7.线性二次型最优控制

现代控制理论基础讲义 第五章 极点配置与观测器设计

Chapter7 线性二次型最优控制

稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用Lyapunov稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。

7.1 二次型最优控制

在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。对于

??Ax?Bu y?Cx （7-1） x系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： J??[xTQx?uTRu]dt （7-2）

0?Q是对称正定（半正定）加权矩阵，R是对称正定加权矩阵，他们反映了设

计者对状态x和控制u中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态x衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q、R，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u，使J最小。

若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：

u??Kx （7-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得

??(A?BK)x （7-4） x若系统是渐近稳定的，矩阵A?BK所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P的二次

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型Lyapunov函数V(x)?xTPx，利用系统的稳定性可得

J????dd?T?TxQx?uRu?V(x)?dt??V(x)?dt ?0dtdt??0 ??xTQx?uTRu?xTP(A?BK)?(A?BK)TPxdt?V[x(t)]t?0

0T??xTQ?KTRK?PA?ATP?PBK?KTBTPxdt?x0Px0 0??????t????对上式“下划线”部分“+”“-”PBR?1BTP进行配平方得到

KTRK?PBK?KTBTP?PBR?1BTP?PBR?1BTP ?(K?R?1BTP)TR(K?R?1BTP)?PBR?1BTP 可得

T J??xTQ?PA?ATP?PBR?1BTPxdt?x0Px0

0??? ??xT(K?R?1BTP)TR(K?R?1BTP)xdt （7-5）

0?求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K，是性能指标J最小化。 由（7-5）只有第三项依赖于矩阵K，而且是非负的，只有当第三项等于零J才能最小，当且仅当

K?R?1BTP （7-6）

K依赖于正定对称矩阵P，特别是当可以找到一个P，满足Riccati方程

?1T PA?ATP?PBRBP?Q?0 （7-7）

T此时 J?x0Px0 （7-8）

??(A?BR?1BTP)x （7-9） 闭环系统方程为 x最优状态反馈控制器为 u??R?1BTPx （7-10） 可以证明，确实有

dV(x)??x?TPx?xT[P(A?BR?1BTP)?(A?BR?1BTP)TP]x ?xTPxdt?1T?1T ?xT[PA?PBRBP?ATP?PBRBP]x (利用了P的对称性)

??Q(7?7) ??xT[Q?PBR?1BTP]x?0 (利用了Q、R、P的正定对称性) 这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）u??R?1BTPx是稳定的。 稳定化的最优控制状态反馈控制器的设计步骤小结：

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（1）求解Riccati方程（7-7）PA?ATP?PBR?1BTP?Q?0，结合利用矩阵正定 性、对称性要求，确定P；

（2）将求得的正定对称矩阵P代入（7-10）u??R?1BTPx

如果二次性能指标中是输出向量，即

J??[yTQy?uTRu]dt y?Cx

0? J??[xTCTQCx?uTRu]dt 相当于Q?Q??CTQC

0??1??01??x1??0??x例7-1 （P187例7.1.2）对如图控制系统???00????1??u（虚线框部分方?x????x???????2????2??程，显然系统只是“临界”稳定的），设计一个最优状态反馈控制器u(t)??Kx(t)，

????0?T?12???使系统性能指标J???x?。 x?u?dt??0最小（Q对称正定）?00?R?1?????Q??

解： 写出Riccati方程PA?ATP?PBR?1BTP?Q?0

?p11???p?12p12??01??00??p11???00?????10????p22?????p12??p12??p11????p22???p12p12??0??10????1??(1)(01)???0????0 p22??????上式有三个独立方程，再结合利用P正定性要求，

?p11其解为 ??p?12p12????2????p22???1?? ??2??1于是，系统的最优控制器为

???2 u??R?1BTPx??1?(01)???1???x1??????x1???2x ????2???x2?11?0??x1??1T?????此时，相应的闭环系统为 x?(A?BRBP)x??特征值为 ??，??1???2x???2?s1,2?1(???2???2)（系统是渐近稳定的）。 23

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7.2 应用Matlab求解二次型最优控制

在Matlab中，函数

[K,P,E]?lqr(A,B,Q,R) （7-11） 给出了相应二次型最用控制问题的解。函数输出变量中的K是最优反馈增益矩阵，P是Riccati方程（7-7）的对称正定解矩阵，E是最优闭环系统的极点。

???010??x1??0??x?1????????2???001??x2???0?u，设计一个最优例7-2（P190例7.2.2）对系统?x?x?????????3???35?27?9??x3??1?状态反馈控制器u(t)??Kx(t)，使系统性能指标J??3阶单位矩阵）。

?0?T?2?xI3x?u?dt最小（Q为

R?1????Q?解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，执行以下m-文件

A?[010;001;-35-27-9]； B?[0;0;1]；

Q?[100;010;001]； R?[1]；

[K,P,E]?lqr(A,B,Q,R)

可得

K?

0.01430.11070.0676P?4.26252.49570.0143

2.49572.81500.11070.01430.11070.0676E?-5.0958

-1.9859?1.7110i-1.9859?1.7110i因此，系统的最优状态反馈控制器为 u??[0.01430.11070.0676]x 检验最优闭环系统对初始状态x0?[100]T的响应，执行以下m-文件

A?[010;001;-35-27-9]；

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B?[0;0;1]；

K?[0.01430.11070.0676]

sys?ss(A-B*K,eye(3),eye(3),eye(3))；

t?0:0.01:8

x?initial(sys，[1;0;0]，t) x1?[100]*x?； x2?[010]*x?； x3?[001]*x?；

subplot(2，2，1)；plot(t，x1)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x1')

subplot(2，2，2)；plot(t，x2)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x2')

subplot(2，2，3)；plot(t，x3)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x3')

得到如图响应曲线

?例7-3（P?x?1??010??x1??0?192例7.2.3）系统?x???????001????x?????0?22?u，y?(1?x?3????0?2?3????x3????1??中x?(xT1x2x3)?(yy??y?)T，设r为参考输入，控制信号

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00)x，其

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