1??0.08.

??Cov(X1,X2)DX1?DX2?2??。

30.16?0.09?0.0862、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,x?y?2x, f(x,y)??其他.?0,求：（I）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（Ⅱ）Z?2X?Y的概率密度fZ(z). 解（I）当0?x?1时，fX(x)?当x?0或x?1时，fX(x)?0，即 fX(x)???????f(x,y)dy??2x?dy?2x

?2x,0?x?1,?0,其他.

当0?y?2时，fY(x)??????f(x,y)dx??1y2ydx?1?;