2019年河南省新乡、开封市名校联考中考数学一模试卷（解析版）

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2019 年河南省新乡、开封市名校联考中考数学一模试卷

一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题 卡相应位置．每小题 1．﹣ 3 的倒数是（

A ．﹣ 3

3 分，共 30 分）

） B ． 3

C．﹣ D．

2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约

A ．3.26× 10 ﹣4 毫米 C． 3.26× 10 厘米

﹣0.000326 毫米，用科学记数法表示为（ B． 0.326× 10 毫米 D． 32.6× 10

﹣﹣）

444

厘米

3．如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是

（

）

A ．主视图 C．俯视图

B．左视图

D．主视图和左视图 22222453234 a+b ＝ a+b， ② （﹣ 2a） ＝﹣ 4a， ③ a÷a＝ a， ④ a

） ．下面是一位同学做的四道题： ① （

a4 a12

? ＝ A ．①

．其中做对的一道题的序号是（

B ．②

） C． ③

D． ④

5 ．在一次数学测试后，随机抽取九年级（

3 ）班 5 名学生的成绩（单位：分）如下：

）

C．中位数是 91

D．方差是 56

80、98、 98、

83、 91，关于这组数据的说法错误的是（

A ．众数是 98

B ．平均数是 90

2

6．已知关于 x 的一元二次方程 x﹣ 2x+k﹣ 1＝ 0 有两个不相等的实数根， 则实数 k的取值范围是 （

A ． k≤ 2

B ． k≤0

C． k＜ 2

D． k＜ 0

）

7．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了

60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到 25%，结果提前 30 天完成了这一任务．设实际

）

来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了

工作时每天绿化的面积为 A ．

x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（

B．

--

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C．

D．

2，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字

3 的倍数的概率等于（ D．

1

8．一个两位数，它的十位数字是

﹣ 6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是 A ．

）

B ． C．

9．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（ 1）作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧的交点为

C；

（ 2）以 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D ；

（ 3）连接 BD ， BC．

下列说法不正确的是（

）

A ．∠ CBD ＝30°

C．点 C 是△ ABD 的外心

B． S△BDC＝AB 2

D． sinA+cosD＝ 1

4 厘米，∠ B＝ 60°，动点 P 以 1 厘米秒的速度自

22

10．如图，菱形 ABCD 的边长是

方向运动至 B 点停止，动点 点 P、Q 同时出发运动了 关系的是（

A 点出发沿 AB

Q 以 2 厘米 /秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止．若

S 与 t 之间的函数

2

t 秒，记△ BPQ 的面积为 S 厘米 ，下面图象中能表示

）

A ． B．

--

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C．

D．

二、填空题（每小题

3 分，共 15 分）

．

11．分解因式： a3b+2a2b2+ab3＝

12．不等式组

的最小整数解是 ．

13．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边

AB、 CE 相交于点 D，则∠ BDC ＝ ．

14．如图， C 为半圆内一点， O 为圆心， 直径 AB 长为 2cm，∠ BOC＝ 60°，∠ BCO＝ 90°，将△ BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△ B′ OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面

积为

2

cm．（结果保留 π）

15．如图矩形

ABCD 中， AD ＝ 5，AB ＝7，点

E 为

DC 上一个动点，把△

．

ADE 沿 AE 折叠，当点

D

的对应点 D′落在∠ ABC 的角平分线上时，

DE 的长为

三、解答题（ 8 个小题，共 16 ．（ 8 分）先化简，再求值

75 分）

÷（﹣ m﹣ 1），其中 m＝ ﹣ 2．

17 ．（ 9 分）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节

人目”的问卷调查 （每人只填写一项） ，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图 （如图所示） ，

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根据要求回答下列问题：

（ 1）本次问卷调查共调查了

名观众；图 ② 中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的

百分比为

；

（ 2）补全图 ① 中的条形统计图；

（ 3）现有最喜爱“新闻节目”（记为 A），“体育节目”（记为 B），“综艺节目（记为 C），“科普节目”（记为 D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列

表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“

B”和“ C ”两位观众的概率．

18．（ 9 分）如图，在平面直角坐标系

xOy 中，一次函数 y＝x+b 的图象经过点 A（﹣ 2， 0），与反

比例函数 y＝ （ x＞ 0）的图象交于 B（ a，4）．

（ 1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（ 2）设 M 是直线 AB 上一点，过

M 作 MN ∥ x 轴，交反比例函数 y＝ （ x＞ 0）的图象于点 N，

若 A，O， M，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点

M 的坐标．

19．（ 9 分）如图， PA 与 ⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥ OP，垂足为 C，交 ⊙ O 于点 B．连接 PB，

