2015数学基础教程线代部分答案及详解

2015年考研数学基础教程线性代数答案

第一章 行列式

【例1】计算下列行列式的值：

x 1 x

.

1x2+x+1

xx 1

【解】=(x 1)(x2+x+1) ( x)=x3+x 1. 2

x+x+11

【例2】计算下列行列式的值：

3478（1）

59111206010

（2）

0130144000561 2020077108209306703111222333888 （3） 87108209306705123406010

=0；

013014

3478

【解】（1）因第三列元素全为0，故

591240

（2）上三角行列式，故

00

561 20200

73

=40. 85

710820930670111222333888

=0. （3）因第1行与第3行的对应元素相同，故

710820930670123421

3 1

【例3】计算下列行列式的值：

1250

【解】

423611. 22

213 11250

423611

=0. 22

2

【例4】计算下列行列式的值：3

201 1

2928 . 1 95 5

1

2

200

1

2

1

1

【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质5计算比较

2

方便. 3

201 12200+1

2928=3300 88=33008+3 88 1 95 5 1 100+5 5 1 100 5 15 52

200

1

2

1

1

2

2

1

2

1 1

1

=33008+3 88=100 338+3 8+88 1 100 5 15 5 1 1 5 15 5 52

2

1

2

1 1

1

2

0 1

=100 338+3 8+88=100 0+308=0+0=0 1 1 5 15 5 5 10 5

a

00

【例5】n阶行列式

0bba0 000ba 00 00 00 00

=_____________________. ab 0a

【解】此n阶行列式第一列的n个元素中只有两个非零元素，所以将所给行列式按第一列

展开，得

a0

D=a

00ba 000b 00 00b 00a

+( 1)n+1b0 ab 0a00

ba 000b 0 00 00 00

ab

=a an 1+( 1)n+1b bn 1=an+( 1)n+1bn

1123

【例6】计算四阶行列式D=

49827

【解】由范德蒙行列式

111 4

.

1161 64

D=

122223

13111 4( 4)2( 4)3

32123313

=( 4 2)(1 2)(3 2)( 4 3)(1 3)( 4 1)

= 420.

【例7】计算四阶行列式

a13a12b1

D=

a1b12b133a22a2b2a2b22

3b23a32a3b3a3b32

3b33a42a4b4

（其中a1,a2,a3,a4均不为0） a4b42

3b4

【解】由范德蒙行列式

1b1a1

D=

3333a1a2a3a4

b1

a 1

3

b1 a 1

2

1b2a2 b2 a 2 b2 a 2

3

2

1b3a3

b3 a 3

3

b3 a 3

2

1b4a4 b4 a 4 b4 a 4

3

2

b1 b3b1 b4b1 b3b2 b4b2 b4b3 3333 b2

a2a3a4 =a1

a a a a a a a a a a a . a1 31 41 32 42 43 2

4

1

【例8】五阶行列式 D5=0

0041

【解】D5=4

00

于是

3410003410003410341

00

0 的值为_________. 34

00

=4D4 3D3 34

3

5

34100341030014

301400

2

D5 D4=3(D4 D3)=3(D3 D2)=3(D2 D1)=3

则 D5=D4+3=D3+3+3=D2+3+3+3=13+3+3+3=364 【例9】计算n阶行列式

5

4

5

3

4

5

3

4

5

011 112000Dn=10300

00 01000n

1

【解】Dn=2 3 4 n1

1

121000

121000

11

n3

000100 0 0001

11 3n000111

= (++ +)n! 10023n

0 0001

111 23n

(!)=n0

a1

【例10】四阶行列式

00b4

0a2b30

0b2a30

b1

的值等于( ) 0a4

（A）a1a2a3a4 b1b2b3b4 （B）a1a2a3a4+b1b2b3b4

（C）(a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)（D）(a2a3 b2b3)(a1a4 b1b4) 【解】应选D。解法一： 原式=

a1b4

b1a4

×( 1)

