判定二次函数中的a,b,c

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二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号

（1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ；

0

当b a ,同号时?对称轴在y 轴 ；0=b ?对称轴为 ；b a ,异号

?对称轴在y 轴 ，简称为 ．

（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点．

一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．

例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号

（1）a ＋b ＋c_______0（2

）a －b ＋c_______0 （

3）2a －b _______0（4）4a ＋

2b ＋c_______0 二、通过a ，b ，c

，△的符号判断抛物线的位置：

例1．若0,0,0<>

例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

+bx+c 经过 象限． 例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac 0 例4． 如果函数y=kx+b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx 2+bx-1的大致图象是（ ）

x

x

x

x

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1．若抛物线y=ax 2

+bx+c 开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限． 2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列条件不正确的是( )

A 、0,0,0<>

B 、042

<-ac b C 、0<++c b a D 、0>+-c b a

3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点??

?

??-+b ac ac b b a ,42

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

4．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数

c ax y +=( )

5．二次函数

y=ax 2+bx+c ()0≠a 的图象，如图，下列结论①

0b ③024>++c b a ④()2

2

b c a <+其中正确的有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

6．已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数c b a ,,有下列不等式①0c ④02<+b a ⑤0>++c b a 其中正确个数为 ．

7．已知直线y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线

2

y ax bx =+一定经过（ ）

A ．第一、二、四象限

B ．第一、二、三象限

C ．第一、二象限

D ．第三、四象限

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8. 如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2-3x ＋a 2-1的图象，那么a 的值是__．

9. 若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______

若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______

10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下

列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c=2；21>

a ③；④

b ＜1．其中正确的结论是( )

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

11.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

12. 二次函数y ＝ax 2 －2x －1与x 轴有交点，则k 的取值范围________。

13.（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c>1

（3）2a －b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误．．

的有A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．1个

【答案】D

14. （2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax 2轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12?? ???，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

15.（2010年杭州月考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)

的图象如图所示，给出以下结论：①0

数有最大值。③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. ④

024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）

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A.1

B.2

C.3

D.4

解：根据函数图象，：a＜0，c＞0，对称轴x=1，b＞0，与x轴交于（-1，0）（3，0）两点．

①abc＜0，正确；

②当x=1时，函数有最大值，正确；

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，正确；

④当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；

答案：C

16.（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）Array

A、4个

B、3个

C、2个

D、1个

解：①：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，

∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=-b/2a＞0，

又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故本选项错误；

②∵对称轴为x=-b/2a＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0；故本选项正确；

③根据图示知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；

④由图可知当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a+c＜b＞0，即不确定a+c＜0；故本选项错误；

综上所述，②③共有2个正确．

故选C．

图1

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x 图1

的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；

③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确

的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

【答案】①③．

解: ①当x=1，∴a+b+c=0，所以 ①a+b+c=0正确，

②由对称轴x=-b/ 2a =－1，得 b=2a 所以②b ＞2a 错误。

③由对称轴x=－1和与x 轴交点是1，得与x 轴另一个交点是－3 ，③正确。 ④当x=-2，得4a-2b+c<0 ， (a-2b+c)+3a<0 a ＞0 所以④a-2b+c ＞0错误。

19. 二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①a+b+c ＜0；②a-b+c ＞0；③abc ＞0；④b=2a

A.4

B.3

C.2

D.1

解: ①当x=1，∴a+b+c ＜0，所以①a+b+c ＜0正确，

②当x=-1，∴a-b+c ＞0，所以②a-b+c ＞0正确

②由对称轴x=-b/ 2a =－1，得 b=2a 所以②b ＞2a ③a ＜0，c ＞0，得b ＜0，所以abc ＞0，所以③abc ＞0

④由对称轴x=－1即-b/2a=-1，得b=2a ，所以④b=2正确。 当

x=-2 ，得4a-2b+c<0 ， (a-2b+c)+3a<0 a ＞0 所以④a-2b+c ＞0错误。

20、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，那么下列判断正确的是 。①abc ＞0； ②b 2-4ac ＞0，③2a+b ＞0； ④4a-2b+c ＜0

解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴c＜0，

所以b ＜0，所以①abc ＞0正确。

②抛物线与x 轴有两个交点，所以②b 2-4ac ＞0正确

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③∵对称轴为-b/2a＜1，a＞0，∴-b＜2a，

∴2a+b＞0；所以③2a+b＞0正确

④当x=-2时，4a-2b+c＞0，所以④4a-2b+c＜0错

故填①②③

21.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0其中正确结论的个数为（）

A、4个

B、3个

C、2

个D、1个

解：①：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，

∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=-b/2a＞0，

又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故本选项错误；

②∵对称轴为x=-b/2a＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0；故本选项正确；

③根据图示知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；

④由图可知当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a+c＜b＞0，即不确定a+c＜0；

故本选项错误；

综上所述，②③共有2个正确．

故选C．

22.(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a ＜b．其中正确结论是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

解：①∵抛物线与x轴的交点为(-3，0)和（1,0）

所以抛物线与x轴有两个交点∴b2-4ac＞0①正确

②因为抛物线的对称轴是x=-1所以-b/2a＜1

∴-b＞2a（∵a<0）∴2a+b＜0 ∴②错误

③∵x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0∴③错误

④∵对称轴是x=-b/2a=-1∴b=2a即2a=b

∴5a-b=5a-2a=3a<0∴5a＜b∴④正确

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答案 为①④

23.(2006武汉)已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0＜x 1＜1，下列结论：①9a -3b+c ＞0；②b＜a ；

③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

解：①当x ＝－3时，得9a －3b ＋c ＞0，

所以①9a-3b+c ＞0正确。 ②对称轴－b 2a

=-1，即b=2a ，， a>0 即 b>a ， 所以②b ＜a 错误。

③当x ＝1时，得 a ＋b ＋c ＞0， 对称轴－b 2a

=-1，即b=2a ， 得a ＋2a ＋c ＞0，即：3a ＋c ＞0。所以③3a+c ＞0正确。

因此选C 。

24.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0） 对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ）

解: ①图像对称轴对称轴－b 2a

=1，即b=-2a ，所以①错 ②a ＞0，c ＞0，b ＜0，即abc ＜0，所以②正确

③当x=－

12时，(－12)2a －12

b+c ＜0，即③a﹣2b+4c ＜0正确 ④x 1×x 2=c a =-3 ，即c=-3a ，所以8a+c=8a-3a=5a ＞0，所以④正确。

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