高数08下21

第七节 偏导数在几何上的应用

一、空间曲线的切线和法平面

?x???t??空间曲线的参数方程为?y???t?，P0?x0,y0,z0?z???t???为曲线上一

固定点，P?xX?x0x?x0?Y?y0y?y0,y,z?为曲线上任意点。过两点可作直线： Z?z0z?z0?，其方程还可写为

X?x0?x?tY?y0?y?tZ?z0?z?t??

当P?P0（即?t?0）时，直线方程可写成

X?x0???t0??Y?y0???t0??Z?z0???t0?

此即为曲线在P处的切线方程t为P点对应的参数。

000?向量T?????t0?,???t0?,???t0??为曲线在P0点的切向量。

曲线的法平面方程：

???t0??xt?x0?????t0??y?y0?????t0??z,?z0??0。

例1：求曲线x?1?t,y?t?1t,z?t2在点????233?,4?2?处的切线

和法平面方程。 解：点????x???2??231,3?,4?2?对应的t值为t??2。

19?1?t?2t??2?，y???2??1t2t??2?14，z???2??2tt??2??4

所求切线方程为：

x?1923?y?32?z?41?44

法平面方程为：

1?2?1?3??x????y???4?z?4??09?3?4?2?

如果曲线方程为一般方程??x?x?程?y???x? ?z???x???F?x,y,z??0?G?x,y,z??0,无妨设已化为参数方

切线方向向量为?1,???x?,???x???Fx?Gx???1,?Fy??Gy?FzGzFzGz,?FyGyFyGyFx??Gx??Fz?Gz??

??Fy??G??yFzGz,?FxGxFzGz,FxGxFy????FxGy??Gx?i?jFyGy?kFzGz

例

?x?y?z?42：求曲线??3x?2y?1?0y,z??x?y222222在点?1,?2,1?处的切线和法平面。

解：设F?x,?z?4,G?x,y,z??3x?2y?1

?2,Gz?0Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z;Gx?3,Gy

Fx?1,?2,1??2,Fy?1,?2,1???4,Fz?1,?2,1??2Gx?1,?2,1??3,Gy?1,?2,1??2,Gz?1,?2,1??0

?i?j?42x?1?4?k2???4,6,16? 0?y?26?z?116 23 所求切线方程为：

法平面方程为：?4?x?1??6?y?2??16?z?1??0 二、曲面的切平面和法线

曲面的一般方程为：F?x,y,z??0，P?x00,y0,z0?为曲面上一

点。过此点在曲面上可作无数条曲线，设曲线的参数方程为

?x???t???y???t?，过P0?z???t??X?x0Y?y0Z?z0的切线方程为

???t0?????t0?????t0?

把曲线方程代入曲面方程得：F???t?,??t?,??t???0，对t求导 得

Fx???t??Fy???t??Fz???t??0

当t?t0时，

??0Fx?x0,y0,z0????t0??Fy?x0,y0,z0????t0??Fz?x0,y0,z0????t0

设n???Fx?x0,y0,z0?,Fy?x0,y0,z0?,Fz?x0,y0,z0??，此向量称为曲

面在点P的法向量。平面

0Fx?x0,y0,z0??x?x0??Fy?x0,y0,z0??y?y0??Fz?x0,y0,z0??z?z0??0

称为曲面在P点的切平面。

0直线

P0x?x0Fx?x0,y0,z0??y?y0Fy?x0,y0,z0??z?z0Fz?x0,y0,z0?称为曲面在

点的法线。

2例3：求椭球面x程和法线方程。 解：设F?x,y,z???2y2?3z2?15在点?1,?1,2?处的切平面方

x?2y22?3z2?15

Fx?1,?1,2??2,Fy?1,?1,2???4,Fz?1,?1,2??12所求切平面方程为：2?x?1??4?y?1??12?z?2??0

法线方程为：

x?12?y?1?4?z?212

注：若曲面方程为z?f?x,y?，则可设F?x,y,z??z?f?x,y?

?f?x?f?y,Fz?1

Fx??,Fy??此曲面在点?x,例4：求曲面z解:曲面z?x2y,z?处的法向量为??fx,?fy,1? ?x22?y2与平面2x?4y?0z?0平行的切平面方程。

?y过点?x0,y0,z0?的法向量为??2x0,?2y0,1?

y0??z?z0?022则切平面方程为?2x?x?x??2y?y?00

?2x0x?2y0y?z?x0?y0?0因为切平面与平面2x?4y??2x02??2y04z?0平行，所以

??1?x0?1,y0?2

所求切平面为：?2x?4y?z?5?0 例5：求函数uM?x2?y2?z2在椭球面

xa22?yb22?zc22?1上点

0?x0,y0,z0?处沿外法方向的方向导数。

xa22解：椭球面

?yb22?zc22?1上点M0?x0,y0,z0?处法向量为

2y02z0??2x0,?2,22?abc??（怎么判定以外法向量，这正是外法向量）

化为方向相同的单位向量：

???????x0a2x02y0,b2x02z0,c2x022y02z02z0a4?2y0b4?2z0c4a4?2y0b4?c4a124?b4?c4???????

所求方向导数为：?u??2???44?a4?lbc?2x02y02z0?????。

例6：证明：曲面z?y??xf???x?在任意点的切平面都经过原点，

其中f具有连续偏导数。 解：曲面z?y??xf???x?在任意点?x0,y0,z0?处法向量为：

??y0??f???x0???yy??0f??0??x0??x0??y?,?f??0????x0???,1????

切平面方程为：

??y??y???y?y??f?0??0f??0???x?x??f??0??y?y??z?z?0000????????xxxx0000??????????y??y???y??y?y??f?0??0f??0??x?f??0?y?z?xf?0??z?000??????????xxxxx0?0??0???0??0????y??y???y?y??f?0??0f??0??x?f??0?y?z?0????????x0?x0??x0???x0??

命题结论得证。

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