AO，并延长 AO 交 ⊙ O 于点 D ，与 PB 的延长线交于点

E．

（ 1）求证： PB 是 ⊙ O 的切线；

（ 2）若 OC＝ 3， AC＝ 4，求 sinE 的值．

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20．（ 9 分）某区域平面示意图如图，点

O 在河的一侧， AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路．甲侦

测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45°，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7°，测得 AC

＝ 840m， BC＝ 500m，请求出点 O 到 BC 的距离．

（参考数据 sin73.7°≈

， cos73.7°≈ ， tan73.7°≈ ）

21．（10 分）某公司投入研发费用

80 万元（ 80 万元只计入第一年成本） ，成功研发出一种产品． 公

6 元 / 件．此产品年销售

司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为

量 y（万件）与售价 x（元 /件）之间满足函数关系式

y＝﹣ x+26．

（ 1）求这种产品第一年的利润

W1（万元）与售价 x（元 /件）满足的函数关系式；

（ 2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（ 3）第二年，该公司将第一年的利润20 万元（ 20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产

品的生产成本降为

5 元 /件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，

12 万件．请计算该公司第二年的利润

W2 至少为多少万元．

，连接 CC’

另外受产能限制，销售量无法超过

22．（ 10 分）如图 ① ，在正方形 ABCD 和正方形 AB 'C'D'中， AB ＝ 2，AB '＝

（ 1）问题发现： ．

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根据正切的定义用

x 表示出 BM，根据题意列式计算即可．

【解答】 解：作 OM ⊥ BC 于 M，ON⊥ AC 于 N，

则四边形 ONCM 为矩形，

∴ ON＝ MC， OM ＝NC，

设 OM ＝x，则 NC＝ x， AN＝ 840﹣ x，在 Rt△ ANO 中，∠ OAN ＝ 45°，

∴ ON＝ AN＝ 840﹣ x，则 MC ＝ ON＝ 840﹣ x，

在 Rt△ BOM 中， BM ＝

x，

由题意得， 840﹣ x+

x＝ 500，

解得， x＝480，

答：点 O 到 BC 的距离为 480m．

【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．

21．【分析】 （ 1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；

（ 2）构建方程即可解决问题；

（ 3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；

【解答】 解：（ 1）W1＝（ x﹣ 6）（﹣ x+26）﹣ 80＝﹣ x2

+32x﹣ 236．

（ 2）由题意： 20＝﹣ x2

+32x﹣ 236．

解得： x＝16，

答：该产品第一年的售价是

16 元．

（ 3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 件．

--

万

12

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∴ 14≤ x≤16，

2

W2＝（ x﹣ 5）（﹣ x+26）﹣ 20＝﹣ x+31x﹣ 150，

∵抛物线的对称轴

x＝ 15.5，又 14≤ x≤ 16，

∴ x＝ 14 时， W2 有最小值，最小值＝ 88（万元）， 答：该公司第二年的利润

W2 至少为 88 万元．

【点评】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．

22．【分析】 （1）如图 ① 中，延长 D′ C′交 BC 于 H ．证明△ CC′ H 是等腰直角三角形即可解决

问题．

（ 2）结论：

＝ ，值不变．如图 ② 中，连接 AC，AC′．证明△ BAB ′∽△ CAC′即可解

决问题．

（ 3）分两种情形画出图形分别求解即可．

【解答】 解：（ 1）如图 ① 中，延长 D′ C′交 BC 于 H．

由题意四边形 BHC′ B′，四边形 CHDD ′ D 都是矩形，

∴ BB′＝ HC′， DD ′＝ CH ， ∵ AB＝ AD ，

∴ BB′＝ DD ′，

∴ CH＝ HC′，

∵∠ CHC′＝ 90°，

∴△ CHC′是等腰直角三角形，

∴

＝

．

＝ ．

故答案为

--

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（ 2）结论：

＝ ，值不变． 理由：如图 ② 中，连接

AC， AC′．

∵四边形 ABCD ，四边形 AB ′C′D ′都是正方形，

∴∠ BAC＝∠ B′ AC′＝ 45°，

