实验四 信号抽样与调制解调

实验四信号抽样与调制解调

一、实验目的

1、进一步理解信号的抽样及抽样定理； 2、进一步掌握抽样信号的频谱分析；

3、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理； 4、掌握傅里叶变换在信号调制与解调中的应用。

基本要求：掌握并理解“抽样”的概念，理解抽样信号的频谱特征。深刻理解抽样定理及其重要意义。一般理解信号重建的物理过程以及内插公式所描述的信号重建原理。理解频率混叠的概念。理解调制与解调的基本概念，理解信号调制过程中的频谱搬移。掌握利用MATLAB仿真正弦幅度调制与解调的方法。

二、实验原理及方法 1、信号的抽样及抽样定理

抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离散时间序列（Discrete-time sequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的数字信号（Digital Signal）。今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digital system）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信号（Analog signal）。为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号，为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑滤波（Smoothing）。图4.1展示了信号抽样与信号重建的整个过程。 Antialiasing filter xa(t)Sampler/ Holder A/D convertor Digital Processor D/A convertor Antialiasing filter y(t)p(t)图4.1 模拟信号的数字处理过程

图4.2给出了信号理想抽样的原理图：

x(t)?p(t)xs(t)X(j?)???m?m(a)

(b)

图4.2 (a) 抽样原理图，(b) 带限信号的频谱

上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（Bandlimited Signal），其频率范围为，其数学表达式为： ??m~?m，抽样脉冲为理想单位冲激串（Unit Impulse Train）

p(t)???(t?nTs) 4.1

???由图可见，模拟信号x(t)经抽样后，得到已抽样信号（Sampled Signal）xs(t)，且：

xs(t)?x(t)p(t) 4.2

将p(t)的数学表达式代入上式得到：

xs(t)??x(nTs)?(t?nTs) 4.3

???显然，已抽样信号xs(t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x(nTs) 加权了。 从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：

F{p(t)}??s??(??n?s) 4.4

???根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以，已抽样信号xs(t)的傅里叶变换为：

1Xs(j?)?Tsn????X(j(??n?)) 4.5

s?表达式4.5告诉我们，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(j?)，则已抽样信号xs(t) 的傅里叶变换Xs(j?)等于无穷多个加权的移位的X(j?)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率?s为周期进行周期复制的结果。如图4.3所示：

x(t)X(j?)tp(t)??M?M??st1/Ts??sP(j?)Tsxs(t)?sXs(j?)?t图4.3 信号抽样及其频谱图

?

由图可见，如果抽样频率不小于信号带宽的2倍时，xs(t) 的频谱中，X(j?)的各个复制品之间没有混叠（Aliasing），因此，可以用一个理想低通滤波器来恢复原始信号。由抽样信号恢复原来的原始信号的过程称为信号的重建( Reconstruction )。反之，如果抽样频率小于信号带宽的2倍时，xs(t) 的频谱中，X(j?)的各个复制品之间的距离（也就是?s）太近，所以必将造成频谱之间的混叠，在这种情况下，是无论如何也无法恢复出原来的连续时间信号的。

由此，我们得出下面的结论：当抽样频率?s>2?M时，将原连续时间信号x(t)抽样而得到的离散时间序列x[n]可以唯一地代表原连续时间信号，或者说，原连续时间信号x(t)可以完全由x[n]唯一地恢复。

以上讨论的是理想抽样的情形，由于理想冲激串是无法实现的，因此，这种理想抽样过程，只能用来在理论上进行抽样过程的分析。在实际抽样中，抽样往往是用一个A/D转换器实现的。一片A/D转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。模拟信号经过A/D转换器后，A/D转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号，而不再是冲激串了。

A/D转换器的示意图如图4.4所示。

Sampler x(t)Holder Quantizer x[n]p(t)Ts图4.4 A/D转换器示意图

上述的实际抽样过程，很容易用简单的数学公式来描述。设连续时间信号用x(t)表示，抽样周期（Sampling Period）为Ts，抽样频率（Sampling Frequency）为?s，则已抽样信号的数学表达式为

x[n]?x(t)t?nTs?x(nTs) 4.6

在MATLAB中，对信号抽样的仿真，实际上就是完成式4.6的计算。下面给出一个例题和相应的范例程序，来实现信号抽样的仿真运算。

例题4.1设连续时间信号为一个正弦信号 x(t) = cos(0.5πt)，抽样周期为Ts = 1/4秒，编程

序绘制信号x(t)和已抽样信号x[n]的波形图。

范例程序Sampling如下：

% Sampling clear,close all, t = 0:0.01:10;