1+4+1+4

a2b3b2

=(a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3). a3

解法二：（特殊值法）令b1=0,可得(原式)D=a1a4(a2a3 b2b3).经比较，选项（A），（B）和（C）全错误，只有（D）正确。

解法三：也可以将行列式按第一行展开。但此法计算量略大些，请读者自己完成。 【例11】设多项式

a11+x

p(x)=

a12+xa13+xa14+x

a21+xa22+xa23+xa24+x

a31+xa32+xa33+xa34+xa41+xa42+xa43+xa44+x

则p(x)的次数至多是（ ）。

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

【解】应选取（A），将第1行的-1倍加到第2，3，4行上去，得

a11+x

a ap(x)=2111

a31 a11a41 a11

a12+xa22 a12a32 a12a42 a12

a13+xa23 a13a33 a13a43 a13

a14+xa24 a14

a34 a14a43 a14

再按第1行展开便知，p(x)至多是一次多项式，故选（A）。

123

【例12】计算行列式0

05中第一行各元素的余子式M11,M12,M13 和代数余子式

014

A11,A12,A13.

123

【解】在行列式0

05中，第一行的元素分别为a11=1,a12=2,a13=3.由余子式的定义014

可知，元素a11=1的余子式M11=

05

=0 4 5 1= 5，元素a11=1的代数余子式 14

05

A11=( 1)M11=M11==0 4 5 1= 5.

14

1+1

元素a12=2的余子式M12=

05

=0 4 5 0=0，元素a12=2的代数余子式 04

05

= (0 4 5 0)=0. 04

A12=( 1)1+2M12= M12=

元素a13=3的余子式M13=

00

=0，元素a13=3的代数余子式 0123423412

41

，求A11+A12+A13+A14. 22

12

【例13】设4阶行列式

32

【解】因为在A11+A12+A13+A14中，行列式第一行元素1,2,3,4的代数余子式

A11,A12,A13,A14前面的系数全为1，所以使用替换法计算A11+A12+A13+A14，即去掉

代数余子式A11,A12,A13,A14所在的第1行的所有元素1,2,3,4，换成代数余子式

A11,A12,A13,A14前面的系数1,1,1,1，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个

12

新的4阶行列式，即 A11+A12+A13+A14=

32

对应元素成比例）. 【例14】已知5阶行列式

a11a12a13222

D5=a31a32a33

111a51a52a53

1342141211

=0（由于第一行和第四行22

a141a342a54a151

a35=27，求：A41+A42+A43+A44+A45. 2a55

【解】将D5按第4行展开，得

D5=A41+A42+A43+2(A44+A45)=27……（1）

又将D5的第2行元素乘相应的第4行元素的代数余子式，得 2A41+2A42+2A43+(A44+A55)=0……（2）

联立（1），（2）得

2×(1)—（2）有 A44+A45=

54

=18， 3

27

= 9 3

2×(2)—（1）有 A41+A42+A43=

∴A41+A42+A43+A44+A45=18 9=9

【例15】设A为3×3矩阵，A= 2，把A按列分块为(A1,A2,A3)，其中Aj(j=1,2,3)是

A的第j列，则A3 2A1,3A2,A1= 。 【解】由行列式的性质知，

A3 2A2,3A2,A1=A3 3A2,A1+ 2A1,3A2,A1 = 3A1,A2,A3+0=( 3)( 2)=6

【例16】设n阶矩阵A=(α1,α2, ,αn)，B=(α1+α2,α2+α3, ,αn+α1)，其中

α1,α2, ,αn为n维列向量。已知行列式

【解】根据行列式的性质，得 B=α1+α2,α2+α3, ,αn+α1

A=a(a≠0)，求行列式B的值。

=1,α2+α3, ,αn+α1+2,α2+α3, ,αn+α1 =1,α2+α3, ,αn+2,α3, ,αn+α1

= =1,α2, ,αn+2,α3, ,αn+α1 =A+( 1)

n 1

1,α2, α3=

A+( 1)n 1A

2a若当n为奇数

=1+( 1)n 1a= .

O若当n为偶数

[]

【例17】若A是n阶方阵，且AAT=E，A= 1，证明A+E=0 . 【解】∵A+E=AT+E，又AAT=E，A= 1，

∴A+E=A+AAT=AAT+E=A (AT+E)T=A A+E= A+E ∴A+E=0.