＝ ＝ ，

∴∠ BAB′＝∠ CAC′，

∴△ BAB′∽△ CAC′，

∴

＝ ＝ ．

（ 3）如图 ③ ﹣ 1 中，当 C， C′， D ′共线时．易知 AC＝ 2

， AD∴ CD′＝

＝ ，

∴ CC′＝﹣ ， ∴ BB′＝CC ′＝﹣1

如图 ③ ﹣2 中，当 C， D′， C′共线时，同法可得 CC′＝ + ，--

，

BB′＝ CC′＝ +1．

′＝

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综上所述，满足条件的 BB′的长为

+1 或 ﹣1．

【点评】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类

讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

23．【分析】 （ 1）先根据已知求点

A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

2

（ 2） ① 先得 AB 的解析式为： y＝﹣ 2x+2，根据 PD ⊥ x 轴，设 P（x，﹣ x﹣ 3x+4），则 E（ x，﹣

2x+2），根据 PE＝ DE，列方程可得 P 的坐标，先求出点 E 的坐标，从而得 PE＝ 2，根据 S

△PAB

＝ S△PAE+S△ PBE＝ × PE×（ xB﹣ xA）计算可得；

② 先设点 M 的坐标，根据两点距离公式可得 AB，AM ， BM 的长，分三种情况：△ ABM 为直角

三角形时，分别以 A、 B、 M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点 【解答】 解：（ 1）∵ B（1， 0）， ∴ OB＝ 1，

∵ OC＝ 2OB＝2， ∴ C（﹣ 2， 0），

Rt△ ABC 中， tan∠ ABC＝ 2， ∴ ∴

M 的坐标．

＝ 2， ＝ 2，

∴ AC＝ 6，

∴ A（﹣ 2， 6），

2

把 A（﹣ 2， 6）和 B（1， 0）代入 y＝﹣ x+bx+c 得：

解得：

，

，

∴抛物线的解析式为：

2

y＝﹣ x﹣ 3x+4；

--

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（ 2） ① ∵A（﹣ 2， 6）， B（ 1， 0），易得 AB 的解析式为： y＝﹣ 2x+2，

2

设 P（x，﹣ x﹣ 3x+4），则 E（ x，﹣ 2x+2），

∵ PE＝ DE ，

2

∴﹣ x﹣ 3x+4﹣（﹣ 2x+2）＝ （﹣ 2x+2），

x＝ 1（舍）或﹣ 1，

∴ P（﹣ 1， 6）；

在 y＝﹣ 2x+2 中 x＝﹣ 1 时， y＝ 4，即 E（﹣ 1，4），则 PE＝ 2，

∴

S

△ PAB

＝

S

△ PAE

+S△ PBE

＝ ×PE×（ xB﹣ xA） ＝ × 2×（ 1+2）

＝ 3；

② ∵ M 在直线 PD 上，且 P（﹣ 1，6），

设 M（﹣ 1，y），

∴ AM ＝（﹣ 1+2 ）+（ y﹣ 6）＝1+ （ y﹣6） ，

2222

2 2 2 2

BM ＝（ 1+1） +y ＝ 4+y ，

222

AB＝（ 1+2 ）+6＝ 45， 分三种情况：

i ）当∠ AMB ＝ 90

222°时，有 AM +BM＝ AB，

2

∴ 1+（ y﹣6） +4+ y＝45，

2

解得： y＝3±

，

∴ M（﹣ 1，3+

）或（﹣ 1，3﹣

）；

222

ii ）当∠ ABM ＝90°时，有 AB+BM＝ AM，

22

∴ 45+4+y＝ 1+（ y﹣ 6） ，

y＝﹣ 1，

∴ M（﹣ 1，﹣ 1），

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222

iii ）当∠ BAM＝ 90°时，有 AM+AB ＝ BM ，

22

∴ 1+（ y﹣6） +45 ＝4+y，

y＝

，

∴ M（﹣ 1，

）；

综上所述，点

M 的坐标为：∴ M（﹣ 1， 3+ ）或（﹣ 1， 3﹣ ）或（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1，

）．

【点评】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定

理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思

想的应用．

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222

iii ）当∠ BAM＝ 90°时，有 AM+AB ＝ BM ，

22

∴ 1+（ y﹣6） +45 ＝4+y，

y＝

，

∴ M（﹣ 1，

）；

综上所述，点

M 的坐标为：∴ M（﹣ 1， 3+ ）或（﹣ 1， 3﹣ ）或（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1，

）．

【点评】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定

理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思

想的应用．

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