Ts = 1/4; % Sampling period

n = 0:Ts:10; % Make the time variable to be discrete x = cos(0.5*pi*t);

xn = cos(0.5*pi*n); % Sampling subplot(221)

plot(t,x),title('A continuous-time signal x(t)'),xlabel('Time t') subplot(222)

stem(n,xn,'.'),title('The sampled version x[n] of x(t)'),xlabel('Time index n') 执行该程序后，得到的波形图如图4.5所示。

图4.5 连续时间信号及其抽样后的离散时间序列

在这个范例程序中，先将连续时间t进行离散化，使之成为以Ts = 1/4秒的离散时间n，然后，将n代入到信号x(t) 的数学表达式中计算，就完成了抽样过程，且得到了抽样后的离散时间序列x[n]。

2、信号抽样过程中的频谱混叠

为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象，或者混叠程度有多么严重，有必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。

根据式4.5可计算出已抽样信号的频谱。下面给出的范例程序Program4_1就是按照式4.5进行计算的。其中，主要利用了一个for循环程序完成周期延拓运算。

% Program4_1 clear,close all,

tmax = 4;dt = 0.01; t = 0:dt:tmax; Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts;

w0 = 20*pi; dw = 0.1; w = -w0:dw:w0; n = 0:1:tmax/Ts; x = exp(-4*t).*u(t); xn = exp(-4*n*Ts); subplot(221)

plot(t,x),title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t'),axis([0,tmax,0,1]), grid on subplot(223)

stem(n,xn,'.'),title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n'),axis([0,tmax/Ts,0,1]), grid on Xa = x*exp(-j*t'*w)*dt; X = 0;

for k = -8:8;

X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt; end

subplot(222)

plot(w,abs(Xa))

title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) subplot(224) plot(w,abs(X))

title('Magnitude spectrum of x[n]'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))])

本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下，已抽样信号的频谱的混叠程度，从而更加牢固地理解抽样定理。但是，提请注意的是，在for循环程序段中，计算已抽样信号的频谱X 时，没有乘以系数1/Ts，是为了便于比较X与Xa之间的区别，从而方便观察频谱的混叠程度。另外，程序中的时间步长dt的选择应该与抽样周期Ts保持一定的比例关系，建议Ts不应小于10dt，否则，计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。

3、信号重建

如果满足抽样定理，那么，我们就可以唯一地由已抽样信号x[n] 恢复出原连续时间信号x(t)。在理想情况下，可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器，图4.6给出了理想情况下信号重建的原理示意图。

x(t)?xp(t)Ideal Lowpass Filter xr(t)p(t)图4.6 信号重建原理图

理想低通滤波器也称重建滤波器，它的单位冲激响应

?cTsin(?ct)h(t)? 4.7

??ct已抽样信号xp(t)的数学表达式为：xp(t)?卷积表达式，我们有

?x(nT)?(t?nT)，根据系统输入输出的

???xr(t)?xp(t)?h(t) 4.8

将xp(t)代入式4.8，有

xr(t)?n?????x(nT)?cTsin(?c(t?nT)) 4.9

??c(t?nT)这个公式称为内插公式（Interpolation Formula），该公式的推导详见教材，请注意复

习有关内容。须提请注意的是，这里的内插公式是基于重建滤波器为理想低通滤波器的。若重建滤波器不是理想低通滤波器，则不能用这个内插公式。理想低通滤波器的频率响应特性曲线和其单位冲激响应曲线如图4.7所示。

H(j?)Th(t)T?c???c?c?t图4.7 理想低通滤波器的幅度频率响应和单位冲激响应

范例程序程序Program4_2就是根据这个内插公式来重构原始信号。本程序已经做了较为详细的注释，请结合教材中的内插公式仔细阅读本程序，然后执行，以掌握和理解信号重建的基本原理。范例程序Program4_2如下。

