2018年高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案理

专题13 导数的概念及其运算

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

1

3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；

x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率Δlimx→0 x0处的导数，并记作f′(x0)，即Δlimx→0

＋Δ

Δx＋Δ

Δx

－－

＝l，通常称为f(x)在点＝f′(x0)．

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．

2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式

y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ (x>0，μ≠0) y＝ax (a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn－1，n为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y′＝axln a y′＝ex 1y′＝ xln a1y′＝ xy′＝cos x y′＝－sin x 4．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

- 1 -

(3)?

???′＝??

－

(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

高频考点一 导数的运算

例1、分别求下列函数的导数： 11??(1)y＝exln x；(2)y＝x?x2＋＋?； xx3??xx

(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln1＋2x.

22

1

解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·

x1??＝ex?ln x＋?. x??

12

(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. x2x311

(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.

221

(4)∵y＝ln1＋2x＝ln(1＋2x)，

2111

∴y′＝··(1＋2x)′＝. 21＋2x1＋2x

【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少

差错，常用求导技巧有：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； cos x(2)y＝；

ex

π??π??(3)y＝xsin?2x＋?cos?2x＋?； 2??2??

(4)y＝ln(2x－5).

解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

- 2 -

(2)y′＝?

?cos x?′＝（cos x）′ex－cos x（ex）′

?（ex）2?ex?

sin x＋cos x

＝－.

ex

高频考点二 导数的几何意义

例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点 (1，2)处的切线方程是________.

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )

A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0

解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.

因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.

则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0).

??y0＝x0ln x0，

又∵f′(x)＝1＋ln x，∴?

?y0＋1＝（1＋ln x0）x0，?

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

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答案 (1)2x－y＝0 (2)B

【方法规律】(1)求切线方程的方法：

①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；

②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.

(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【变式探究】(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2

1

(2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

2x0＝－1，????11

＝1，解析 (1)设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有?解得?y0＝0， x0＋ax＋a

?

??y0＝ln（x0＋a），?a＝2.11

(2)∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋. 2x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，

1

∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，

x1

∴a＝x＋≥2(x>0).

x

答案 (1)B (2)[2，＋∞)

【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

1

解析 法一 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.

x

∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. ∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，

∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).

??y＝2x－1，由?消去y，得ax2＋ax＋2＝0. ?y＝ax2＋（a＋2）x＋1?

y0＝x0＋1，

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

法二 同法一得切线方程为y＝2x－1.

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1). ∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).

1???x0＝－，?2ax0＋（a＋2）＝2，2 由?解得?

?0＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，?ax2??a＝8.答案 8

高频考点三、导数与函数图象的关系

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例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )

答案 D

【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由

??y1＝?

?y0－y1＝?

，

－

求解即可．

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

π

【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)的导函数，

4则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为( ) A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________． 答案 (1)C (2)－e

解析 (1)由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x

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得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x， πππ

则a＝f′()＝3－2sin＋2cos＝1.

422

由y＝x3得y′＝3x2，

当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3. 又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．

故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.

当P点不是切点时，设切点为(x0，x30)， ∴切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，

∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1. ∴1－x30＝3x20(1－x0)， ∴2x30－3x20＋1＝0，∴2x30－2x20－x20＋1＝0， 1??1

∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为?－，－?，

8??213?1?

∴此时的切线方程为y＋＝?x＋?，

84?2?

综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x0，x0lnx0)，

1

由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1，

x得切线的斜率k＝lnx0＋1，

故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)， 整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得

?lnx0＋1＝2，????－x0＝m，

解得x0＝e，故m＝－e.

【2016高考山东理数】若函数y?f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y?f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ） （A）

y?sinx （B）

y?lnx

xy?e（C） 3y?x（D）

【答案】A

?【解析】当y?sinx时，y?cosx，cos0?cos???1，所以在函数y?sinx图象存在两点，

x3y?lnx,y?e,y?x使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A。

【2015高考福建，理10】若定义在R上的函数

f?x? 满足

f?0???1 ，其导函数

f??x? 满

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足

f??x??k?1 ，则下列结论中一定错误的是（ ）

?1?1f???A．?k?k B．

【答案】C

1?1?f????k?k?1 C．1?1?f????k?1?k?1 D． k?1?f????k?1?k?1

【2014·安徽卷】设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 【解析】解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

－1－4＋3a

令f′(x)＝0，得x1＝，

3－1＋4＋3ax2＝，x1

3所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当xx2时，f′(x)<0； 当x10.

－1－4＋3a??－1＋4＋3a??

故f(x)在?－∞，?和 ?，＋∞?内单调递减，

33????在?

?－1－4＋3a－1＋4＋3a?，?内单调递增．

33??

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1.

由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0

由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， －1＋4＋3a

所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．

3

又f(0)＝1，f(1)＝a，

所以当0

当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值； 当1

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【2014·安徽卷】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

1p－1c1

(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a1n－p，证明：an＞an＋1＞c. pppp

【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c1

p.

①当n＝1时，由题设知a1>c1

p

成立．

1

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>cp成立． 由an＋1＝p－1pan＋c

pa1n－p易知an>0，n∈N*.

当n＝k＋1时，ak＋1ak＝p－1c

p＋pak－p＝

1＋1?p?c?ap

k－1???.

由ak>c111?cap

?p>0得－1<－p

p

p

由(1)中的结论得??ak＋1?ak???＝???1＋1?p?c?apk－1??????>1＋p· 1?cp??apk－1???＝capk. 因此apk＋1>c，即ak＋1>c1

p

，

所以当n＝k＋1时，不等式an>c1

p

也成立．

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c1

p均成立．

再由an＋11?c?an＋1an＝1＋p??apn－1??可得an<1，

即an＋1

综上所述，an>an＋1>c1

p

，n∈N*.

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1

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋

p11)>f(c)，

p

1

即有ak＋1>ak＋2>c，

p

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

1

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．

p

【2014·福建卷】已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

当xln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．

- 9 -

1

②若01，要使不等式x2kx2成立．

c而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立． 2x－2

令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.

xx

所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．

取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．

又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k， 易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0. 16

即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

c

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．

1

(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有x3

3

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