中考数学--整体思想练习

中考数学专项讲解 整体思想

知识梳理

整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．

典型例题

一、在数与式的运算中的应用

【例1】 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则x2?【分析】 如果根据题意直接求出x再代入到x?24x?6的值为 ( ) 3 A．18 B．12 C．9 D．7

4x?6中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考3442虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是x?x的3倍，所以可以将x2?x看作一个整体，则

334x2?x?6?1?6?7．

3【解】D

此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值

a?1?a?4?a?2?，其中a满足a2－2a－1=0． ?2??2?a?2aa?4a?4?a?21，如果把a求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a2－2a2a?2a1看成一个整体，则由已知可得a2－2a=1，所以原式=2?1．

a?2a【分析】 对分式进行化筒结果为

?a?2a?1?a?4a?4a?21【解】原式=? ???????a?a?2??a?2?2?a?2a?a?2?2a?4a2?2a??1当a2－2a=1时，原式=2?1．

a?2a

【例2】计算：??1111??1111????…?1????…????? 23420082342007????1?? 2007?1??111?1111????…+?????? 2008??234?234【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”．

1

【解】设：

11111111???…+?a，???…+?b， 234200823420071则原式=a(1+b)－(1+a)b=a－b=．

2008二、在方程中的应用

【例3】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支

圆珠笔、4本日记本需__________元．

【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为x元，y元，根据题意得方程组：??2x?y?4，如果解出x和

?x?2y?5y再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元． 【解】D

【例4】(08苏州)解方程：

2?x?1?x22?x?1?6?0． x【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程．

x?13?t，则原方程可化为2t2+t－6=0，解方程得：t1=－2，t2?， x211?x1??，x2=2，经检验x1??，x2=2是原方程的解．

33【解】 设

三、在几何计算中的应用

【例5】如图⊙A，⊙B，⊙C

( )

两两不相交，且半径都是0．5 cm，则图中的阴影部分的面积是

A．

?2???cm B．cm2 C．cm2 D．cm2 12846【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5 cm的半圆的面积，即??0.5?【答案】B

21??cm2．选择B． 28

2

综合训练

1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8

2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为 ( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0 3．当x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式ax3+bx+7的值为 A．7 B．10 C．11 D．12 ( ) 4．若方程组??3x?6y?k?1的解x，y满足0

x?3y?3? A．－4－4 5．(08芜湖)已知

112x?14xy?2y的值为_________． ??3，则代数式

xyx?2xy?y 6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则x?1=__________． x7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．

8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．

9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．

10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．

3

11．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是________．

12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．

13．(08烟台)已知x(x－1)－(x2－y)=－3，求x2+y2－2xy的值．

14．(07泰州)先化简，再求值：

?a2?41?2??，其中a是方程x2+3x+1=0的根． ?2?2?a?4a?42?a?a?2a

15．阅读材料，解答问题．

为了解方程(x2－1) 2－5(x2－1)+4=0．我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1=

y，则原方程可化为y2－5y+4=0①．解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2－1=1，?x2=2，?x??2；当y=4时，x2－1=4，?x2=5，?x??5．?x1? 解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；

(2)用上述方法解方程：x4－x2－6=0．

4

2，x2??2，x3?5，x4??5．

参考答案

1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+2?23 9．49 10．2? 11．

? 12．5 2??a?2??a?2?1?a?a?2??a?21?a?a?2?14．解：原式=? ????????2a?22a?2a?22??????a?2???a?a?3?2?12?a?3a? 2 13．原题化简得x－y=3，?x2+y2－2xy=(x－y) 2=32=9．

?a是方程x2+3x+1=0的根，?a2+3a+1=0，?a2+3a=－1，?原式=－ 15．(1)换元 整体

(2)设x2=y则原方程可化为y2－y－6=0，解得y1=3，y2=－2<0(舍去) ?当y=3时，x2=3，?x??3．原方程的解为x??3．

1． 2 5

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