最新电大作业-工程数学习题（第一次）解答

工程数学习题（第一次）解答（部分）

a1单选题1 设b1c1第1章 行列式 第2章 矩阵 a2a3a1a2a3b2b3?2，则2a1?3b12a2?3b22a3?3b3?_______． c2c3c1c2c3

a1解：

a2a3a1a2a3a1a2b2c2a3b3 c32a1?3b12a2?3b2c1c2?2?0?3?2??62a3?3b3?2a1a2c3c1c2a3?3b1c3c1

00单选题2 若

0100200a0010?1，则a?_______． 0a00a00a0a14?13?10?(?1)020??(?1)?2a?1,a?解：0200202

100100a

单选题5 设A,B均为n阶方阵，k为常数，则下列等式正确的是（ ）． A. A?B?A?B B. AB?nAB C. kA?kA D. kA?knA 解： 因为 A,B均为n阶方阵，所以 ?kA?(?k)nA．

单选题9 设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB?)?1?（ ）． A. (B?)?1A?1C?1 B. B?C?1A?1 C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1 解： (ACB?)?1?(B?)?1C?1A?1?(B?1)?C?1A?1

0001?1填空题2 1111?1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数1?1是 ．

1

?111?11解：11?1x?01?100x?10x?1?(?1)?2(x?1)，

20201该多项式一次项的系数是2．

填空题7 设A,B均为3阶矩阵，且A??1,B??3，则?3(A?B?1)2? ． 解：?3(A?B?1)2?(?3)3A?B?1?A?B?1??27A2?B?2??3

??1000?解答题5（3） 用初等行变换求矩阵?1100???1110??的逆矩阵 ?1111??解：因为

?0001000??001000???1A:I???11000100??100100?1100???11100010????10?1010???11110001????01?0111?1001????10001000??1000100??0100?1100??100?110??00100?110????00100?11?00110?101????0?000100?1??1000??1?1000?所以?1100?????1110????1100?? ?1111????0?110??00?11??

证明题8 若A是n阶方阵，且AA??I，试证A?1或?1． 证：

AA??I,A?A??1,A2?1；?A?1或?1

证明题9 若A是正交矩阵，试证A'也是正交矩阵

证： 因为A是正交阵，故A'A?I,因而A可逆且A?1?A'

所以有(A')'A'?(A?1)'A'?(AA?1)'?I'?I

即，A'是正交阵。

0?

0?0??1??2

工程数学第二次作业点评（部分）

第3章 线性方程组 ?x1?2x2?3x3?2?单选题2 线性方程组?x1?x3?6（ ）．

??3x?3x?423? A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 解：将增广矩阵进行初等行变换

32?32?32??12?12?12?10?16???0?2?44???0?2?44? ??????????????0?334???0?334???00?增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=3=未知量的个数，线性方程组有唯一解； 故B正确。

?1??0??1??1??1??0??0??1? 单选题4 设向量组为?1???,?2???,?3???,?4???，则（ ）是极大

?0??1??1??1?????????010???????1?无关组．

A. ?1,?2 B. ?1,?2,?3 C. ?1,?2,?4 D. ?1 解：

?1011??1011??1011??1001??00?10??00?10????????? ??1,?2,?3,?4????0111??0111??0111???????0101010100?10???????1011??1011??00?10??0111?????? ?0111??00?10?????00000000????因为向量组的秩=3, 即极大无关组中向量个数=3，又因为?1??2??4； 所以极大无关组是?1,?2,?3． 故B正确。

?x?x2?0填空题1 当?? 时，齐次线性方程组?1有非零解．

?x?x?02?11??11??1解：齐次线性方程组的系数矩阵?， ??????1??01???

3

当??1时，有系数矩阵的秩=1小于未知量的个数=2， 齐次线性方程组有非零解．

填空题8 设线性方程组AX?b有解，X0是它的一个特解，且AX?0的基

础解系为X1,X2，则AX?b的通解为 ．

解： AX?b的通解：X?X0?k1X1?k2X2 （其中k1,k2为任意常数）

解答题3 判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

??8???2??3???5???3??7???5???6??,?1???,?2???,?3??? ????7??1??0??3???????????10??3???2??1? 简解：

??2??3???5???8??7???5???6???3??,令k1?1+ k2?2+k3?3??,即k1???k2???k3?????1??0??3??7?????????3?21?10????????

??2k1?3k2?5k3??8?7k-5k?6k??3?123去求解线性方程组?，解出k1，k2，k3即可。k1?3k3?7???3k1-2k2?k3??10

?x1?3x2?x3?2x4?0??5x?x?2x?3x?0?1234解答题5 求齐次线性方程组?的一个基础解系．

??x1?11x2?2x3?5x4?0??4x4?0?3x1?5x2解：将系数矩阵进行初等行变换

?1?31?2??1?31?2??1?31?2???51?23??0?143?7??0?143?7????????? ??1?112?5??0?143?7??0003???????3504014?3100000?????? 4

5??0??100?14?????30?0? ???01?14?1????0001?0???0000???55??x?x?0x??x3?1143?114??33??相应的方程组?x2?x3?0??x2?x3 （x3是自由未知量）

1414???x4?0?x4?0???? 令x3?14， 有x1??5,x2?3，

?1?31?2??1?31????37?01??01?31414???14??0001??000???00?0??00???00得到一个基础解系X?[?5,3,14,0]?