第二章 矩阵

11

【例2.1】已知α=(1,2,3)，β=(1,,，设A=αTβ，则An=

23

1

11

【解】∵A=αβ= 2 (1,,，

3 23

T

11

∴An=ln 1A，其中l=1 1+2 +3 =3.

23

1

1 11nn 1n 1n 1 2于是 A=3A=3 2 (1,,=3

23 3

3

12132

1 3 2 . 3 1

【例2.2】设A为n阶非零矩阵，证明当A =AT时，A可逆。

A11 A

【解】由于A = 12

A 1n

A21A22 A2n

An1 a11

An2 a12

= Ann a1n

a21a22 a2n

an1

an2

=AT ann

∴aij=Aij。已知A是n阶非零矩阵，不妨设a11≠0，则

222

A=a11A11+a12A12+ +a1nA1n=a11+a12+ +a1n>0，∴A可逆。

（1）常数a≠0 【例2.3】设n阶可逆矩阵A中每行元素之和均为常数a。证明：

（2）A 1的每行元素之和均为a 1。

a11

【解】设A= a21

a n1

a12a22an2

a1n

a2n ∵ai1+ai2+ +ain=a， ann

1 a11+a12+ +a1n a

1 a21+a22+ +a2n a ∴A = = .

1 a+a+ +a a

n2nn n1

1 0 1 0

（1）反证之，假设a=0，则A = ，由已知A可逆.

1 0

1 0 0 1 0 0

∴ =A 1 = 矛盾∴a≠0.

1 0 0 1 a 1 1 1 1 1

111 1 a 1 1 1

（2）又∵A = =a ，∴ =aA 1 即A 1 = .

a 1 a 1 1 1 1 1

∴A 1的每行元素之和均为a 1

【例2.4】 设A、B均为n阶方阵，且AB=A B。

（2）AB=BA. 证明：（1）(A+E) 1=E B；

【解】（1）∵(A+E)(E B)=A AB+E B

=A (A B)+E B=E

∴由定义，(A+E) 1=E B .

（2）由（1）知

E=(A+E) 1 (A+E)=(E B) (A+E)=A+E BA B

=(A B) BA+E=AB BA+E， 于是，两边消去E得AB=BA。

【例2.5】设A是n阶方阵，且A3=0，则（ ） （A）A不可逆，且E A不可逆； （B）A可逆，但E+A不可逆；

（C）A2 A+E及A2+A+E均可逆； （D）A不可逆，且必有A=0. 【解】应选（C）。

∵A3=0 ∴A=0 ∴A=0，A不可逆，

3

2

又∵E=E3=E3+A3 A3=(E A)(A2 A+E)， ∴E+A与A2 A+E均可逆。

同理：∵E=E3=E3 A3=(E A)(A2+A+E)，

∴E-A与A2+A+E均可逆。

因此，选（C）。同时，（D）不成立。例如：

001 010

2

令A= 001 ，则有A= 000 ≠0，但A3=0.

000 000

100

【例2.6】设矩阵A、B满足A BA=2BA 8E，其中A= 0 20 ，E为单位矩阵，A 为A

001

的伴随矩阵，则B=__________。

【解】∵A BA=2BA 8E，右乘A 1，∴A B=2B 8A 1,

左乘A，得AA B=2AB 8AA 1.∵AA =AE，∴AB=2AB 8E. 而A= 2 即 2B=2AB 8E，2AB+2B=8E， ∴(2A+2E)B=8E，(A+E)B=4E.

2

=4 1 2

1

∴B=4(A+E) 1

1

2=4

2

1= 4 .

1 2

2

【例2.7】

【解】

AO

分块矩阵C= 【例2.8】设A、B为n阶矩阵，A ,B 分别为A、B对应的伴随矩阵， OB ，

则C的伴随矩阵C =（ ）。

AA （A）

O AB

（C）

O

O BB O BA

AOO

B

BB

（B）

O BA

（D）

O

O AA O AB

【解】∵CC =CE=

E，∴可由上式逐一检验，符合者即为正确答案。现检查（D）。

O = BAA

AB O

BA AO ∵CC= O OB

EO

=AB OE ABE O

=AB E ，∴选（D）.