% Program4_2

% Signal sampling and reconstruction

% The original signal is the raised cosin signal: x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)]. clear;close all,

wm = 2*pi; % The highest frequency of x(t) a = input('Type in the frequency rate ws/wm=:'); % ws is the sampling frequency wc =wm; % The cutoff frequency of the ideal lowpass filter t0 = 2;t = -t0:0.01:t0;

x = (1+cos(pi*t)).*(u(t+1)-u(t-1));

subplot(221); % Plot the original signal x(t) plot(t,x); grid on, axis([-2,2,-0.5,2.5]); title('Original signal x(t)');xlabel('Time t');

ws = a*wm; % Sampling frequency Ts = 2*pi/ws; % Sampling period

N = fix(t0/Ts); % Determine the number of samplers n = -N:N;

nTs = n*Ts; % The discrete time variable xs = (1+cos(pi*nTs)).*(u(nTs+1)-u(nTs-1)); % The sampled version of x(t) subplot(2,2,2) % Plot xs

stem(n,xs,'.'); xlabel('Time index n'); grid on, title('Sampled version x[n]');

xr = zeros(1,length(t)); % Specify a memory to save the reconstructed signal L = length(-N:N); xa = xr;

figure(2); % Open a new figure window to see the demo of signal

reconstruction

stem(nTs,xs,'.'); xlabel('Time index n'); grid on;hold on for i = 1:L

m = (L-1)/2+1-i;

xa = Ts*(wc)*xs(i)*sinc((wc)*(t+m*Ts)/pi)/pi; plot(t,xa,'b:');axis([-2,2,-0.5,2.5]);hold on pause

xr = xr+xa; % Interpolation

end

plot(t,xr,'r');axis([-2,2,-0.5,2.5]);hold on figure(1); subplot(223)

plot(t,xr,'r');axis([-2,2,-0.5,2.5]); xlabel('Time t');grid on

title('Reconstructed signal xr(t)');

% Compute the error between the reconstructed signal and the original signal error = abs(xr-x); subplot(2,2,4)

plot(t,error);grid on

title('Error');xlabel('Time t')

4、调制与解调

在通信系统（Communication system）中，信号在传输之前，往往需要先对它进行调制（Modulation），然后才能发射出去。在接收端，还要进行解调（Demodulation），才能恢复原信号。在实际应用中，有多种调制方法，在信号与系统中，仅介绍了模拟调制中的正弦幅度调制（Sinusoidal amplitude modulation）。正弦幅度调制就是利用高频正弦信号的幅度携带调制信号x(t)，也就是使高频正弦信号的幅度随调制信号的变化而变化。正弦调制的解调分为同步解调（Synchronous demodulation）和异步解调（Asychronous demodulation），调制与解调的原理框图如图4.8所示。

图中，需要传输的信号称为调制信号（Modulating signal），频率为?c的正弦信号称为载波（Carrier），?c称为载频，调制器的输出信号称为已调信号（Modulated signal）。

正弦幅度调制的基本原理，就是将调制信号与一个高频正弦载波相乘，从而将调制信号的频谱搬移到较高的频段上，以利于发射传输。

x(t)?(a)

y(t)x(t)cos(?ct)?Lowpass filter x(t)c(t)?cos(?ct)c(t)?cos(?ct)

(b)

图4.8 正弦幅度调制与解调 (a) 调制 (b) 同步解调

下面，我们回顾一下调制与解调过程中的时域和频域的有关情况。从时域上看，已调信号的数学表达式为

y(t)?x(t)cos(?ct) 4.10

调制信号x(t)、载波c(t)和已调信号y(t)的波形如图4.9所示

图4.9 正弦幅度调制中信号的波形

从频域上看，假设调制信号是一个带限信号，其频谱用X(j?) 表示，而正弦载波cos(?ct) 的频谱C(j?) 由两个冲激构成，即

C(j?)??[?(???c)??(???c)] 4.11

根据傅里叶变换的频域卷积定理可知，已调信号的频谱为

Y(j?)?即

1X(j?)?C(j?)] 4.12 2?1Y(j?)?[X(j(???c))?X(j(???c)] 4.13

2式4.13说明，已调信号的频谱由两个移位的X(j?)构成，位移量为±?c。图4.10示出了调制过程中各信号的频谱图。

X(j?)从已调信号的频谱上看，我们发现，调制信号为低通

信号（Lowpass signal），其带宽（Bandwidth）为?M，而已调信号则变成了一个带宽为2?M的带通信号（Bandpass ??M?Msignal）。这表明，通过调制，信号在传输过程中，与不调

