初中数学市区 李海燕

初中数学

14.1.1变量与函数

教材：人教版 八年级上

教学目标

1．引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主建构常量和变量的概念、函数的定义，渗透函数的三种表示法．

2．引导学生例举、研讨，体会“变化与对应”的思想，深化对函数概念实质的认识，体验函数是研究运动变化的重要数学模型，激发学习兴趣和学习积极主动性．

3．培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力． 教学重点 变量、函数概念 教学难点 建立函数概念 教学方法和教学手段

借助多媒体信息技术的运用，由具体实例逐步过度到抽象定义

教学过程

活动一：通过实例揭示常量和变量的概念 1．已知门票的价格是50元/人 （1）2个人进去，需_______元;

3个人进去, 需_______元; 5个人进去, 需_______元.

显然这是一个变化过程，在这过程中涉及到哪几个量？

（2）在这个变化过程中，变化的量是___________，没变化的量是_________.

在这变化的过程中，不变的关系是

门票的总费用=门票的单价×进去的人数

（3）设进去的人有x个，需要门票总费用为y元,则用x的代数式表示y

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为_______;

2.如果弹簧原长10㎝,每1㎏重物使弹簧伸长0.5㎝(弹力范围内）,怎样用含重物质量m（单位：㎏）的式子表示受力后的弹簧长度l （单位：cm）？

挂1kg重物时弹簧长度 1×0.5＋10＝10.5（cm） 挂2kg重物时弹簧长度 2×0.5＋10＝11（cm）

在这变化的过程中，变化的量是_________，没变化的量是_____________. 不变的关系是l=0.5m+10

以上是老师例举的两个变化的过程，下面请我们同学仿照上面的例子，举出几个变化的过程，并说出哪些是变化的量？哪些是没变化的量？

变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量； 常量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量。 活动二：提供实例，引导学生分析变化过程中的数量关系和变化规律，渗透函数概念的实质，为概括函数定义奠定基础

1.汽车在公路上行驶过程中

(1)若汽车以v=80km/h的速度匀速行驶，则路程s（km）与时间t（h)的关系式为___________；

在这变化的过程中，有几个变量？分别为？常量是？

(2)若汽车从南通匀速开往如皋，路程s=55km. 用时间t（h)表示速度v（km/h）为_______.

在这变化的过程中，有几个变量？分别为？常量是？

在第一个变化过程中，路程s是变量，而在第二个变化过程中，路程s却是常量，为什么？所以常量和变量关键就是看在同一个变化过程中，数值是否发生变化，变化的量是变量，不变的量就是常量．在同一个变化过程中，变量的值之间还存在怎样的对应关系呢？

S=80t

55t?

v当t =1时，s =80； 当v=55时，t= 1； 当 t=2时，s=160； 当v=110时,t= 0.5 ； ﹕ ﹕ ﹕ ﹕ 对于t的每一个确定的值， 对于v的每一个确定的值

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s都有唯一确定的值 t都有唯一确定的值 与其对应 与其对应 2.我国体育健儿近7届奥运会奖牌数统计表 届数x(届） 奖牌数y(枚） 23 32 24 28 25 54 26 50 27 59 28 63 29 100 看表格回答：(1) 在这个变化过程中有哪几个变量？

(2) 当x=23时，y=?;当x=24时，y=? ?

对于届数x的每一个确定的值，奖牌数y都有唯一的值与其对应。 3. 本市某一天内的气温变化示意图

看图象回答：(1)在这个变化过程中有哪几个变量？

(2)当t=3时，T=?;当t=10时，T=？?

当时间t=2时，温度T=-3℃；当时间t=14时，温度T=5℃? 对于时间t的每一个确定的值，温度T都有唯一的值与其对应. 活动三：引导学生概括函数定义及其表示法

1.以上三个问题的实际背景是不同的，但它们却有一些共同点，请同学们分析研究．（小组议论）

共同点是

(1)一个变化过程; (2)有两个变量 ;

(3)并且对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应 ．

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这时另一个变量就是这一个变量的函数．我们今天研究的课题是“变量与函数”，请同学们概括函数的定义．

2．函数定义

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

分别说出活动二的三个实例中的自变量与自变量的函数．

3．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．例如，在S=80t中，当t=1时，S=80，80是自变量t=1时的函数值．函数是对变量之间的关系而言的，函数值是对具体数值而言的．

4．由活动二中的1、2、3可知，反映两个变量的对应关系的形式有三种：问题1是解析法、问题2是列表法、问题3是图象法．

活动四：教师给出实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关系 1. 下表是一个工人生产零件的总数和工作天数的关系表 工作天数t (天) 生产零件总数 m (个)

通过阅读读表的信息，利用今天所学的知识，你能设计几个问题考考你的同学吗？

2.试用解析法表示下列两个变量之间的关系，并判断y是不是x的函数？ (1)正方形的边长为x，周长为y； (2)一个数为x，它的平方为y；

3.引导学生根据对函数定义的理解自己例举函数的实例. 活动五：师生共同小结 1. 变量

2．函数的定义及必须注意三个要点 3. 函数的三种表示形式

4．研究函数的意义：通过这堂课的学习让我们进一步感觉到我们就生活在一个变化万千的世界里，可以说万物皆变。行星在宇宙中的位置随时间而变化； 人体细胞的个数随年龄而变化；气温随海拔而变化；还有我们今天所研究的许都

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1 90 5 450 10 900 15 1350 20 1800 ? ? 初中数学

变化过程，? ，这些一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。如果在一个变化过程中，有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一的值与其对应，那么我们就可以用函数来刻画他们的变化规律。随着我们学习的深入，我们将越来越认识到函数的重要性，及函数应用的广泛性.

课后作业

1.阅读教材93-97的内容

2.列举你熟知的生活中存在函数关系的实例三则

3.某摩托车油箱可装汽油10L，原装有汽油2L，现再加汽油xL，已知每升汽油4.6元，求出油箱内的汽油总价y（元）与x（L）之间的函数关系式.

教学设计说明

世界是运动变化的,函数就是研究运动变化的重要数学模型,它源自生活，又服务于生活。函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。本节课注重联系学生的生活实际，在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主学习，构建常量和变量的概念、函数的定义。通过学生举例、研讨，体会“变化与对应”的思想，激发学习兴趣和学习主动性。

新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量了数学信息、数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此本节课从创设学生能理解的生活情境开始，使学生从生活中理解变量和常量的概念，通过汽车行驶问题，作为函数的实际背景，为学习抽象概念服务。分析变化和对应的数学思想，通过另两个例子加深对同一问题中两变量的变化和对应关系的理解，同时又渗透了函数的三种表示法。

在教学设计上，我是已五个活动为载体，在活动中生成概念，在活动中感悟概念，在活动中应用概念，和学生的所有交流都是在自然中进行的。对于五个活动的设计，我注重了活动的目的性、活动的层次性、活动的思维性。在具体的教学过程中，我遵循由感性到理性，由具体到抽象的认识过程，启发学生审清题意，明确题中的各量的含义，在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注

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重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动学生的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。

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