2011年高考压轴题跟踪演练数学系列(全6套)【成都七中特别奉献,独

备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =

24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+ ()222222

2

12

12322

222

1

322222a a b a c x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为： ………………………………（4分） 对于双曲线，122222a MF MF '=-=-

22222

2

21

322

222

1322222a a b c a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为： ………………………………（6分）

（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H

令()1

1113,,,22x y A x y +??∴ ??

? C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322

DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+ ()()()22222

21112121132344

-2324622222

DH DC CH x y x a a x a a a DH DE DH l x ????∴=-=-+--+????=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;

为定值

此时的方程为： …………（12分）

2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1,n n n A a a +在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.

（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（Ⅱ）若()()()

n n a f n b ??=???, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1

1202111111n n n n a a n a b b b +-≤??????-++++ ? ????????? 成立，求正数a 的取值范围.

解：（Ⅰ）将点()

1,n n n A a a +代入21y x =+中得 ()11111

115

:21,21

n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）

（Ⅱ）()()()521n f n n ?+?=?+??, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分） ()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数，

舍去综上，存在唯一的符合条件。……………………（8分） （Ⅲ）由1

1202111111n n n n a a n a b b b +-≤??????-++++ ? ?????????

()()()()121212111

111111231

111111231

1111111112512312324241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n n f n b n n n ++??????≤+++ ? ???+????????????=+++ ? ???+??????????????∴+=++++ ??? ???+????????+??++++∴=?+=?= ?+++?? 即记 ()()()()()22min 252341616141615

1,14451,315545

015

n n n n n n f n f n f n f n f a +?+++=>++∴+>∴==

?

=∴<≤ 即递增，

………………………………（14分）

3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C.

(1) 求C 的方程;

(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.

求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= . 解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知?

??='=',y 2y ,x x

………………(2分) 又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 22

2

2=+?=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4

x 22

=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,

㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O,

不合题意,舍去; ………………(5分)

㈡设直线l: ,3my x +=

由?????=++=4

y 4x 3my x 22消去x,

得01my 32y )4m (22=-++………………① ∴,4

m m 3y 20+-=………………(6分) ∴4

m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4

m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分) ①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m 32,4m 38(

22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)

4m (m 12)4m (48222

22=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14

m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=- ∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)

②若3|AB |= , 由①得,34

m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 2

2y >±= , 由?????=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得???

????±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.

综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)

4.（本小题满分14分）已知函数2

41)x (f x +=)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4

1,21( 对称; (2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m

n (f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m

(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值. 解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4

1,21

( 的对称点为)y ,x (P . 由???????=+=+412

y y 212x x 00 得?????-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分)

由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=

. ∵,)

24(244244241

)x 1(f 00000x x x x x 10+=?+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 2

1,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)4

1

,21( 对称. ………………(4分)

(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2

1)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ , 即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分) 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ①

得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………②

由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=?+-=+?

-= ∴).1m 3(12

1S m -=………………(8分) (3) ∵,3

1b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③ ∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④

由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1

n n n n 1n +-=+=+即1

n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1

n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列.

∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,81

52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+== ∴.5275b 13T T 12n =-

=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,39

4639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.

（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；

（2） 当3AB =时，求AF BF +的大小；

（3） 求EPF ∠的最大值. 解：（1）2241282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=?

（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?+=??

， 则 5.AF BF +=

（1） 设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠

22132232222223()(1)663

t t t t t t t -?=-÷+==≤++， 当6t =时，3303tan EPF EPF ∠=

?∠= 6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221

n n n S a S =-， （2） 求n S 的表达式及2

lim n n n

a S →∞的值； （3） 求数列{}n a 的通项公式；

（4） 设331

1(21)(21)n b n n =-+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <.

解：（1）21111

21122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=?-=?-=≥- M

F E O y A B P

x

所以1n S ??????

是等差数列.则121n S n =+. 222lim lim 2212lim 1n n n n n n n a S S S →∞→∞→∞

===---. （2）当2n ≥时，12112212141

n n n a S S n n n --=-=-=+--， 综上，()()21132214n n a n n

?=??=??≥?-?. （3）令11,2121a b n n ==-+，当2n ≥时，有103

b a <<≤ （1） 法1：等价于求证()()33

111121212121n n n n ->--+-+. 当2n ≥时，110,213n <≤-令()231,0,3

f x x x x =-<≤ ()23313232(1)2(1)2(1)02223

f x x x x x x x '=-=-≥-?=->， 则()f x 在1(0,]3

递增. 又111021213

n n <<≤+-， 所以3311(

)(),2121g g n n <+-即n n a b <. 法（2）223333

1111()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=---=---+-+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2） 22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- （3） 因333111*********

a b a b a +-<+-<-<-=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-< 由（1）（3）（4）知n n a b <.

