山东省滨州市2015届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷

2015年山东省滨州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（50分） 1．设i为虚数单位，则复数

=（ ）

A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i

2．设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}

2

2

x（x﹣2）

≤1}，A∩B=（ ）

3．直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ），且P（ξ＜1）=0.5，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=（ ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

5．若对任意的x＞1，

≥a恒成立，则a的最大值是（ ）

2

A．4 B．6 C．8 D．10

6．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ）

A．240种 B．192种 C．120种 D．96种

7．设x，y满足约束条件

，则

的取值范围是（ ）

A．[1，5] B．[2，6] C．[2，10] D．[3，11]

8．若函数f（x）=

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在

上为减函数，

则θ的一个值为（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

9．如图，已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线

2

=1（a＞0，b＞0）的

右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ）

A．

B．2

C．

D．

10．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，

使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（ ） A．（2π，2016π） B．（

） C．（2π，2015π） D．（π，2015π）

二、填空题（25分）

11．不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤1的解集为 ．

12．已知A，B，C，D是球O表面上的点，AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为

，则球O的表面积为 ．

13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

14．在平面直角坐标系xOy中，已知

=（3，﹣1），

=（0，2）．若

?

=0，

=λ

，

则实数λ的值为 ．

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2，则f（2014）+f（2015）+f（2016）= ．

三、解答题（75分） 16．在锐角△ABC中，（1）求角A； （2）若a=

17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角A1﹣EC﹣C1的余弦值．

AB．

，当sinB+cos（

﹣C）取得最大值时，求B和b．

．

x

18．甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为与P，且各次射击互不影响，乙射击2次均未命中的概率为

．

（1）求乙射击的命中率；

（2）若甲射击2次，乙射击1次，甲、乙两人一共命中次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．

20．已知函数f（x）=[ax﹣（2a+1）x+a+2]e（a∈R）． （1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性； （2）设g（x）=

，当a=1时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）

2

x

≥g（x2），求实数b的取值范围．

21．已知椭圆C：

的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线l：x=my﹣c与椭圆C交于点M，N两点，当m=﹣周长为6．

（1）求椭圆C的方程；

，M是椭圆C的顶点，且△MF1F2的

（2）若M，F2，N在直线x=4上的射影分别为E，K，D，连接MD，当m变化时，证明直线MD与NE相交于一定点，并求出该定点的坐标；

（3）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线x=4分别相交于点P，Q，试问：当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

2015年山东省滨州市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（50分） 1．设i为虚数单位，则复数

=（ ）

A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则即可得出． 解答： 解：原式=

=﹣4﹣3i，

故选：A．

点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

2．设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2≤1}，A∩B=（ ） A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1} 考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可． 解答： 解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2， ∴A={0，1}，

由B中不等式变形得：2≤1=2， 即x（x﹣2）≤0，

解得：0≤x≤2，即B=[0，2]， 则A∩B={0，1}． 故选：D．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

3．直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质． 专题： 直线与圆；简易逻辑． 分析： 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 解答： 解：若直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点， 则圆心到直线距离d=

，|AB|=2

，

2

2

2

2

x（x﹣2）

0

x（x﹣2）

若k=1，则|AB|=分性成立．

，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充

若△OAB的面积为，则S=

即k+1=2|k|，即k﹣2|k|+1=0，

2

则（|k|﹣1）=0， 即|k|=1，

解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．

2

2

=×2×==，

故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．

故选：A．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．

4．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ），且P（ξ＜1）=0.5，P（ξ＞2）=0.4，则P（0＜ξ＜1）=（ ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 概率与统计．

分析： 随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）． 解答： 解：随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ），且P（ξ＜1）=0.5，

2

可知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ）， ∴曲线关于x=1对称，

∵P（ξ＞2）=0.4，∴P（ξ＜2）=0.6，P（ξ＜0）=0.4， ∴P（0＜ξ＜1）=0.5﹣0.4=0.1， 故选：D．

点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

5．若对任意的x＞1，

≥a恒成立，则a的最大值是（ ）

2

22

A．4 B．6 C．8 D．10

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论 解答： 解：对任意的x＞1，时等号成立．

=x﹣1+

+2≥2

+2=6，当且仅当x=3

=6，

对任意的x＞1，≥a恒成立，就是，

a的最大值是：6． 故选：B．

点评： 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

6．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（ ）

A．240种 B．192种 C．120种 D．96种 考点： 排列、组合的实际应用． 专题： 排列组合．

分析： 利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．

解答： 解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A2种站法，再取一人站左侧有C4×23

A2种站法，余下三人站右侧，有A3种站法，

2123

考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A2×C4×A2×A3=192， 故选：B．

点评： 本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原则．

7．设x，y满足约束条件

，则

的取值范围是（ ）

2

1

A．[1，5] B．[2，6] C．[2，10] D．[3，11] 考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可． 解答： 解：设设k=

