线性代数2010期末复习试卷

2010年~2011年第一学期线性代数期末考试(共10页)

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1.设A为3阶方阵，且?13A?13 ,则A*?_____.

A. 81 B. 9 C. -81 D. -9

?12???1??A??03???1??，则A?_____. 1??2. 已知等式??1?A.

??3??1?1??1? B. ???30??0??0?? C. ??11??1??1?? D. ??0?3???3?? ?1?3. 设向量?1??a1b1c1?,?2??a2b2c2?, ?1??a1b1c1d1?,?2??a2b2c2则下列d2?，

命题中正确的是______.

A． 若?1,?2线性相关，则必有?1,?2线性相关 B．若?1,?2线性无关，则必有?1,?2线性无关 C．若?1,?2线性相关，则必有?1,?2线性无关 D．若?1,?2线性无关，则必有?1,?2线性相关

?0??2??1???????110??????4. 已知向量组a1???，a2???，a3??的秩为2，则数t=______. ?5t?20???????0??4??2???????A. 1

A B. 2 C. 3 D. 4

?0?10???20042?1A?100?2A?_____. 5.设矩阵??，B?PAP，其中P为三阶可逆矩阵，则B?00?1????3?A. ?0?0?0300??0??0? B. ?0??1?1???0303??0??0? C. ?0??10???3000??0??3? D. ?3?00???003?1??0? 0??

6.设m?n的矩阵A的秩r?A??n?3(n?3)，?,?,? 是齐次线性方程组Ax?0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax?0有一基础解系为________.

A.?,?,??? B.?,?,??? C.???,???,??? D. ?,???,????? 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

a112a124a226a323a139a33a11a31a12a22a32a13a23?__________a331.已知行列式 2a213a316a23?6，则a21.

2.设A为m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是 . ?1?3.设矩阵A??2?3?2t42??3?，若齐次线性方程组Ax?0有非零解，则t= . 5??4.已知矩阵A的伴随矩阵A*?diag?1,1,1,8?，且ABA?1?BA?1?3E，求B= . ?0?A?5. 设矩阵?0?1?0101??0?，则A的特征值为_________. 0??6.设向量组?1??123?，?2??456?，?3??333?与向量组?1,?2,?3等价，则

向量组?1,?2,?3的秩为 .

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

aba?b2a?b3a?bca?b?c3a?2b?c6a?3b?cda?b?c?d4a?3b?2c?d10a?6b?3c?d1.（1）

aaa

an（2）D2n?cn??a1c1????b1d1??bn

dn

2.求向量组?1??111?4???2?610T3?T，?2???1?351?T，?3??32?14?T，

2?的一个极大无关组，并将向量组的其余向量用该极大无关组线性表

出。

?2x1?x2?x3?x4?1?3.求非齐次线性方程组?3x1?2x2?x3?3x4?4的基础解系与通解。

?x?4x?3x?5x??2234?1

?x1?x2??x3??2?4.已知线性方程组?x1??x2?x3??2

??x?x?x???323?1（1）讨论?为何值时方程组无解，有唯一解，有无穷多组解。

（2）有无穷多组解时，求方程组的通解。

?1??15．设对称矩阵A??1??1?111??111??1，求一个正交阵和对角矩阵，使P?PAP??。

111??111??

四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

1.设A为列满秩矩阵，AB?C，证明线性方程Bx?0与Cx?0同解.

2.设?*是非齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1??n?r是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：

（1）?*，?1,?,?n?r线性无关。 （2）?*，?*??1,?,?*??n?r线性无关.

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