但这种方法太烦琐，因此作为选择题，可以采取下列简便方法：即加强条件，令A、B均

为

可

逆

矩

阵

，

则

O

A =AA 1

，

O .

AB

B =BB 1

，

C=CC

1

A 1

=AB O

BAA 1O = OB 1 BA

= 1 ABB O

【例2.9】设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行与第j行对调后得到的矩阵记为B，证明B

可逆，并求AB 1。

【解】∵A可逆， ∴A≠0，∴B= A≠0，B可逆。

若用Eij表示将单位矩阵E的第i行与j行对调后得到的初等矩阵，则有B=EijA，而

1

Eij=Eij，

∴AB 1=A(EijA) 1=A A 1(Eij) 1=(Eij) 1=Eij.

a11

a

【例2.10】设A= 21

a 31 a 41

0 0P1=

0 1

01000010

a12a22a32a42a13a23a33a43a14 a14

a24 a24

，B= aa34 34 a4a44 0100

a13a23a33a43a12a22a32a42a11 a21

a31 a41

1 10

0 00，P=2 010 000 0

0

，其中A可逆，则B 1等于（ ） 0 1

（A）A 1P1P2 （B）P1A 1P2 （C）P1P2A 1（D）P2A 1P1 【解】应选（C）。将A、B两矩阵进行对比。

∵矩阵B是由A交换第2，3列，且交换第1，4列而得到的。即B=AP1P2 （或B=AP1P2），

而P1，P2均为初等矩阵，且P1 1=P1,P2 1=P2. ∴B 1=(AP2P1) 1=P1 1P2 1A 1=P1P2A 1，∴选（C）. 又∵B=AP1P2，∴B 1=(AP1P2) 1=P2 1P1 1A 1=P2P1A 1.

1

∵P1P2=P2P1，∴B′=P2P1A，选（C）也正确。

102

【例2.11】设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2,而B=020,则r(AB)=。 103 12 2

,B为3阶非零矩阵,且AB=O,则t=。

【例2.12】设A=4t3

3 11 由AB=O知,秩(A)+秩(B)≤3.因此 [解] B是非零矩阵，秩(B)≥1.

秩(A)≤3-秩(B)≤3-1=2.

由此得知|A|=0.

12 2700

0=4t3 1

3r1+2r34t3=7(t+3),故t= 3. 13 11

第三章 向量

【例3.1】设3(α1 α)+2(α2+α)=5(α3+α)，其中α1=(2,

5,1,3),

α2=(10,1,5,10)，α3=(4,1, 1,1)，求向量α.

【解】由已知，3(α1 α)+2(α2+α)=5(α3+α)，所以

α=(3α1+2α2 5α3)=[3(2,5,1,3)+2(10,1,5,10)-5(4,1, 1,1)]

=(1,2,3,4)

【例3.2】设v1=(1,1,

1

616

0)，v2=(0,1,1)，v3=(3,4,0)，求它们的线性组合

3v1+2v2 v3.

【解】3v1+2v2 v3=(0,1,【例3.3】已知

2).

T

T

T

β=(1,2,t)不能由α1=(2,1,1)，α2=( 1,2,7)，

T

α3=(1, 1, 4)线性表示，求t的值.

【解】t≠5. 【例3.4】设向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则在下列向量组中，线性无关的向量组是（ ）。

（A）α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1 （B）α1+α2，α2+α3，α3+α1

（C）α1 α2，α2 α3，α3 α4，α4 α1 （D）α1 α2，α2 α3，α3 α1

【解】由观察法可知： 对于（A），(α1+α2) (α2+α3)+(α3+α4) (α4+α1)=0，线性相关； 对于（C），(α1 α2)+(α2 α3)+(α3 α4)+(α4 α1)=0，线性相关； 对于（D），(α1 α2)+(α2 α3)+(α3 α1)=0，线性相关。 ∴由排除法可知应选（B）。 【例3.5】已知向量组α1=(1,

T

0,5,2)，α2=(2,1,2, 1)，

T

TT

α3=(1, 1,a, 2)，α4=( 2,1, 4,1)线性相关，则a=________.

【解】2/5.