，

=

+

，

则k的几何意义是区域内的点与点D（﹣1，﹣1）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图，其中A（0，4） 由图象知则DB的斜率最小，此时k=1， DA的斜率最大，此时k=即1≤k≤5， 则2≤1+k≤6，

，

故的取值范围是[2，6]，

故选：B．

点评： 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．

8．若函数f（x）=

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在

上为减函数，

则θ的一个值为（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+

），然后根据函数的奇

偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项． 解答： 解：∵f（x）=故有θ+

=kπ，

（k∈Z），可淘汰A、C选项，

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

）为奇函数，

即：θ=kπ﹣

然后分别将B和C选项代入检验， 易知当θ=

时，

，0]上递减，

f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣

故选：C．

点评： 本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．

9．如图，已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线

2

=1（a＞0，b＞0）的

右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．

考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得 c﹣6ac+a=0等式两边同除以a，得到关于离心率e的方程，进而可求得e 解答： 解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ∴两条曲线交点为（，p），

4

22

4

4

代入双曲线方程得﹣=1，

又=c

∴

4

﹣4×

2

=1，化简得 c﹣6ac+a=0

4224

∴e﹣6e+1=0 22∴e=3+2=（1+） ∴e=+1 故选C．

点评： 本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的应用，考查双曲线的离心率，解题的关键是得出a，c的方程．

10．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，

使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（ ）

A．（2π，2016π） B．（） C．（2π，2015π） D．（π，2015π）

考点： 分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．

专题： 计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

分析： 首先化简函数f（x）=，再分别讨论函数f（x）

在两个区间上的单调性及最值，从而可确定0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1，从而解得．

解答： 解：化简函数f（x）=得，

f（x）=

故当x∈[0，π]时，

f（x）=sinx在[0，π]上先增后减， 且0≤f（x）≤1， 当且仅当x=

时sinx=1；

；

当0≤d＜1时，由sin（π﹣x）=sinx知， 方程sinx=d有两个不同的根，两根和为π； 当x∈（π，+∞）时， f（x）=log2015

单调递增，

故f（x）＞log20151=0，

故若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c）， 则0＜f（a）=f（b）=f（c）＜1， 不妨设a＜b＜c，

则由以上分析知，a+b=π， 0＜log2015

＜1；

即π＜c＜2015π；

故2π＜a+b+c＜2016π； 故选A．

点评： 本题考查了分段函数及三角函数的性质应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．

二、填空题（25分）

11．不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤1的解集为 （﹣∞，1] ．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由条件根据绝对值的意义求得不等式的解集．

解答： 解：|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，

而1对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故|x+1|﹣|x﹣2|≤1的解集为（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1]．

点评： 本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．

12．已知A，B，C，D是球O表面上的点，AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为

，则球O的表面积为 6π ．

考点： 球的体积和表面积；球内接多面体． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解球O的表面积．

解答： 解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，

设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=， 解得：a=，b=，c=1， 所以球的直径为：=， 它的半径为

，

=6π．

球O的表面积为4π×

故答案为：6π．

点评： 本题是基础题，考查球O的表面积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．

13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 1

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S，A的值，观察规律可得S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有当i=2016时，满足i＞2015，退出循环，输出S的值为1，从而得解．

解答： 解：模拟执行程序，可得 i=0，S=1，A=2 i=1，S=2，A=

不满足i＞2015，i=2，S=1，A=﹣1 不满足i＞2015，i=3，S=﹣1，A=2 不满足i＞2015，i=4，S=﹣2，A= 不满足i＞2015，i=5，S=﹣1，A=﹣1 不满足i＞2015，i=6，S=1，A=2 不满足i＞2015，i=7，S=2，A= 不满足i＞2015，i=8，S=1，A=﹣1 不满足i＞2015，i=9，S=﹣1，A=2 不满足i＞2015，i=10，S=﹣2，A=

不满足i＞2015，i=11，S=﹣1，A=﹣1 不满足i＞2015，i=12，S=1，A=2 …

观察规律可知，S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有： 不满足i＞2015，i=2014，S=﹣2，A= 不满足i＞2015，i=2015，S=﹣1，A=﹣1 不满足i＞2015，i=2016，S=1，A=2

满足i＞2015，退出循环，输出S的值为1． 故答案为：1．

点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知

=（3，﹣1），

=（0，2）．若

?

=0，

=λ

，

则实数λ的值为 2 ．

考点： 平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 根据向量

、的坐标，得到

=（﹣3，3），设

=（m，n）可得

?