?x1?5x2?2x3??3x?x?4x?123解答题6 求下列线性方程组???x1?9x2??5x1?3x2?6x3?3x4?11?2x4??5的全部解．

?4x4?17?x4??1 解：将增广矩阵进行初等行变换

?1?52?31?1?1?5??31?42??5?0?14??????1?90?41?7??014???536?1?8??1?02?

9??1?52?311??107????11?01?1?2??01??72???7?00000?????000000???00??000?91?x?x?x4?113??72?相应的方程组 ??x?1x?1x??2234?72? （x3,x4是自由未知量）

2?3?11??2?7?28????27?2?8??4?14?5?6?1?0005?214?200??00?3??7?002800?1?1?2?1?2? ?2?00?00??91?x?1?x?x413??72 ??x??2?1x?1x234?72?

解答题10 用配方法将二次型（fx1，x2，x3,x4）?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4 化为标准型。

5

简解：

f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4 =(x1?x2)2?(x3?x4)2?2x2(x4?x3)?(x1?x2)2?[(x3?x4)?x2]2?x2则f?y12?y22?y32.2

令y1?x1?x2,y2?(x3?x4)?x2,y3?x2,y4?x4,

工程数学第三次作业点评（部分）

第4章 随机事件与概率

单选题2 如果（ ）成立，则事件A与B互为对立事件． A. AB?? B. AB?U

C. AB??且A?B?U D. A与B互为对立事件 解： 事件A与B互为对立事件?AB??且A?B?U

故C正确。

单选题5 某独立随机试验每次试验的成功率为p(0

中至少失败1次的概率为（ ）．

A. (1?p)3 B. 1?p3

3C. 3(1?p) D. (1-p)?p(1?p)2?p2(1?p)

解： 因为3次重复试验全部成功的概率为p3，所以3次重复试验中至少失败1

次的概率为1?p3，故B正确。

填空题5 若事件A,B相互独立，且P(A)?p，P(B)?q，则P(A?B)? ． 解： 因为 事件A,B相互独立，所以P(AB)?P(A)P(B)，又因为

)?P(A)?P(B)? P(A?BP( AB 所以 P(A?B)?p?q?pq

6

解答题3 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解： 设A1?{第一道工序是正品}， A2?{第二道工序是正品}

且A1与A2相互独立； P(A1A2)?P(A1)P(A2)?(1?0.02)(1?0.03)?0.9506

解答题8 设X~f(x)???2x,0?x?1,，求E(X),D(X)． ?0其它1解： E(X)????12??xf(x)dx??2xdx?23x3?20

031E(X2)??12x?x2dx?24x4?102

0D(X)?E(X2)?(E(X))2?12?(23)2?118 工程数学习题（第一次）解答（部分）

第1章 行列式 第2章 矩阵 a1a2a3a1a2a3单选题1 设b1b2b3?2，则2a1?3b12a2?3b22a3?3b3?_______．c1c2c3c1c2c3

a1a2a3a1a2a3a1a2a3解：

2a1?3b12a2?3b22a3?3b3?2a1a2a3?3b1b2b3c1c2c3c1c2c3c1c2c 3?2?0?3?2??6

0001单选题2 若

00a00200?1，则a?_______． 100a 7

00a00a00a1?(?1)4?1020??(?1)3?1?2a?1,a?解：0200202

100100a

单选题5 设A,B均为n阶方阵，k为常数，则下列等式正确的是（ ）． A. A?B?A?B B. AB?nAB C. kA?kA D. kA?knA 解： 因为 A,B均为n阶方阵，所以 ?kA?(?k)nA．

单选题9 设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB?)?1?（ ）． A. (B?)?1A?1C?1 B. B?C?1A?1 C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1 解： (ACB?)?1?(B?)?1C?1A?1?(B?1)?C?1A?1

0001?1填空题2 1111?1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数1?1是 ． ?111?1110x?1?2(x?1)， 解：1?1x?00x?1?(?1)2011?1020该多项式一次项的系数是2．

填空题7 设A,B均为3阶矩阵，且A??1,B??3，则?3(A?B?1)2? ． 解：?3(A?B?1)2?(?3)3A?B?1?A?B?1??27A?B

2?2??3

?1?1解答题5（3） 用初等行变换求矩阵??1??1解：因为

011100110?0??的逆矩阵 0??1? 8

?1?1?A:I????1??10001000??10?011000100????1100010??01??1110001??01?10001000??1?0100?1100??0??????00100?110??0????00110?101??0001000?00?1100??10?1010??11?1001?0001000?100?1100??0100?110??00100?11?

??1000??1?1000?所以?1100???1??1110????100??0?110? ?1111?????00?11??

证明题8 若A是n阶方阵，且AA??I，试证A?1或?1．证：

AA??I,A?A??1,A2?1；?A?1或?1

证明题9 若A是正交矩阵，试证A'也是正交矩阵

证： 因为A是正交阵，故A'A?I,因而A可逆且A?1?A'

所以有(A')'A'?(A?1)'A'?(AA?1)'?I'?I

即，A'是正交阵。

9

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