C(j?)制而直接传输相比，需要占居更宽的信道（Channel）带宽。

?从图4.8可以看出，同步解调的原理类似于调制原理，

只是在乘法器（Multiplier）后面接了一个低通滤波器，请

?c??c同学们参看教材中的相关内容，自行分析同步解调的原理，

并绘制出同步解调过程中各信号的频谱图。

??1/2Y(j?)?图4.10 调制过程中各信号的频谱图

5、通信系统中的调制与解调仿真

本实验室利用MATALAB对通信系统中的调制与解调、滤波等进行仿真。具体方法简述如下：

1、在命令窗口键入simulink然后按回车键，这时屏幕上将出现一个新界面：

Simulink Library Browser 界面。

2、新建仿真系统图：

第一步：单击左上角的新建按钮，将在屏幕右部出现建模窗口；

第二步：建立仿真系统的系统函数。单击continuous模块，选择系统函数功能框，将它拖放到空白图面上，然后双击该功能框，又出现参数选择对话框，在该框中设定好仿真系统（滤波器）的参数。如果仿真模型中需要多个系统函数功能框图，可重复第二步；

第三步：选择信号源。单击Sources模块，选择需要的信号源拖放到模型图中，然后双击已设定适当的参数；

第四步：选择信号之间的运算单元，如加法器，乘法器（调制器）等。单击Math Operations 模块，选择所需的运算单元，拖放到模型图中并双击加以设定；

第五步：选择显示器，通常选择示波器。单击Sinks模块，并拖放到模型图中；双击加以设定；

第六步：将模型图中的所有元件调整好位置，然后进行连接。

3、选择仿真时间，单击模型图上部的Simulation菜单，选中Simulation Parameters子菜单设定方针的起止时间，如不设定，则系统默认的起止时间为0~10s。 4、单击运行按钮开始仿真，双击示波器即可看到仿真结果。

三、实验内容及步骤

实验前，必须首先阅读本实验原理，了解所给的MATLAB相关函数，读懂所给出的全部范例程序。实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。并结合范例程序所完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序的编程算法。

实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。

Q4-1 给范例程序Program4_1加注释。

Q4-2 范例程序Program4_1中的连续时间信号x(t) 是什么信号？它的数学表达式为：

Q4-3 在1/2—1/10之间选择若干个不同Ts值，反复执行执行范例程序Program4_1，保

存执行程序所得到的图形。

Ts = 1/2时的信号时域波形和频谱图

Ts = 1/4时的信号时域波形和频谱图

Ts = 1/8时的信号时域波形和频谱图

根据上面的三幅图形，作一个关于抽样频率是怎样影响已抽样信号频谱的小结。 答：

程序Program4_1中的连续信号是否是带限信号？如果不是带限信号，是否可以选择一个抽

样频率能够完全消除已抽样信号中的频谱的混叠？如果不是带限信号，那么，这个连续时间信号在抽样前必须滤波，请你选择一个较为合适的频率作为防混叠滤波器的截止频率，你选择的这个截止频率是多少？说明你的理由。

答：

Q4-4 请手工计算升余弦信号x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)]的傅里叶变换的数学表达

式，手工绘制其幅度频谱图。

计算过程：

手工绘制的升余弦信号x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)]的幅度频谱图

从上图的幅度频谱上看，升余弦信号是否是带限信号？能否近似将它看作是一个带限信号？

如果可以，那么，估计信号的最高频率大约是多少？

答：

Q4-5 阅读范例程序Program4_2，在这个程序中，选择的信号的最高频率是多少？这个频

率选择得是否恰当？为什么？

答：

Q4-6 在1—8之间选择抽样频率与信号最高频率之比，即程序Program4_2中的a值，反

复执行范例程序Program4_2，观察重建信号与原信号之间的误差，通过对误差的分析，说明对于带限信号而言，抽样频率越高，则频谱混叠是否越小？

答：

Q4-7 图Q4-7是一个RLC串联电路，在有些场合，可以把它用来作为一个滤波器使用，

如果选择不同的位置的信号作为输出信号，该电路具有不同的滤波特性。该电路的输出信号分别为y1(t)、y2(t)和y3(t)时，电路的输入输出微分方程和频率响应的数学表达式分别形如：