【例3.6】已知向量组α1=(1,

T

3,6,2)，α2=(3, 2,3, 4)，

TT

α3=( 1,1,t,3)线性无关，则必有（ ）

（A）t=2（B）t=1（C）t= 2（D）t为任何实数

【解】选项(D)正确. 【例3.7】已知向量组α1=(1,

T

0,2,3)，α2=(1,1,3,a)，

T

TT

α3=(1, 1,1,1)，α4=(1,2,6,7).问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相

关，并求它的一个最大线性无关组.

【解】当a=5时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，它的一个最大线性无关组是α1,α2,α4.

【例3.8】设向量组I：α1,α2, ,αr可由向量组Ⅱ：β1,β2, ,βs线性表示，则（ ）。

（A）当r<s时，向量组Ⅱ必线性相关；

（B）当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关； （C）当r<s时，向量组I必线性相关；

（D）r>s时，向量组I必线性相关。

【解】本题是一道将已知定理，性质改造成的选择题。由上述关系2知，直接选（D）.如果

定理记不清楚，也可以通过构造适当的反例用排除法找到正确选项。

0 1 0 ==ββ, , 例如，令α1= 2 0 1 0 1 ，则α1=0 β1+0 β2，但β1,β2 线性无关，排

0 1 1

除（A）；再令α1= ==αβ, , 1 0 1 0 0 ，则α1,α2可由β1线性表示，但β1线性无

关，排除（B）；

1 1 0 ==ββα1可由β1,β2线性表示，但α1线性无关，排除（C）, , 再令α1= 12 0 0 1 ，

故正确选项为（D）。

【例3.9】证明：当α1,α2,α3线性相关，且α1与α2的分量不成比例时，向量α3可以由α1,α2

线性表示.

【解】因α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关，而α1,α2,α3线性相关，故向量α3

可以由α1,α2线性表示且表示法唯一.

【例3.10】向量α1,α2, ,αs(s≥2)线性相关的充分必要条件是（ ） (A) α1,α2, ,αs中至少有一个是零向量.

(B) α1,α2, ,αs中至少有两个向量成比例.

(C) α1,α2, ,αs中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示. (D) α1,α2, ,αs中任一部分组线性相关. 【解】选项(C)正确.

【例3.11】已知n维向量组α1,α2, ,αm(m>2)线性无关，则（ ） (A) 对任意一组数k1,k2, ,km，都有k1α1+k2α2+ +kmαm=0. (B)m<n.

(C) α1,α2, ,αm中少于m个向量构成的向量组均线性相关. (D α1,α2, ,αm中任意两个向量均线性无关. 【解】选项(D正确.

【例3.12】设向量组（Ⅰ）：α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22,a23)，α3=(a31,a32,a33)；向量组（Ⅱ）：β1=(a11,a12,a13,a14)，β2=(a21,a22,a23,a24)，β3=(a31,a32,a33,a34)， 则必有（ ）

(A) 组（Ⅰ）相关 组（Ⅱ）相关 (B) 组（Ⅱ）相关 组（Ⅰ）无关

T

T

T

T

T

T

(C) 组（Ⅰ）相关 组（Ⅱ）无关 (D) 组（Ⅰ）无关 组（Ⅱ）无关 【解】选项(D)正确.

【例3.13】设A是n阶矩阵，α1,α2,α3是n维列向量，且α1≠0， Aα1=α1, Aα2=α1+α2, Aα3=α2+α3。证明：α1,α2,α3线性无关。 【解】∵Aα1=α1 ∴Aα1 α1=0，(A E)α1=0……（1）

又∵Aα2=α1+α2, Aα2 α2=α1，∴(A E)α2=α1 ……（2） 又∵Aα3=α2+α3, Aα3 α3=α2，∴(A E)α3=α2 ……（3） 令k1α1+k2α2+k3α3=0，用矩阵A-E乘上式两边得

k1(A E)α1+k2(A E)α2+k3(A E)α3=0 则由（1），（2），（3）得 k1 0+k2α1+k3α2=0，即k2α1+k3α2=0. 再用A-E左乘上式，得 k2(A E)α1+k3(A E)α2=0. 又由（1），（2） 得 k2 0+k3 α1=0，即k3 α1=0. 由已知α1≠0，∴k3=0，k1α1+k2α2=0.两端同乘以A-E得， k1(A E)α1+k2(A E)α2=0，即k2 0+k2α1=0 ，∴k2α1=0. 而α1≠0，∴k2=0，k1α1+0 α2+0 α3=0，而α1≠0∴k2=0， 即证k1=k2=k3=0 ， ∴α1,α2,α3线性无关。