=﹣3m+3n=0．而

=（m﹣3，n+1）=λ解答： 解：∵∴设又∵

=

﹣

，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．

=（0，2）

=（3，﹣1），

=（﹣3，3）

?

=﹣3m+3n=0…①

=λ

，

=（m，n），可得

=（m﹣3，n+1），

∴m﹣3=0且n+1=2λ…②

将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2 故答案为：2 点评： 本题给出向量

、

的坐标，再

?

=0且

=λ

的情况下求实数λ的值．着

重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2，则f（2014）+f（2015）+f（2016）=

x

．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由已知条件利用函数的周期性和奇偶性，得f（2014）+f（2015）+f（2016）=f（2）+f（﹣1）+0=2=．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x）， 当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2，

∴f（2）=f（﹣2）又∵f（x）是奇函数∴f（2）=﹣f（﹣2）=f（﹣2）， ∴f（﹣2）+f（﹣2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（2）=0， ∴f（2014）+f（2015）+f（2016）

x

﹣1

=f（2）+f（3）+f（0） =0+f（﹣1）+0 =2 =．

故答案为：．

点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性和奇偶性的合理运用．

三、解答题（75分） 16．在锐角△ABC中，（1）求角A； （2）若a=

，当sinB+cos（

﹣C）取得最大值时，求B和b．

．

﹣1

考点： 余弦定理的应用；三角函数的最值． 专题： 综合题；解三角形．

分析： （1）由余弦定理，结合条件，可得sin2A=1，即可求角A； （2）先得出B=论．

解答： 解：（1）由余弦定理可得∵△ABC是锐角三角形， ∴cosB＞0， ∴sin2A=1， ∴2A=∴A=

， ；

，

）=sinB+cosBcos

+sinBsin

=

时，sinB+cos（

﹣C）取得最大值

，再利用正弦定理，即可得出结

（2）由（1）知，B+C=∴sinB+cos（=sinB+∵0＜∴

cosB=﹣B＜

，

﹣C）=sinB+cos（B﹣sin（B+，0＜B＜

） ，

＜B＜

∴∴B+

＜B+=

＜，即B=

，

时，sinB+cos（

﹣C）取得最大值

，

由正弦定理可得b===．

点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．

17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角A1﹣EC﹣C1的余弦值．

AB．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．

（2）以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．分别求出平面ECC1的法向量和平面A1CE的法向量，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣C1的余弦值． 解答： （1）证明：连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点．又D是AB的中点， 连接DF，则BC1∥DF．

因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD． （2）解：由AC=CB=

AB，得AC⊥BC．

以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．

设CA=2，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，2）， ∴

=（2，0，0），

=（0，2，1），

=（2，0，2）．

设=（x，y，z）是平面A1CE的法向量，

则，取x=2，得=（2，1，﹣2）．

∵CA⊥CB，CA⊥CC1，CB∩CC1=C，

∴CA⊥平面ECC1， ∴

=（2，0，0）是平面ECC1的一个法向量，

=．

∴二面角A1﹣EC﹣C1的余弦值为

点评： 本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．

18．甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为与P，且各次射击互不影响，乙射击2次均未命中的概率为

．

（1）求乙射击的命中率；

（2）若甲射击2次，乙射击1次，甲、乙两人一共命中次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （1）根据题目条件得出（1﹣P（B））=

2

，0≤P≤1，求解即可．

（2）确定甲、乙两人一共命中次数记为ξ=0，1，2，3，

利用对立事件的概率得出：根据题意得出P（A）=，P（）=，P（B）=，P（）=， 根据事件的独立性，互斥性得出：P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）），P（ξ=3），列出分布列即可，再根据数学期望公式求解． 解答： 解：（1）设“甲射击一次命中”的事件为A，“乙射击一次命中”的事件为B，A，B相互独立， ∵（1﹣P（B））=

2

，0≤P≤1，

∴即P（B）=， 故乙射击的命中率：，．

（2）甲射击2次，乙射击1次，甲、乙两人一共命中次数记为ξ=0，1，2，3， 根据题意得出P（A）=，P（）=，P（B）=，P（）=， 根据事件的独立性，互斥性得出： P（ξ=0）=（）×=

2

，

2

P（ξ=1）=2×（）×（）×+（）×=P（ξ=2））=（）×+2×P（ξ=3）=××=ξ的分布列， ξ 0 1 2 3 p

=

=

，

2

，

×==，

数学期望：0×

点评： 本题考查了古典概率在实际问题中的应用，利用独立事件，互斥事件求解，准确分类，准确计算，思路要清晰，认真，难度不是很大，属于中档题．

19．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）．则n为奇数，cn=“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3． 得