法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102

a g

b b a b -'=+-=?=

所以()()(){}{}

220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因10,3

a <≤则()210a a a a -=-<，2214323()3()0339a a a a a -=-≤-< 所以()220g

b a b ab a b =++--< （5）

由（1）（2）（5）知n n a b <

7． (本小题满分14分) 设双曲线22

22b

y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两

条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2 =

|→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；

(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =

a

b (x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b ak kab +), ∴|→-OQ ·→

--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→

--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222k a b b a k -, ∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 2222

22k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .

∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→

--OR | . 4分 （2）由条件得：2

22222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4

17 2分

备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数.

(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.

(2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n)

解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分

（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,

∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分

∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？

(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]

x x x x +∈-??-∈?，是否满足题设条件？

解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u = 43∈[–1，1]，v = 2

1∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =

45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件.

（2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；

20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；

30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件.

3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =

1x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.

(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,

∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ，

∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4.

(2) 由 f ( x ) = 1 – 1

x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–

1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,

∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增.

法2. 由f ` ( x ) = 2)

1x (1+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥ |

a |4 > 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|

a |4|a |4

+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4

|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

4．（本小题满分15分）

设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值

23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式；

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

2,2??-??

上； （3） 若+212(13),(N )23n n n n n n

x y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3

f x x x =-…………………………5分 （2）()20,0,2,3?

?- ? ???或()20,0,2,.3??- ? ??

?…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<

……15分 5．（本小题满分13分）

设M 是椭圆22

:1124

x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

221122221,(1)124 1.(2)124

x y x y ?+=????+=?? ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1

.3MN QN k k ?=-………………………………6分

又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-所以11

.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11

.x y x y =-……10分 从而得1111,.22

x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得2

21(0),3

x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）

过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=?PB PA

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+?FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存

在，请说明理由.

解法（一）：（1）设)(),4

,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠ 由,42y x =得：2

'x y = 2

,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA PB PA ………………………………3分

直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即4

2211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：4

2222x x x y -= ② 由①②得：??

???∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14

,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P 4),2,2

(2121-=-+=x x x x FP 4

2)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=? …………………………10分 2444)()(22212212

++=++=x x x x FP 所以0)(2=+?FP FB FA

故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=?PB PA

∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥

设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y

由???=+=y

x m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=?∴m k 即2k m -=…………………………3分

即直线PA 的方程是：2k kx y -=

同理可得直线PB 的方程是：211k

x k y --= 由??

???--=-=2211k x k y k kx y 得：?????-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---k

k P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=k

k FB k k FA )2,1(--=k

k FP )1(2)11)(1(42222k

k k k FB FA +--=--+-=?………………………………10分 )1(24)1()(2222k

k k k FP ++=+-= 故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分

7．（本小题满分14分） 设函数x ax

x x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：

.ln 1b b a b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=ax

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x a 1≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x

1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b

b a b a ， 一方面，由（1）知x ax

x x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b

b a f 0ln 1>+++?+-∴b b a b

b a a b b a 即b

a b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(0111)('>>-=-

=x x

x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G

∴x x ln > 即b

b

a b b a +>+ln 综上所述，

.ln 1b

b

a b b a b a +<+<+………………………………………………14分 8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=

，

B 、

C 在x 轴上且关于原点O 对称，

D 在边BC 上，3BD DC =，

ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、

D 两点．

(1) 求双曲线E 的方程；

(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E

相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=

，问在x 轴上是否存在定点G ，使

()BC GM GN λ⊥-

？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线E 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．

由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴2

2

2

||||16,

||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?

+=-??-=?

（3分）

解之得1a =，∴2,3c b ==．

∴双曲线E 的方程为2

2

13

y x -=．

（5分） (2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-

．

设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=

，得120y y λ+=． 即12

y

y λ=-

① （6分）

∵(4,0)BC =

，

x

y

D

O C

A

B x

y

D

O C

A

B N

B

C

O

y

x

G

M

P

1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+- ，

∴()BC GM GN λ⊥- 12()x t x t λ?-=-．

即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ②

（8分） 把①代入②，得

12122()()0ky y m t y y +-+=

③ （9分） 把x m ky -=代入2

213

y x -=并整理得 222(31)63(1)0k y kmy m -++-=

其中2310k -≠且0?>，即213

k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131

km m y y y y k k --+==--． （10分） 代入③，得

2226(1)6()03131

k m km m t k k ---=--， 化简得 kmt k =． 当1t m

=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m

，使()BC GM GN λ⊥- ． （12分） 9．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1

的常数），记1

2121C C C ()2n n n n n n n

a a a f n S ++++= ． (1) 求n a ；

(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p

+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)

