专题复习《概率与统计初步》

概率复习

一、知识回顾：随机事件 随 机 事 件 的 概 率 事 件 事 件 的 概 率 必然事件 不可能事件 概率的定义 0<P<1 P=1 P=0 的概概率 频率 稳率 定是 值频 率

怎样得到随机 事件的概率

用列举法求概率用频率估计概率

在多次试验中，某个事件出现的次数 叫 频数 ，

某个事件出现的次数与试验总次数的 比，叫做这个事件出现的 频率 ， 一个事件在多次试验中发生的可能性 叫做这个事件发生的 概率 。

频率与概率的区别与联系联系当试验次数很大时,一个事件发生的频率 稳定在相应的概率附近.即试验频率稳定于理 论概率。因此:我们可以通过多次试验,用一个

事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 区别某可能事件发生的概率是一个定值.而这一事件发生的频率是波动的.当试验次数不大 时，事件发生的频率与概率的差异甚至很大.

注意事件发生的频率不能简单地等同于其 概率

下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的 数据：试验者布丰 德.摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基

投掷次数4040 4092 10000 12000 24000 80640

正面出现频数2048 2048 4979 6019 12012 39699

正面出现频率0.5069 0.5005 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923

例： 关于天气预报中预报某地下雨的概率为 10%,则下列解释正确的是 (A)有10%的区域下雨 (B)一天中有10%的时间下雨 (C)下雨的可能性为10% (D)由于10%比较小，所以不下雨

二、概率的加法1、事件的关系和运算(一)互斥事件和对立事件 互斥事件： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.

A B

对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.

A B 且A B I

互斥事件与对立事件的联系与区别：

1、两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立2、互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适 用于两个事件 3、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生， 即至多只能发生一个，但可以都不发生； 而两事件对立则表明它们有且只有一个发生

(二)和事件A ∪B :

表示事件A、B中至少有一个发生的事件.(1)当A、B是互斥事件时： P( A B) P( A) P( B) (2)当A、B是对立事件时： P( A B) P( A) P( B) 1即：P ( A) 1 P ( A)

求法： (1)直接法：化成求一些彼此互斥事件的概率的和； (2)间接法：求对立事件的概率.

古典概型(1) 试验总所有可能出现的基本事件只有有限个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型，简称古典概型。

P(A)=

A包含的基本事件的个数基本事件总数

当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性 时

才成立

几何概型 (1) 试验总所有可能出现的基本事件有无限个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等

我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概 率模型，简称几何概型。在几何概型中,事件A的概率计算公式如下 :

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

当且仅当所描述的基本事件的出现是等 可能性时才成立

古典概型与几何概型的区别 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.

热身练习1、甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1/2,乙胜的概 率是1/3, 则乙不输的概率是( 5/6 ) 甲获的概率是 (1/6 ) 甲不输的概率是 ( 2/3 ) 概率的基本性质

古典概 型 2、同时掷两个骰子，出现点数之和大于11的概率是( 1/36 )3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm, BC=2cm,在图 形上随机 地撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率

p 是 8

几何概型

A D

B C

典型例题计算古典概型事件的概率 可分三步 ①算出基本事件的总个数n, 例1:柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下 ②求出事件A所包含的基本事件 列事件的概率 个数m, (1)取出的鞋子都是左脚的 ; ③代入公式求出概率 P。 (2)取出的鞋子都是同一只脚的； 解：基本事件的总个数:

15

(1)记“取出的鞋子都是左脚的”为事件A 包含基本事件 个 3 1 = 由古典概型的概率公式得 P(A)= 15 5 数为 3 , 在计算基本事件总数和事 (2)记“取出的鞋子都是同一只脚的”为事件 B, 件A包含的基本事件个数时， 2´ 3 要做到不重不漏。 2 = P( B)= 15 5

牛刀小试例1:柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下 列事件的概率 【点评】 (1)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的； 含有“至多”“至少”等类型的概率问题， (2)取出的鞋不成对； 从正面 解决 比较困难或者比较繁琐时， 可考虑其反面，即对立事 件， 然后利 用对立事件的性质进一步求解。 解(1)记“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的”为 Cp (c) = 3´ 3 3 = 15 5

3 4 (2)记“取出的鞋不成对”为D P(D)= 1= 15 5

例 2、取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？ 思路分析：本题主要考查线段型的几何概型及其应用， 从每一个位置剪断绳子都是一个基本事件，剪断位置 可以是长度为3m绳子上的任意一点，则基本事件有无 限多个，所以属于几何概型。 解：如图所示，记A为剪得两段绳子长都不小于1m, 把绳子三等分，于是当剪断位置处于

中间一段上时， 事件A发生。 全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3m,事 件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度， 为1m,故事件A发生的概率为 P( A) 13

变式训练2 变式、函数 f ( x) = x - x - 2, x ? [ 5,5] ,那么任取一点

几何概型主要有体积型、面积型、长度型 等， 解题关键是：找到本题中要用到是哪种几何度量， 思路分析：本题也是一道几何概型的题目，是线段型 然后再考虑子区域A的几何度量占的几何度量的比 的一种变式，它这里的长度是指区间的长度，但只要 例。除以上三种几何度量之外，还有与角度、时间 找出构成事件A 的区域长度，本题还是易于求解的。 相关的问题。

x0,使f(x0 ) £ 0 的概率(

【点评】

)

解：画出函数的图象，由图象得当 x0 1,2 时,f x0 0 任取一点 x0 5,5 的结果有无限个，属于几何概型。设 使 f x0 0 为事件A,则事件A构成的区域长度 2 1 3 3 ,全部结果构成的区域长度是 5 5 10 ,则 P A 10

随堂练习1、从装有2个红球和2个黑球的袋子中任取2个球， 那么 互斥而不对立的事件是( C) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球 2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格 的，从中任取两个恰好都是不合格的概率是 1/45 3、(2007广东高考，文8)在一个袋子中装有分别标注 数字1,2,3,4,5的五个小球，现从中随机取出2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概 3/10 率是

4、一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时 间为5秒，绿灯亮的时间为45秒，当你到达路口时，恰好 看到黄灯亮的概率是 1/16

5、在圆心角为直角的扇形AOB中，在AB弧上任取一点

P,则使得 AOP 300 且 BOP 300 的概率是

1/3

6、(2007山东泰安高三期末统考，文3)在长为10cm的线段 AB上任取一点，并以线段AP为一边作正方形，这个正 方形的面积介于25 cm 与 49 cm 之间的概率为 1/52

2

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