但不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。 【例3.14】设向量β可由向量组α1,α2, ,αr线性表示，

证明：（1）αr不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。

（2）αr能由α1,α2, ,αr 1,β线性表示。

【解】（1）反证之。假设αr可由α1,α2, ,αr 1线性表示，设αr=k1α1+k2α2+ +kr 1αr 1，又由已知β可由α1,α2, ,αr线性表示，令β=l1α2+l2α2+ +lrαr，代入得

β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1+k1α2+k2α2+ +kr 1αr 1

=(l1+k1lr)α1+(l2+k2lr)α2+ +(lr 1+kr 1lr)αr 1 即得β可由α1,α2, ,αr 1线性表示，这与已知β不能由α1,α2, ,αr 1线性表示矛盾。∴所作假设是错误的,αr不能由α1,α2, ,αr 1线性表示。 （2） ∵β可由α1,α2, ,αr线性表示,

∴令β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1+lrαr

又∵β不能由α1,α2, ,αr 1线性表示，∴lr≠0。因为若lr=0，则β=l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1,矛盾。既然lr≠0，则

αr=

1

(l1α2+l2α2+ +lr 1αr 1 β),∴αr可由α1,α2, ,αr 1,β线性表示。 lr

：【例3.15】设向量β可由向量组α1,α2, ,αm线性表示，但不能由向量组（I）

α1,α2, ,αm 1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1,α2, ,αm 1,β，则（ ） （A）αm不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。

（B）αm不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。 （C）αm可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。 （D）αm可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。

【解】应选（B）。

本题就是要判定向量αm能否由向量组（I），向量组（Ⅱ）线性表示。下面先判定αm能否由向量组（Ⅱ）线性表示。因为β可由向量组α1,α2, ,αm线性表示，则有

β=k1α1+k2α2+ +km 1αm 1+kmαm……（1）

又由于β不能由α1,α2, ,αm 1线性表示，故有km≠0。从而，有αm=

1

(β k1α1 k2α2 km 1αm 1)，即αm可由（Ⅱ）线性表示。因此，选项（A），km

（D）应该排除。再判别αm能否由向量组（I）线性表示。若αm能由向量组（I）线性表示，则有

αm=l1α1+l2α2+ +lm 1αm 1……（2） 将（2）式代入（1）式有

β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+ +(km 1+kmlm 1)αm 1.

这表示β可由向量组（I）线性表示，与已知条件“β不能由（I）线性表示”矛盾。

。因此，本题应该选（B）。 所以，αm不能由向量组（I）线性表示，应该排除（C）

第四章 线性方程组

x1+x2+x3=0

【例4.1】已知线性方程组 ax1+bx2+cx3=0

a2x+b2x+c2x=0

123

（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。 【解】首先计算系数矩阵及其行列式 1 A= a

a2

1

1 1

c ，A=ac2 a2

1

1

bb2bb2c，这个行列式恰好为范德蒙行列式，所以c2

A=(b a)(c a)(c b)。

（1）当A=(a b)(b c)(c a)≠0时，即a≠b,b≠c,c≠a时，A≠0，由克莱姆法则知方程组仅有零解。

（2）当A=(a b)(b c)(c a)=0时，方程组有无穷多组解，为求出基础解系需按照a与b，b与c，c与a之间相等或不相等的关系进行讨论，共有四种情况，原方程组都有无穷

