山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题10 四边形

山东17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形

一、选择题

1. （济南3分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠A＝60º，则对角线BD的长度是

A．2 B． C．4 D．4【答案】C。

【考点】菱形的性质，正三角形的的判定和性质。

【分析】根据菱形四边相等的性质，得AB=AD=4，∵∠A＝60º，∴△ABD是正三角形，∴BD=AB=4。故选C。 2.（济南3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD 相交于点O．下列结论不一定正确的是 ．．．．．

A．AC＝BD B．∠OBC＝∠OCB C．S△AOB＝S△COD D．∠BCD＝∠BDC 【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】A．根据等腰梯形对角线相等的性质，得AC＝BD，∴选项正确；B．根据等腰梯形腰和同一底上的底角相等的性质以及全等三角形SAS的判定，得△ABC≌△DCB，从而由全等三角形对应角相等的性质，得∠OBC＝∠OCB，∴选项正确；C．由△ABO≌△DCO，得S△AOB＝S△COD，∴选项正确；D．∵BD不一定等于BC，∴∠BCD不一定等于∠BDC，∴选项不一定正确。故选D。

3.（潍坊3分） 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是. ．．．

A．CP平分∠BCD B．四边形ABED为平行四边形 C．CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形 【答案】C。

【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确：A．易证△BCF≌△DCE（SAS），∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠BCP=∠DCP，即A正确； B．∵AD=BE且AB∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，B正确；D．∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确。综上，选项A、B、D正确。故选C。

4.（泰安3分）如图，点F是 ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是

A、C、

EDEABCDE

DFABBFBE

D、

B、

BFBE

DEBC

EFFB

BCAE

【答案】C。

【考点】平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等量代换。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴∴

EDEABFBE

DFABBCAE

，故A正确；∴

DEAD

EFFB

，∴

DEBC

EFFB

，故B正确；∴

BCDE

BFEF

，故C错误；∴

BFBE

ADAE

，

，故D正确。故选C。

5.（泰安3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为

A、16

B、17 C、18

D、19

【答案】 B。

【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】由图可得，S1的边长为3，S1＝9。根据等腰直角三角形的性质和勾股定理易知，AC

＝BC，BC＝CE

CD，∴AC＝2CD，CD＝6÷3＝2，∴CE＝

，S2＝8。∴S1＋S2＝17。故选B。

6．（莱芜3分）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论 ①EG⊥FE ②四边形EFGH是矩形 ③HF平分∠EHG ④EG＝

12

（BC－AD） ⑤四边形EFGH是菱形

其中正确的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C。

【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质。

【分析】由所给题意，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，根据三角形中位线定理得到： HG＝

12

DC，EF＝

12

DC，HE＝

12

AB，GF＝

12

AB。由已知AB＝CD得到：HG＝EF＝HE＝GF。根据菱形的判定定

理知四边形EFGH是菱形，又根据菱形对角线互相垂直和平分对角的性质得到EG⊥FE，HF平分∠EHG。而不能判定四边形EFGH是矩形和EG＝

12

（BC－AD）。故①③⑤正确。故选C。

7.（聊城3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比为4∶3，则这个菱形的面积是

A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2 【答案】B。

【考点】菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式。

【分析】根据利菱形四边相等和对角线互相垂直的性质，得菱形的边长是5cm，又由于两条对角线的比为4∶3，，根据勾股定理可得出两条对角线的长分别为8cm和6cm，从而根据菱形的面积等于对角线乘积一半的公式，得到这个菱形的面积是24cm2。故选B。

8.（临沂3分）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是

A、

2

B、

、4

D、

【答案】A。

【考点】矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】∴DE是AC的垂直的平分线，∴D是AC的中点，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C=90°， ∴四边形BCDE是矩形。∴∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴根据勾股定理能求出AC的长：

AC==2求出DC的长：

BCDE

。故选A。 9.（临沂3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=60°，则梯形ABCD的周长是

A、12

B、14 C、16

D、18

【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】从上底的两个端点向下底作垂线，构造直角三角形和矩形，求得直角三角形的直角边的长利用已知的锐角的度数求得等腰梯形的腰长，然后求得等腰梯形的周长：：作AE⊥BC于E点，DF⊥BC于F点，

∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，∵AD=2，BC=6，∴EF=AD=2，BE=CF=（6﹣2）÷2=2，∵∠B=60°，

∴∠BAE=30°，∴AB=DC=2BE=2×2=4，∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16。故选C。 10.（淄博3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC， BD⊥CD，则AD＋BC等于