???选择y1(t)为输出信号时（可将电路看成系统1）

d2y1(t)dy1(t)22?2????ny1(t)??nx(t) 微分方程为n2dtdtR y3(t)???频率响应为H(j?)? 2(j?)2?2??n(j?)??n2nx(t)L y2(t)??选择y2(t)为输出信号时（可将电路看成系统2）

d2y2(t)dy2(t)d2x(t)2?2??n??ny2(t)?微分方程为 22dtdtdtC y1(t)???图Q4-7 RLC串联电路

(j?)2频率响应为H(j?)? 22(j?)?2??n(j?)??n选择y3(t)为输出信号时（可将电路看成系统3）

d2y3(t)dy3(t)dx(t)2?2????y(t)?2??微分方程为 nn3n2dtdtdt频率响应为H(j?)?2??n(j?) 22(j?)?2??n(j?)??n请写出上面的微分方程和频率响应表达式中的参数?、?n与R、L、C之间的数学关系。

Q4-8 编写程序Q4_8，能够接受从键盘输入的?、?n之值，计算并在同一个图形窗口的三

个子图中绘制出这三个频率响应特性曲线，要求每个子图有标题，绘制的频率范围为0—40弧度/秒。图形布置如图Q4-8所示。

图Q4-8 图形布置（zeta = ?， wn = ?n）

抄写程序Q4_8如下：

执行程序Q4_8，输入zeta = 0.7，wn = 15，在图形中的空白处，标上zeta 和wn之值，

如图Q4-8所示。保存所得到的图形如下。 zeta = 0.7，wn = 15时的频率响应曲线图

根据上面的图形，请说明系统1、系统2和系统3分别具有何种滤波特性？ 答：

固定zeta = 0.7，在2—30之间选择不同的wn值，反复执行程序Q4_8，保存zeta = 0.7，

wn = 5和zeta = 0.7，wn = 20所得到的两幅图形。根据执行程序所得到的系统频率响应的形状，说明wn的不同取值分别对系统1、系统2和系统3的滤波特性（从通频带的带宽、过渡带宽和截止频率等方面作说明）的影响。

zeta = 0.7，wn = 5时的频率响应曲线图

zeta = 0.7，wn = 20时的频率响应曲线图

答：

固定wn = 15，在0.2—1之间选择不同的zeta值，反复执行程序Q4_8，保存zeta = 0.4，

wn = 15和zeta = 0.8，wn = 15所得到的两幅图形。根据执行程序所得到的系统频率响应的形状，说明zeta的不同取值分别对系统1、系统2和系统3的滤波特性的影响。

zeta = 0.4，wn = 15时的频率响应曲线图

zeta = 0.8，wn = 15时的频率响应曲线图

答：

Q4-9调制与解调仿真实验。设调制信号为单频正弦信号x(t) = sin(t)，其角频率为1 rad/s，

载波为c(t) = cos(10t)，载频为10rad/s。

请按下面的图Q4-9建立仿真模型图：

图中共有三个信号源，其中：

Sin Wave为调制信号源即调制信号，可设定其频率为1 rad/s ；

Sin Wave1为载波信号，可设定其频率为30rad/s，Band-Limited White Noise为带限白噪声干扰信号，其频率可认为远大于1 rad/s；

Product和Product1分别为调制器和解调器，完成信号的乘法运算。

图Q4-9 信号的调制与解调仿真模型图

第一个乘法器之后的Transfer Fun是一个带通滤波器，数学模型可给定为：

H(j?)?2??n(j?) 22(j?)?2??n(j?)??n可以用Q4-7的RLC串联电路构成的系统3实现。

根据调制信号和载波的频率，以及实验结果，你认为图Q4-9中的带通滤波器的参数 ? 和

n

? 应该选择为：

wn = ? =

第二个乘法器之后的Transfer Fun是一个低通滤波器，设定其系统函数为：

2?n H(j?)?2(j?)2?2??n(j?)??n可以用Q4-7的RLC串联电路构成的系统1实现。

根据调制信号和载波的频率，以及实验结果，你认为图Q4-9中的低通滤波器的参数 ? 和

n

? 应该选择为：

wn = ? =

四、实验报告要求

1、按要求完整书写你所编写的全部MATLAB程序

2、详细记录实验过程中的有关信号波形图（存于自带的U盘中），图形要有明确的标题。全部的MATLAB图形应该用打印机打印，然后贴在本实验报告中的相应位置，禁止复印件。

3、实事求是地回答相关问题，严禁抄袭。

本实验完成时间：年月日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q2jt.html