2013年聊城市初中学业考试数学试题（含详细答案解析）

2013年聊城市初中学业考试数学试题

满分120分，时间120分钟

一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（－2）3的相反数是（ ） A．－6 B．8 C．－

11 D． 682．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）

－－－－

A．0.25×105 B．0.25×106 C．2.5×105 D．2.5×106

3．如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是（ ）个．

A．3 B．4 C．5 D．6 4．不等式组??3x?1?2,的解集在数轴上为（ ）

?4?2x?0

A． B． C． D．

5．下列命题中的真命题是（ ）

A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 6．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4

7．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米，那么钢丝大约需加长（ ）厘米．

A．102 B．104 C．106 D．108 8．二次函数y=ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax＋b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

9．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（ ）米． A．12 B．43 C．53 D．63 10．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生的成绩达到优秀．估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）人． A．50 B．64 C．90 D．96 11．如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．若△ABD的面积为a，则?ACD的面积为（ ）．

A．a B．

112a C．a D．a 235121x经过平移得到抛物线y=x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所2212．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=围成的阴影部分的面积为（ ）．

A．2 B．4 C．8 D．16

二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）

13．若x1=－1是关于x的方程x2＋mx－5=0的一个根，则方程的另一个根x2= ． 14．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°．用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 厘米．

15．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D、E、F、G、H五个队．如果从A、B、D、E四个队与C、F、G、H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是 ．

16．如图，在等边?ABC中，AB=6，点D是BC的中点．将?ABD绕点A旋转后得到?ACE，那么线段DE的长度为 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n＋1（n为自然数）的坐标为 ．

三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（本题满分7分）

?x2?4x?4x?x?1计算：?． ???2x?2?x?2?x?4

19．（本题满分8分）

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．

20．（本题满分8分）

小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，下图是他们投标成绩的统计图．

（1）根据图中信息填写下表： 小 亮 小 莹 平均数 7 中位数 7 众数 9 （2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好． 21．（本题满分8分）夏季来临，天气逐渐炎热起来．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 22．（本题满分8分）如图，一只猫头鹰蹲在一颗树AC的点B处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处．已知点B在AC上，DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上．

（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？

（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

23．（本题满分8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=－象在第二象限交于点C．如果点A的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标；

（2）求一次函数的解析式．

8的图x

24．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形； （2）FC是⊙O的切线．

25．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20． （1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ （3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果

不存在，请给予说明．

参考答案

1．【考点】有理数的乘方；相反数． 【分析】－（－2）3=－（－8）=8． 【解答】B 2．【考点】科学记数法（表示较小的数）．

－6

【分析】0.000 0025=2.5×10． 【解答】D

－

【点评】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．【考点】由三视图判断几何体．

【分析】综合三视图可看出，底面有3个小立方体，第二层应该有1个小立方体，因此小立方体的个数应该是3＋1=4个． 【解答】B

【点评】从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数． 4．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【分析】∵解不等式①得x＞1，解不等式②得x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：

【解答】A

5．【考点】命题与定理．

【分析】A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误． 【解答】C

【点评】熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识． 6．【考点】随机事件． 【分析】①②是随机事件． 【解答】B

【点评】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 7．【考点】整式的加减；圆的认识．

【分析】设地球半径为rcm，则地球的周长为2πrcm，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，故此时钢丝围成的圆形的周长变为2π（r＋16）cm，∴钢丝大约需要加长2π（r

2

＋16）－2πr≈100（cm）=10（cm）． 【解答】A 8．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=－b＞0，∴b＞0，∴一次函数y=ax＋2a

b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合． 【解答】C

9．【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）． 【分析】Rt△ABC中，BC=6米，BC=1：AC3，∴则AC=BC×3=63，∴AB=AC2?BC2=62?(63)2=12． 【解答】A

【点评】解直角三角形的应用，关键在于构造直角三角形并解直角三角形．

10．【考点】用样本估计总体．

【分析】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为15÷50=30%，又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为320×30%=96人．

【解答】D

【点评】一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 11．【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为【解答】C

【点评】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 12．【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】过点C作CA⊥y，∵抛物线y=1a． 312111x－2x=（x2－4x）=（x2－4x＋4）－2=（x－2）2－2，∴顶2222点坐标为C（2，－2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为2×2=4．

【解答】B

【点评】根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换． 13．【考点】根与系数的关系． 【分析】∵关于x的方程x2＋mx－5=0的一个根为x1=－1，设另一个为x2，∴－x2=－5，解得x2=5，则方程的另一根是x2=5． 【解答】5 【点评】一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有

x1＋x2=－bc，x1x2=． aa

14．【考点】圆锥的计算． 【分析】扇形的弧长是150??60=50πcm，设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得r=25． 180【解答】25

【点评】圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15．【考点】列表法与树状图法． 【分析】画树状图：

∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是63=． 168【解答】3 8【点评】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率=所求情况数与总情况数之比． 16．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×3=33．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC＋2∠BAD=60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE=AD=33，即线段DE的长度为33． 【解答】33 【点评】旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 17．【考点】规律型（点的坐标）． 【分析】由图可知，n=1时，4×1＋1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2＋1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3＋1=13，点A13（6，1），所以，点A4n＋1（2n，1）． 【解答】（2n，1）