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】B。

【考点】角平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的性质，垂直的性质，三角形内角和定理，含30角的直角三角形的性质。

【分析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC。又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB。∴∠ABD＝∠ADB。 ∴AD＝AB＝1。

又∵等腰梯形ABCD，∠C＝∠ABC＝2∠DBC。又∵BD⊥CD，∴∠CDB＝900。∴∠DBC＝300。 ∴BC＝2DC＝2。

∴AD＋BC＝1＋2＝3。故选B。 二、填空题

1. （德州4分）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为 ▲ ． 【答案】3。

【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理。

【分析】根据三角形中位线的性质定理，可以推出DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有3个平行四边形。

2.（烟台4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ▲ . 【答案】2。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】如图，连接O1B，O1C，可由ASA得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系：阴影部分O1FCG的面积为正方形ABCD面积的

14

。同理得出

另一个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得阴影部分的面积是：

2

14

2 2。

2

3.（潍坊3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD 的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE 的长为 ▲ ． 【答案】

78

。

【考点】矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，。

【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质有DE＝BE＝4－x，利用勾股定理AE＋AB＝BE，得到有关x的方程：x＋3＝（4－x），解得x＝

2

2

2

2

2

2

78

。

4.（聊城3分）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是 AB的中点．若OE＝3cm，则AD的长是 ▲ cm． 【答案】6。

【考点】平行四边形的性质，三角形中位线的性质。

【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，得BO＝DO，由已知E是

AB的中点，知OE是△BAD的中位线，从而根据三角形中位线等于第三边一半的性质，得AD＝2OE＝6cm。 5.（临沂3分）如图， ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为 ▲ ． 【答案】6。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质。

【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，若CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果：∵CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC，∴∠BCE=∠EFA， ∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=3，∵AB=AE，AF∥BC，∴BC=2AF=6。

6.（淄博4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为 ▲ ． 【答案】。

31

12

DM

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。 【分析】∵CM＝

12

DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝

3

PCPH

CMHN

12

123

HE＝

23

CD，

又∵△PCM∽△PHN，∴∴tan∠NPH＝

HNPH

13

，即PH＝2CH＝2CD。

。

7.（淄博4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点 B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF= ▲ ．

【答案】

【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定。 【分析】过点Ｅ作EH∥BF交AC于点H，则由点E是BC边的中点知，点H是FC边的中点，即CF＝2HF。又由正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，应用勾股定理和相似三角形的判定和性质可求出AC＝

，AE

＝，AG

AFAH

AGAE

45

。从而由

，即

AC CFAC

12CF

45

，即

CF

12CF

45

。解之得，CF

三、解答题

1. （滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

【答案】解：当点O运动到AC的中点时四边形AECF是矩形。证明如下：

∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2。

又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3。∴∠3＝∠2。∴EO＝CO。 同理，FO＝CO。∴EO＝FO，

又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形。 又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4。 又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°。 ∴四边形AECF是矩形。

【考点】角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定。

【分析】当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形。由于CE平分∠BAC，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF，而OA＝OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形。

2.（东营8分）如图．在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=

12

∠C。

(1) 求证：四边形ABDE是平行四边形； (2) 若DC=12．求AD的长

【答案】解：（1）证明：∵∠ABC＝1200，∠C＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800。

∴AB∥EC，即AB∥ED。

又∵∠C＝600，∠E＝

12

∠C＝300，∠BDC＝300，∴∠E＝∠BDC。

∴AE∥BD。∴四边形ABDE是平行四边形。 （2）由（1），AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形。

又∵DB平分∠ADC，∠BDC＝300，∴∠ADC＝∠BCD＝600。 ∴四边形ABCD是等腰梯形。∴BC＝AD。

在△BCD中，∠C＝300，∠BCD＝600，∴∠DBC＝900。 又已知DC=12，∴AD＝BC＝

12

DC＝6。

【考点】平行线的判定，平行四边形的判定，等腰梯形的判定和性质，直角三角形的判定，30角直角三角形的性质。

【分析】（1）由已知可证AB∥ED，AE∥BD，从而得证。

（2）由已知和（1）可证四边形ABCD是等腰梯形，从而证得△BCD

是直角三角形，根据直角三角

形中300角所对直角边是斜边一半的性质，得求。

3.（菏泽7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长． 【答案】解：过点A作AG∥DC，

∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形。∴GC=AD。 ∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3。

在Rt△ABG中，

∵EF∥DC∥AG，∴

EFAG

BEAB

12

，∴EF=AG

2

1。

【考点】梯形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例

【分析】过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥DC∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题。

4.（济南4分）如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM＝CM． 【答案】证：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABM＝∠CBM。 又∵BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SAS）。∴AM＝CM。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】应用正方形四条边都相等和每条对角线平分一组对角的性质，得△ABM≌△CBM，从而根据全等三角形对应边相等的性质得证。

5.（潍坊8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作线段AC、BD（或延长线）的垂线PE、PF，垂足为E、F.

