35初中数学-几何证明经典试题(含答案)

1 / 20 初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D-

2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的

延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．

A P C D

B A F

G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D

A A 1 B

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F 经典题（二）

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A E ，直线EB 及

CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBF G ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB

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经典题（三）

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．（初二）

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．（初二）

3、设P 是正方形ABCD 一边BC

求证：PA ＝PF ．（初二）

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，

．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）

E

4 / 20 经典题（四）

1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，

求：∠APB 的度数．（初二）

2、设

P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．

求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD ＋AD·BC ＝AC·BD ．（初三）

4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）

D

5 / 20 经典难题（五）

1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，

求证：

≤L ＜2．

2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．

3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．

4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300

，∠EBA＝200，求∠BED的度数．

经典题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形

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点，Q 并延长相交于E 2A 与F 2C 连接F,E.分别找其中点1AB 和1BC 连接如下图3. 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点，

由A 2E=A 1B 1=B 1C 1= FB 2 ，EB 2=AB=BC=F C 1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GE B 2+∠Q=900,所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ，

可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B 2C 2 ，

又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 ,

从而可得∠A 2B 2 C 2=900 ，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。

4.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。

经典题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

，

由于

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9 / 20 由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。

又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ，

∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。

。

PQ=。可得FH ，CI ，EG 所在直线的高AB 点分别作E,C,F 过4. 由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

，从而得证。

= PQ=从而可得

经典题（三）

1.顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG.

由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。

10 / 20 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.

可证：CE=CF 。

2.连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH ，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF 。

3.作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。

令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。

+XZ ，

2X -，可得YZ=XY =tan ∠BAP=tan ∠EPF= 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ，

得到PA ＝PF ，得证 。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

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3.在BD 取一点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得：

① ，AC ?BC=BE ?，即AD = 又∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得 ②

AC ， ?CD=DE ?AB 即，= 由①+②可得: AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。

，可得：==⊥AE ，AG ⊥CF ，由

AQ 作D 过4. ，由AE=FC 。= 可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。

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