【点评】仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A4n＋1的对应的坐标． 18．【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=（x?2xx?2?2x?22－）?=?=－． x?2x?2x?1x?2x?1x?1【点评】分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键

是找公因式． 19．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质． 【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，

【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，

∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE=90°， ∵∠BCD=90°，∴∠BCF＋∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D， 在△BCF和△CDE中，∠BCF=∠D，∠CED=∠BFC=90°，BC=CD， ∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE， 又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形， ∴AE=BF， ∴AE=CE．

另证：连接BD、AC，∵BC=CD，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD=45°， ∵∠A=∠BCD=90°，∴A、B、C、D四点共圆， C∴∠CAE=∠CAD=∠CBD=45°， 又∵CE⊥AD，∴?ACE是等腰直角三角形，∴AE=CE． B

【点评】作辅助线构造出全等三角形与矩形或共圆是解题的关键． AD 20．【考点】条形统计图；算术平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据条形统计图找出小亮与小莹10次投中的环数，求出平均数，中位数，以及众数； （2）根据两人的中位数相同，可得出谁的平均数高，谁的成绩好． 【解答】解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7， 平均数为E

1（9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7）=7（环），中位数为7，众数为7； 101（3＋4＋6＋9＋5＋7＋8＋9＋9＋10）=7（环），中位数为7.5，众数为9， 10 小 亮 小 莹 平均数 7 7 中位数 7 7.5 众数 7 9 小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10， 平均数为填表如下： （2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．．

21．【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解． 【解答】解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：

?x?y?7,?x?3,解得 ??3(1?10%)x?2(1?5%)y?17.5,y?4.??答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元． 【点评】利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来． 22．【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）．

【分析】（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°－53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠； （2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据的长度．

【解答】解：（1）能看到； 由题意得，∠DFG=90°－53°=37°，则AG=sin∠C=sin37°，求出CGCGDG=tan∠DFG， DF∵DF=4米，∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米）， 故能看到这只老鼠；

（2）由（1）得，AG=AD＋DG=2.7＋3=5.7（米），又AG=sin∠C=sin37°， CG则CG=AG5.7==9.5（米）． sin37o0.60答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米．

【点评】构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段．

23．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标为－2，再将x=－2代入y=－8，求出y=4，即可得到点C的坐标； x（2）设一次函数的解析式y=kx＋b，将点A、点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式． 【解答】解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上， ∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为－2， ∵点C在反比例函数y=－8的图象上， x∴y=－8=4， ?2∴点C的坐标为（－2，4）；

（2）设一次函数的解析式y=kx＋b．

∵点A（2，0），点C（－2，4）在直线y=kx＋b上，?∴一次函数的解析式y=－x＋2．

【点评】运用待定系数法确定函数的解析式．

?2k?b?0,?k??1,∴解得?

??2k?b?4,?b?2.

24．【考点】切线的判定与性质；菱形的判定． 【分析】（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，证得四边形FADC是菱形； （2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，证得FC是⊙O的切线． 【解答】证明：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=设OC=x，∵BE=2，∴OE=x－2，

在Rt△OCE中，OC2=OE2＋CE2，∴x2=（x－2）2＋（23）2，解得x=4， ∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6， 在Rt△AED中，AD=11CD=×43=23， 22AE2?DE2=43，

∴AD=CD，

∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB，∴AF∥CD，

∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形， ∴?FADC是菱形； （2）连接OF，

∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC， 在△AFO和△CFO中，

∵FA=FC，OF=OF，OA=OC， ∴△AFO≌△CFO（SSS）， ∴∠FCO=∠FAO=90°，OC⊥FC， ∵点C在⊙O上， ∴FC是⊙O的切线．

【点评】注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；

（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值． （3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C 交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．

【解答】解：（1）由题意，得y=1x(x?20)=－x2＋10x， 22当y=48时，－12x＋10x=48，解得x1=12，x2=8， 2∴面积为48时BC的长为12或8； （2）∵y=－12x＋10x， 2

∴y=－1（x－10）2＋50， 2∴当x=10时，y最大=50；

（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下： 由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10.

过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C 交直线l于点A′，再连接A′B，AB′， 则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，∴A′B＋A′C=A′B′＋A′C=B′C，

当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB＋AC＋BC=AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，

当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB＋AC＋BC=A′B′＋A′C＋BC=B′C＋BC， 因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作法可知：BB′=20，∴B′C=202?102=105，∴△ABC的周长=105＋10， 因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10． 【点评】解答第三问时灵活运用轴对称的性质．

【解答】解：（1）由题意，得y=1x(x?20)=－x2＋10x， 22当y=48时，－12x＋10x=48，解得x1=12，x2=8， 2∴面积为48时BC的长为12或8； （2）∵y=－12x＋10x， 2

∴y=－1（x－10）2＋50， 2∴当x=10时，y最大=50；

（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下： 由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10.

过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C 交直线l于点A′，再连接A′B，AB′， 则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，∴A′B＋A′C=A′B′＋A′C=B′C，

当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB＋AC＋BC=AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，

当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB＋AC＋BC=A′B′＋A′C＋BC=B′C＋BC， 因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作法可知：BB′=20，∴B′C=202?102=105，∴△ABC的周长=105＋10， 因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10． 【点评】解答第三问时灵活运用轴对称的性质．

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