《高等数学1》期末复习题一 经济类专业

《高等数学1》期末闭卷考试题一

一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）： 1．设已知f2．limx?0?1(logax)?x?1,则f(x)＝

2 .

x1?cosx?? .

3．若limx?0sinxe?ax(cosx?b)?5，则a = ，b = .

4．.函数f(x)?e2x?1x(x?1)的可去间断点是x0 = , 补充定义f (x0) = ,

则函数f (x)在x0处连续.

5．设函数f(x)?ln(1?sin2x)，则f'()? .

4?6．设五次方程a0x5?a1x4?a2x3?a3x2?a4x?a5?0有五个不同的实根，则方程

5a0x?4a1x?3a2x?2a3x?a4?0最多有 432 个实根.

7．设函数f(x)?x1?x 、 则f(n)(x)＝ .

8．已知f (x)的一个原函数为ln 2 x，则?xf?(x)dx? aa00 .

9．设 f(x)?x3??f(x)dx,a?1?0,则?f(x)dx? . 10．若x???lim(x?ax?a)?x?a??tedt,则常数.a? .

2t

二、单项选择题（每小题2分，共10分）： 1．设函数y?g(x)?16?x2的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则g(x) =（ ）.

tanx ① sinx ② cosx ③ ④cotx

2．“当x?x0时，f(x)－A为无穷小量”是“limf(x)?A”的( ) .

x?x0① 充分但非必要 ② 必要但非充分 ③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设y?f(e?x), 则dy? ( ) .

① ?f'(e?x)de?x ② f'(e?x)d(?x)

1

③f'(e?x)e?xdx ④f'(e?x)de?x 4．f(x)?1的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)?(　 )(0???1).

1?x①

1n?1(?1)n(n?1)(1??x)n?1x ②

(n?1)(1??x)n?1xn?1

③

1xn?1　 ④

(?1)nn?1(1??x)n?2(1??x)n?2x

5．在开区间(a,b)内，f(x)和g(x)满足f'(x)?g'(x)，则一定有（ ① f(x)?g(x) ② f(x)?g(x)?1 ③ [?f(x)dx]'?[?g(xdx)]' ④ ?df(x)??dg(x)

三、计算下列各题（每小题7分，共49分）： 1．求极限lim1?ex?xexxsinx.

x?0 2. 已知??arccosx,x?0f(x)??在x = 0处可导，求常数a,b.

??ax?b,x?0

3.设方程x2?y2?earctanyx确定y是x的函数,求y'与y\.

4. 设f(t)可微且f?(t)?0若??x?ef(t)?)试求A(t)使dy?A(t)dx?.

?y?cosf2(t 5. 求?x?lnxx2dx.

6.

设F(x)??x2e?t2dt,试求：(1)F(x)的极值;(2)曲线y?F(x)的拐点的横坐标

0

）.

2

7．计算?1?1x?sinx1?x22dx.

四、应用题（每小题8分，共16分）：

1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

2. 求抛物线y?4x?x2?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .(不要求！)

五、证明题（5分）：

证明：当x > 1时，

ln(1?x)lnx?x1?x.

《高等数学1》期末闭卷考试题一参考解答

一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：

1．设已知f2．limx?0?1(logax)?x?1,则f(x)＝

212loga(x?1)(x?1).

x1?cosx??2.

13．若limsinxe?ax(cosx?b)?5，则a =，b =?4.

x?04．.函数f(x)?e2x?1x(x?1)的可去间断点是x0 = 0 , 补充定义f (x0) = – 2 ,

则函数f (x)在x0处连续.

5．设函数f(x)?ln(1?sin2x)，则f'()? – 2 .

4?6．设五次方程a0x5?a1x4?a2x3?a3x2?a4x?a5?0有五个不同的实根，则方程

5a0x?4a1x?3a2x?2a3x?a4?0最多有

432 4 个实根.

3

7．设函数f(x)?x1?x 、 则f(n)(x)＝(?1)n?1n!(1?x)?(n?1) .

8．已知f (x)的一个原函数为ln 2 x，则?xf?(x)dx? 9．设 f(x)?x??f(x)dx,a?1?0,则?f(x)dx?300aa 2ln x ? ln 2 x + C .

a44(1?a).

10．若x???lim(x?ax?a)?x?a??tedt,则常数.a?2t52.

二、单项选择题（每小题2分，共10分）： 1．设函数y?g(x)?16?x2的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则g(x) =（ ① ）.

tanx ① sinx ② cosx ③ ④cotx

2．“当x?x0时，f(x)－A为无穷小量”是“limf(x)?A”的( ③ ) .

x?x0① 充分但非必要 ② 必要但非充分 ③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设y?f(e?x), 则dy? ( ④ ) .

① ?f'(e?x)de?x ② f'(e?x)d(?x) ③f'(e?x)e?xdx ④f'(e?x)de?x 4．f(x)?①

11?x的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)?(　3 )(0???1).