112n p p n f n f f f n p p -????++-+++--?? ?-?????? 剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-， ①

∴11(1)n n p S p pa ++-=-．

② ②－①，得

11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，

即1n n a pa +=．

（3分）

在①中令1n =，可得1a p =．

∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．

（4分）

(2) 由(1)可得(1)(1)11

n n n p p p p S p p --==--． 1

2121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n n n n n p p p p p =++++=+=+ ． ∴12121C C C ()2n n n n n n n a a a f n S ++++= 1(1)2(1)n

n n p p p p -+=?-， （5分）

(1)f n +1

111(1)2(1)

n n n p p p p +++-+=?-． 而1()2p f n p +1

111(1)2()

n n n p p p p p +++-+=?-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->．

∴(1)f n +<1()2p f n p +，（*n ∈N ）． （8分）

(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p

+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n n p p p p f n f n f n f p p p p

-++++<-<-<<= ． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -????++++++-+++ ? ?????

… 2111112n p p p p -????++=-?? ?-??????， （10分）

（当且仅当1n =时取等号）．

另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时，

2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---??-+++-=+??--?? 2221(1)(1)22(1)2(1)

k n k

k k n k n k p p p p p p ----++??--… 212(1)12(1)(1)n

n

k n k p p p p p --+=?-- 2212(1)121

n

n n k n k p p p p p p --+=?--+． ∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴12(1)()(2)2()2(1)

n

n n p p f k f n k f n p p -++-?=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）

∴212121111

1()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）． 综上所述，2121111(21)()()

112n n k p p n f n f k p p --=????++--??∑ ?-???

???剟，（*n ∈N ）．（14分） 备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列三

1．（本小题满分13分）

如图，已知双曲线C ：x a y b

a b 222

2100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.

（I ）求证：OM MF →⊥→；

（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62

，求双曲线C 的方程； （III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、

Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.

解：（I ） 右准线l 12

：x a c

=，渐近线l 2：y b a x = ∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，， ，∴→=OM a c ab c

()2， MF c a c ab c b c ab c

→=--=-()()22，， OM MF a b c a b c

OM MF →?→=-=∴→⊥→22222

20 ……3分 （II ） e b a e a b =∴=-=∴=62122

2222，， ||()MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==11111

422222222

22，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2

22

1-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分

证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，

由x y y kx 22221

-==+???得()1244022--+=k x kx l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q

∴-≠=+->+=->=-->??????

???∴≠±<<-

41204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ?() ∴-<<-122k

……11分 AP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ

∴+=

-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222

222222λλλλx k k x k k k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422

k k ，，()λλ

∴+>∴-+>()1421022λλλλ

∴λ的取值范围是（0，1）

……13分 2．（本小题满分13分）

已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()

(*)=≤--+--<≤∈???00111，，

数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*)

（I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；

（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.

（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞

+++12 存在，并求出这个极限值.

解：（I ） n N ∈*

∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111

∴--=f n f n n ()()1 ……1分

∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101

212323

……

f n f n n ()()--=1

将这n 个式子相加，得

f n f n n n ()()()-=++++=+012312

f f n n n ()()()00

12

=∴=+ ∴=+∈a n n n N n ()(*)12

……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1

∴--=-+?=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()11212

1 =-++=1212122

2

[()()]n n n n n ……6分 （III ）设满足条件的正整数N 存在，则

n n n n n ()+->?>?>12100522

100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，

∴=N 201020122998，，……，均满足条件

它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495

∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010

……9分 （IV ）设b a n n

=1，即b n n n n n =+=-+212111()()

则b b b n n n n 122112121313141112111

+++=-

+-+-++-+=-+ [()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分 注：b c a n n =（c 为非零常数），b b q q n a n n a

n n

n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12 存在.

19. （本小题满分14分）

设双曲线y a

x 222

31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；

（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求

出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

解：（I ） e c a =∴=2422，

c a a c 22312=+∴==，，

∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分

（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()

M x y ， [] 255252

21010

3333

22333333310

12121221221122121212121212122122

||||

||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==?=∴-+-==

=-=+=+∴+=--=+∴+++??????=又，，，， ∴+=+=321321007532512

222

()()y x x y ，即 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033

的椭圆.（9分）

（III ）假设存在满足条件的直线l 设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122 [] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00

110

101212122121221212()()()()

由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=????

?--+-=+=-=--()()()1313163306313331

2222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+=

∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .

14分 3. （本小题满分13分）

已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.

（I ）求证数列{}a n 是等比数列； （II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334 …+-b b n n 1)成立？

解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()()

S m ma n n =+-()1 （2）

由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1

1

51 （II ）当n =1时，a m ma 111=+-()

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