人口预测与数据拟合

人口预测与数据拟合

1、摘要：

随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。

问题给出了1790—2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测美国未来的人口。

首先，人口增长率是变化值。对于问题(1)假设了人口上限因此我们选择建立Logistic模型(模型1)

其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合(模型2)，通过Matlab进行人口预测。

关键词：预测模型 人口增长率 Logistic 2、实验问题：

1970年到1980年间美国人口数的统计数据如表所示 年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 份 统3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 计 年1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 份 统62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 计 （1） 根据表中的数据，分别用不同次数的多项式拟合美国人口数量增长的近似曲线图。

（2） 根据表中的数据，建立符合Malthus模型的美国人口数量增长曲线模型。 （3） 设美国人口总体容量为4.5亿，试用Logistic模型建立美国人口增长曲

线模型。

（4） 分别用上述三种方法预测2000年，2005年，2015年，2020年美国人口

数量，并对不同方法的预测结果进行比较分析。 3、实验问题的分析：

根据以上问题的提出我们可以通过两种模型来进行求解，Malthus模型和Logistic模型来预测美国人口数量和统计的结果的差别。Malthus模型：1798年，英国统计学家Malthus在在进行大量统计的基础上发现了一种关于生物种的繁殖规律，就是一种个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。有效地控制人口的增长，认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

整个模型的过程中应当包括：人口增长的变化规律；人口数量的死亡的变化规律；人口平均生育的变化规律；统计人口是的过程等。 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关??. 可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。

人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和

长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。

4、 实验模型的假设：

（1）、人口数量在某一年内增长的速度较快，在哪一年内不记人口的死亡人数，和种种影响人口增长的因素。 （2）、假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型； （3）、 利用 （2） 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差； （4）、 利用（2）中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； （5）、 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (2) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口. 5、 模型的建立：

模型1

图1为1790-2000年的人口数据，人口增长率r为每10年的取值。首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R

Rtn=rt1+.....+rtnn

其中t1=1800年?.. t21=2000年(10.最大人口数量Xm=500 当x=Xm时增长率为零。在线性化假设前提下可以得到 r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)

其中的r我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。在公式1假设下，模型可修改为

骣dxx÷?=rx(1-)÷??dtxm÷÷ (公式2) ?÷?÷?÷÷?x(0)=x0桫上述方程改为Logistic模型

x(t) =xm/1+(xm/x0-1)e-rt (公式3)

e取2.718，t为Dt，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以 及和实际值的误差见图3。

2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32； 2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59； 2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16； 2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35； 2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；

观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。

图（1） 图（2）

图（3）

模型2

(1) 根据表中的人口数据，进行曲线拟合，建立数学模型；

(2) 利用 (1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模

型的计算误差；

(3) 利用 (1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口；

利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010 2020 2030 2040 2050年的美国人口。利用MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图4。

图4 美国人口统计数据连线图

图5 建模方法1的拟合效果图

由图4可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a, b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a, b是函数E(a,b)??(f(ti)?xi)2的最小值点。其中xi是

i?1nti时刻美国的人口数。利用MATLAB中的曲线拟合程序“curvefit”，编制的程序如下：

首先创建指数函数的函数M——文件

用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序 m-function, fun1.m function f=fun1(a,t) f=exp(a(1)*x + a(2)); t=1790:10:2000;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; plot(t,x,'*',t,x); a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun1',a0,t,x) ti=1790:5:2050; xi=fun1(a,ti); hold on

plot(ti,xi); t1=2010;

x1=fun1(a,t1) hold off

在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a = 0.0148 -23.8311；x1 =358.48 因此，参数a=0.0148, b=-23.8307，拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.48。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图5。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.48百万。同理 2020年预测人口为413.33; 2030年预测人口为452.57; 2040年预测人口为475.89; 2050年预测人口为494.18。 图6为误差值%

观察误差和图像，模型2对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数xm 这里通过Matlab对模型1中的公式3进行一次计算拟合： function f=fun3(a,t)

f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2))); x=1790:10:2000;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; plot(x,y,'*',x,y); a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun3',a0,x,y) xi=1790:5:2050;

yi=fun3(a,xi); hold on

plot(xi,yi); x1=2010;

y1=fun3(a,x1) hold off

图（6）

将r（即a(2)）的初值取为小于1的数，比如取a=[200, 0.1]时，得到 a =[311.95 0.0280], y1 =267.19，即(2)中的r=0.0280, xm=311.95，2010年美国的人口预计为267.19。这个结果还比较合理，当tm时，静增长率趋于零，人口数趋于311.95百万人，即极限人口xm=311.95。拟合效果见图7，这种效果比之前情形好。

从图7 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此略加修改将拟合准则改为：

minE(a)??(f(ti)?xi)?w?(f(ti)?xi)2

2i?1i?n?1n21其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。

图7 function f=fun5(a) n=16;w=2;

x=1790:10:2000;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);

f=[fun3(a,x1),w*fun3(a,x2)]-[y1,w*y2];

主程序： t=1790:10:2000;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4]; plot(t,x,'*',t,x);a0=[300,0.03]; a=leastsq('fun5',a0) ti=1790:5:2000; xi=fun3(a,ti); hold on;

plot(ti,xi,t,x,'*'); x1=fun3(a,2010) hold off

1.先取n=17,w=1.5,运行上述程序，得到结果a = [324.0666, 0.0276]; x1 = 272.7996

2. 再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果a=[345.1439,0.0270];x1=280.0539 把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中作比较如图8.第二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合，因此，对将来人口的预测应该更好(只拟合到2010年)

30025020015010050017501) n=17,w=1.52) n=16,w=2 180018501900195020002050 经过修改，得到了一个较满意的结果，人口增长率r=0.0270,极限人口xm=345.1439(百万)，并预测2010年美国人口为280.05百万。 6、 实验总结：

熟悉使用了MatLab ,MathType，SpssStatistics等软件工具。它们可以大大提高工作效率，多数情况下都能给出正确的答案。但它在处理复杂问题时，也有不足之处不同曲线的拟合图几乎是一样的不好区分。这就要求对结果进行检验，是否合理。

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