多解。

（i）当a=b≠c时，原方程组化为

x1+x2+x3=0

x1+x2+x3=0

++= 化为 0axaxcx 2 123

=cacx03 a2x+a2x+c2x=0

23 1

()

x+x+x3=0

当c≠0时，即 12

x3=0

x1+x2+x3=0

x+x+x3=0

当c=0时，化为 a(x1+x2)=0此时a≠0，原方程组也化为 12其基础解

=x0 3 a2(x+x)=0

12

系为( 1,1,0)T，通解为k1( 1,1,0)T类似地，

（ii）当a=c≠b时， x+x+x3=0

原方程组化为 12

x2=0

其通解为k2( 1,0,1)T

（iii）当b=c≠a时，同解方程组为 x1+x2+x3=0

，其通解为k3(0, 1,1)T

x1=0

（iv）当a=b=c时，同解方程组为 x1+x2+x3=0

其基础解系为( 1,0,1)T，( 1,1,0)T通解为k4( 1,0,1)T+k5( 1,1,0)T

123

【例4.2】设A= 011 ,且r(A)=2,则A*x=0的通解是（ ）

abc

1 2

(A)k1 0 　　(B)k1 1 　　(C)k1

a b (注:k1,k2为任意常数)

【解】选项(D)正确. 【例4.3】已知齐次线性方程组

3

1 　　(D)k1 c 1 2

01+k2 a b

x1+2x2+3x3=0,

（i） 2x1+3x2+5x3=0,

x+x+ax=0,

23 1

和

（ii）

x1+bx2+cx3=0,

2

+++=2xbx(c1)x0,23 1

同解，求a,b, c的值.

【解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.

因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.

对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换

1 123 10

，

235→011

11a 00a 2

从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为

123 101 235→011， 112 000

故( 1, 1,1)是方程组（i）的一个基础解系.

将x1= 1,x2= 1,x3=1代入方程组（ii）可得 b=1,c=2或b=0,c=1.

当b=1,c=2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

T

112 101

→ 011 ，

213

显然此时方程组（i）与（ii）同解.

当b=0,c=1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

101 101

→ 000 ，

202

显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.

综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. 【例4.4】（2012数学一、二、三）

λ 1 1 a

【例4.5】设A=0 λ 1 0，b=1，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。

1 1 λ 1

（Ⅰ）求λ，a ;

（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解。 【解】（I）已知Ax=b有2个不同的解 ∴r(A)=r(A,b)<3

λ

又A=0，即A=0

11

λ 10=(λ 1)2(λ+1)=0，知λ=1或-1。

11λ

∴λ= 1。r(A)=1≠r(A,b)=2，此时，Ax=b无解，代入由∴r(A)=r(A,b)当λ=1时，

得a= 2。

3

101 2 11121112

1 （Ⅱ）(A,b)=0 20→ → 10201010 2 11 11 0000 0000

3 3

xx=+3 2 1

32 x1 1 x x= 11 132

原方程组等价为 ，即 x2= ，∴x2=x30+ 。

2 2 x= 1 x 1 23 0 x3=x3 2

3 2 1

1

∴Ax=b的通解为x=k 0 + ，k为任意常数。

1 2 0

第五章 矩阵的特征值和特征向量

0 2 2

的非零特征值是_________.

[例5.1] 矩阵22 2

2 22

0 2 2 ，

【解】 记A=22 2

2 22

22 λ 0 2 2 λ

22 2= 2 22λE A= λλ （对应元素相减）

2λ λ 2 2 22 2

两边取行列式，

2

λE A= 2λ 22

22λ 2

1行 2行×2

λ2

2行+3行

λ22

=

0λλ

22λ 2

把第2行的公因子λ提出来

=

21 λ01

22λ 2

λ2

=

01λ01

22λ 2

λ0

按第1行展开

=λ λ ( 1)

1+1

111+1

（其中( 1)指数中的1和1分别

2λ 2

是λ所在的行数和列数）

=λ2(λ 2 2)=λ2(λ 4)

令

λE A=0，解得λ1=λ2=0,λ3=4，

故λ=4是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是λ=0(二重)）

1c a

,其行列式A= 1,又A 的伴随矩阵A*有一个特征值

[例5.2] 设矩阵A=5b3

1 c0 a

λ0，

属于λ0的一个特征向量为α=( 1, 1,1),求a,b,c和λ0的值.

【解】根据题设A有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=( 1, 1,1),根据特征值和特征向量的概念，有 Aα=λ0α, 把A= 1代入AA=AE中，得

*

*

*

T

T

AA*=AE= E,

AA*α= Eα= α

把Aα=λ0α代入，于是

*

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