，解得

=

．“分组求和”，利用

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，．

（Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）， 则n为奇数，cn=

n﹣1

=，

n为偶数，cn=2．

∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n） =

==．

点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．已知函数f（x）=[ax﹣（2a+1）x+a+2]e（a∈R）． （1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性； （2）设g（x）=

，当a=1时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）

2

x

≥g（x2），求实数b的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）f′（x）=（ax﹣x﹣a+1）e=（ax+a﹣1）（x﹣1）e，对a分类讨论：当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）e，即可得出单调性；当a＞0时，f′（x）=a﹣1）e，令

x

x2

x

x

（x与1

=1，解得a=．当a=时，当时，当a时，比较

的大小关系即可得出单调性；

（2）当a=1时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．对任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e．又对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），e≥g（x2），即x2∈（1，2）时有解，g（x2）=

，即存在x2∈（1，2），使

得．令h（x）=

2

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

x

x

解答： 解：（1）f′（x）=（ax﹣x﹣a+1）e=（ax+a﹣1）（x﹣1）e，

x

a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）e，

∴当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

当a＞0时，f′（x）=a

（x﹣1）e，

x

令=1，解得a=．

≥0，函数f（x）在R上单调递增；

时，

＞1，x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

，f′（x）

当a=时，当

＞0，函数f（x）单调递增． 当a

时，

＜1，x∈（﹣∞，

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞

0，函数f（x）单调递增．

综上可得：当a=0时，当x＞1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．

当a=时，函数f（x）在R上单调递增； 当单调递减；当a

时，x∈（﹣∞，

时，x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增；

，函数f（x）单调递增． ）时，函数f（x）单调递增；

，函数f，函数f（x）

（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增．

（2）当a=1时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增． 对任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e． 又对任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2）， ∴e≥g（x2），即x2∈（1，2）时有解， g（x2）=

，∴存在x2∈（1，2），使得

≤e，即存在x2∈（1，2），使得

．

令h（x）=，x∈（1，2），h′（x）=

，

，

令h′（x）=0，解得x=

当x∈时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（x）＜0，函数h（x）单调递减．

时，h′

∴当x=时，h（x）的最大值为=1， 综上可得：实数b的取值范围是（﹣∞，1]．

点评： 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线l：x=my﹣c与椭圆C交于点M，N两点，当m=﹣周长为6．

（1）求椭圆C的方程；

，M是椭圆C的顶点，且△MF1F2的

（2）若M，F2，N在直线x=4上的射影分别为E，K，D，连接MD，当m变化时，证明直线MD与NE相交于一定点，并求出该定点的坐标；

（3）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线x=4分别相交于点P，Q，试问：当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）当m=﹣

时，可得直线l的倾斜角为

，由题意列关于a，c的方程组，解

得a、c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；

（2）由（1）求得c=1，设直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M、N的纵坐标的和与积， 然后先求直线l与x轴垂直时，MD与NE的交点为G（定点G（坐标为G（

），NE也过定点G（）；

），再利用斜率相等证得MG过

），即可说明直线MD与NE相交于一定点，该定点的

（3）求出直线AM的方程，得到P的坐标，同理可得Q坐标，设H（x，y）为以PQ为直径的圆上任意一点，可得

，得到以PQ为直径的圆的方程取y=0，求得x=1或x=7．说

明以PQ为直径的圆恒过（1，0）与（7，0），即当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴

截得的弦长是定值6． 解答： （1）解：当m=﹣

时，直线l的倾斜角为

，

由题意得，解得a=2，c=1，b=，

∴椭圆C的方程为；

（2）由（1）知，c=1，∴直线l的方程为x=my+1， 设M（x1，y1），N（x2，y2），

2

2

由，可得（3m+4）y+6my﹣9=0．

∴．

当直线l与x轴垂直时，可得MD与NE的交点为F2K的中点G（当直线l与x轴不垂直时，下面证明MD过定点G（由题意可知D（4，y2），

，

，

），

），

∵=

==．

∴kAG=kGD，即MG过定点G（同理可证NE也过定点G（

）， ），

）；

∴直线MD与NE相交于一定点，该定点的坐标为G（

（3）由题意可得直线AM的方程为，

令x=4，得P点坐标为（），

同理可得Q（），

设H（x，y）为以PQ为直径的圆上任意一点，则，

∴以PQ为直径的圆的方程为．

令y=0，则．

即，

即，

即

2

．

即（x﹣4）=9，解得x=1或x=7．

即以PQ为直径的圆恒过（1，0）与（7，0），

∴当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是定值6．

点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了利用斜率证明三点共线问题，考查了圆的方程的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．

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