1(n?1)(1??x)1(1??x)n?2n?1xn?1 ②

(?1)nn?1(n?1)(1??x)(?1)nn?2xn?1

③

xn?1　 ④

(1??x)xn?1

5．在开区间(a,b)内，f(x)和g(x)满足f'(x)?g'(x)，则一定有（ ④ ）.

① f(x)?g(x) ② f(x)?g(x)?1 ③ [?f(x)dx]'?[?g(xdx)]' ④ ?df(x)??dg(x)

三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：

4

1．求极限limx1?e?xexsinxxxx.

(1?e?xe)?(x)?2xxx?0解：lim1?e?xexsinxx?0?limx?0 3分

?e?xe

2xxx

?e?limx?0x 6分

?1. 7分

22. 已知

??arccosx,x?0f(x)??在x = 0处可导，求常数a,b.

??ax?b,x?0解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以

limlimx?0?f(x)??f(x)?f(0)

x?0 得 b??2 又因为f(x)在x = 0处可导，所以limf(x)?f(0)x存在 x?0arccosx??lim2?lim?1??1

x?0＋xx?0＋1?x2 (ax?b)??lim2?a, ? a??1?f?(0).x?0－x

y3.设方程x2?y2?earctanx确定y是x的函数,求y'与y\. y解：?x?yy'1y'x?yx2?y2?earctanx?1?(y?x2 2x)化简得(x?yy')x2?y2?earctanyx(y'x?y)x?y ?y'?x?y又y\?(1?y')(x?y)?(x?y)(1?y')2(xy'?y)(x?y)2?(x?y)22(x2?y2将y'代入上式化简得 y\?) (x?y)2

2分

3分

4分

7分

2分

4分

7分

5

f(t)??x?e4. 设f(t)可微且f?(t)?0若?试求A(t)使dy?A(t)dx2??y?cosf(t).

解：?A(t)?dydx＝?sinf(t)2f(t)f'(t)e2f(t)2f'(t)??2f(t)sinf(t)ef(t)2 5分

?dy??2f(t)sinf(t)f(t)dx 7分

e 5. 求?x?lnxx2dx.

解：

?x?lnxx2dx?lnx??lnxx2dx ＝lnx??lnxd1x ＝lnx?lnx?1x?x2dx ＝lnx?lnx1x?x＋C 6.

设F(x)??x2e?t2dt,试求：(1)F(x)的极值;(2)曲线y?F(x)的拐点的横坐标

0解： (1)x)?[?x2?F'(?x40e?t2dt]'?e?2x令0?x?0 F\x)?2(1?4x4)e?x4,F\?2?0 ?x?0是F(x)的极小值点,F(x)的极小值为F(0)?0. (2)又?F\x)?2(1?4x4)e?x4令0?x11?,x?122?2 当-??x??1时, F\x)?0,2 当-1?x?1时, F\x)?0, 22 当1?x???时, F\x)?0,2 ?曲线y?F(x)拐点的横坐标为x??1.227．计算?1x?sinx?11?x2dx.

2分

4分

6分 7分

3分

7分

6

解：?1?1x?sinx1?x22dx???1?1x?1?11?x(1?22dx 3分

?1?111?x2)dx

105分

?2?2arctanx?2??2 7分

四、应用题（每小题8分，共16分）：

1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

解：设截面的周长为 l , 已知l?x?2y?截面的面积为xy? 故 l?x??x410?,x?x2 1分

?x2()?5,即 22 y?5x??x8 3分

x?(0,40?) 4分

因为l'?1?

?4?10x2,l\?20x2， 令l'?0得驻点x?404?? 6分

又因为l\?0，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分 所以截面积的底宽为x?404??才能使截面的周长最小，从而使建造时所用

的材料最省. 8分 2. 求抛物线y?4x?x2?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .(不要求！)

解：?y'x?0?(4?2x)x?0?4,y'x?3??2 2分

所以抛物线y?4x?x2?3在点(0,?3)和(3,0)处的切线方程分别为

y?4x?3,y??2x?6 32 2分

且这两条切线的交点为(,3)，则所求图形的面积为

3S??20(4x?3?4x?x?3)dx?2?3(?2x?6?4x?x?3)dx?23294 8分

7

五、证明题（5分）：

证明：当x > 1时，

ln(1?x)lnx?x1?x.

证明 令f(t)?tlnt， 1分

f(t)在区间[x,1?x]上满足拉格朗日中值定理，于是在(x,1?x)中存在至少一

点?，使得 f(?)?ln??1?(x?1)ln(x?1)?xlnxx?1?x

即 (x?1)ln(x?1)?xlnx?ln??1 2分 而1?x???1?x，又因为ln??1?0，所以(x?1)ln(x?1)?xlnx， 即

ln(1?x)lnx?x1?x.（ x > 1） 2分

或令y?(1?x)ln(1?x)?xlnx，则y'?ln(1?x)?lnx?ln1?xx?0(x?1)

8

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