（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE＋PF的值； （2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. 【答案】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。∵PF⊥BD，∴PF∥AC。

同理PE∥BD，∴四边形PFOE为矩形。∴PE＝OF。 又∵∠PBF＝45°，∴PF＝BF。

∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝a

2

。

（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PF⊥BD。∴PF∥AC。 同理PE∥BD，∴四边形PFOE为矩形。故PE＝OF． 又∵∠PBF＝∠OBA＝45°，∴PF＝BF． ∴PE﹣PF＝OF－BF＝OB＝a

2。

【考点】正方形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数。

【分析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、 PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解。

（2）同（1）。

6.（济宁5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形。

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD 。

∵∠EDO=∠FBO，∠EOD=∠FOB ， ∴△OED≌△OFB（ASA） 。∴DE=BF。 又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形。 又∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形。

【考点】平行四边形的性质和判定，对顶角的性质，全等三角形的判定的性质，菱形的判定。 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，利用ASA可证得△OED≌△OFB，从而对应边DE和BF相等， 因而四边形BEDF是平行四边形。由已知EF⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定可证。 7．（泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC． （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

【答案】解：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=

12

BC=AD。

又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形。

∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。 （2）证明：连接DE，

∵AD平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形， 又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形。 ∴GE=GA=GB=GD=

12

BD=

12

AE。

∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线。 ∴EF=

12

BD=GD，GE=

12

CD=DF。

又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形EFDG是菱形。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定。

【分析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF。

（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根

据矩形和三角形中位线的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形。 8.（临沂7分）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA。

∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B。∴AD∥BC。∴∠D=∠DCE。 ∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE。∴∠D=∠ACD。∴AC=AD。

（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形。∴AB=BC。 ∴∠ACB=60°。∠FAC=∠ACE=120°。 ∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。

【考点】

等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，等边三角形的判定和

性质，菱形的判定。

【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD。

（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出。

9.（临沂11分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求

EFEG

的值．

【答案】解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA）。∴EF=EG。

（2）成立。证明如下：

如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°， ∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH。∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA）。∴EF=EG。

（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB。 ∴

NEAD

CEEMCENEEMNEADb

, 即 。 ，∴CAABCAADABEMABa

∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN。 ∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE。∴

EFEG

ENEM

。∴

EFEG

ba

。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质。

【分析】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证。

（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，

则问题得证。

（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得

△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。

10.（青岛8分）在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．

(1)求证：△BEC≌△DFA；

(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，BC=AD。 ∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE= ∴BE=DF。∴△BEC≌△DFA（SAS）。 (2) 四边形AECF是矩形。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD。

∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=

12

12

AB，DF=

12

CD。

AB，CF=

12

CD。

∴AE∥CF，且AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。 又∵CA=CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC=900。 ∴ AECF是矩形。

【考点】平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定。 【分析】(1) 由四边形ABCD是平行四边形和E、F分别是AB、CD的中点，即可利用SAS证得。 (2) 一方面由四边形ABCD是平行四边形和E、F分别是AB、CD的中点可证得四边形AECF是平行四边形；另一方面由CA=CB，E是AB的中点，根据等腰三角形底边中线的性质可证得∠AEC=90，从而得证。 11.（枣庄10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：EF=CF； （2）当tan ADE

13

时，求EF的长．

【答案】解：（1）过D作DG⊥BC于G．由已知可得，四边形ABGD为正方形。

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG。

∴∠ADE=∠GDC 。

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，∴△ADE≌△GDC（AAS） 。 ∴DE=DC，且AE=GC。

在△EDF和△CDF中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF= DF， ∴△EDF≌△CDF（SAS）。∴EF=CF 。

（2）∵tan∠ADE=

AEED

13

， ∴AE=GC=2。

设EF x，则BF=8－CF=8－x，BE=6－2=4。 由勾股定理，得 x2 8 x 42。 解之，得 x=5， 即EF=5。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理。

【分析】（1）要证EF=CF，只要证它们是全等三角形的对应边。考虑△EDF和△CDF， DF是公共边，由△ADE≌△GDC可证得DE=DC，同时可证得∠EDF=∠CDF。从而得证。 （2）要EF的长，只要在Rt△OCD应用勾股定理即可求得。

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