第九章欧氏空间习题

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第九章欧氏空间习题

一、填空题

1．设V是一个欧氏空间，??V，若对任意??V，都有(?,?)?0，则??______。 2．在n维欧氏空间V中，向量?在标准正交基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn)，那么(?,?i)?____，|?|?____。

3．若A?(aij)3?3?a11x1?a12x2?a13x3?b1?是一个正交矩阵，则方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2的解

?ax?ax?ax?b?3113223333为。

?1?10???4.已知三维欧式空间V中有一组基(a1,a2,a3)，其度量矩阵为A??120，则

???003???向量??2?1?3?2??3的长度为。

5.设?2中的内积为(?,?)??'A?，A???21??则在此内积之下的度量矩阵?12?为。

6．设?1?(0,1,)?，若?与?2正交，则k? 。 ?2?(2,1,?2)，??k?1??2，

?200???7．若欧氏空间V在某组基下的度量矩阵为031，某向量在此组基下的坐标为

???011???(1,1,1),则它的长度为，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,?1,1)的夹角为。

8．在欧氏空间中，若?,?线性相关，且??2,??3，则(?,?) 。

0??11??09．A?1k??是度量阵，则k必须满足条件______________。

?00k?2???10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是。

11. 在欧氏空间R中，向量??(1,0,?1)，??(0,1,0)，那么(?,?)=___________，

3?=___________。

12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。

?113. 已知A是一个正交矩阵，那么A=__________，A＝__________。

214. 已知A为n阶正交阵，且A?0，则A= 。 15. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。 16.设X??1,1,0,0?',Y??1,0,0,1?'，则X与Y的夹角?? 。

17.在n维欧氏空间V中，n级矩阵A是V某个基的度量矩阵的充要条件是。二、判断题

1．在实线性空间R2中，对向量

??(x1,x2)，??(y1,y2)，定义

R2构成欧氏空间（） (?,??)x1y1?x2?y2，那么12．在实线性空间R中，对于向量??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，定义

n(?,?)?a1b1，则Rn构成欧氏空间。（）

3．

?1,?2,?,?n是欧氏空间V的一组基，对于V中任意向量?,?，均有

（(x1,x2,?,xn)，），(?,?)?x1y1?x2y?(y1,y2,?,yn)分别是在此基下的坐标）2??xnyn，则此基必为标准正交基。（）

4．欧氏空间R中的线性变换可以将椭圆映射成圆。（） 5．V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。 ( ) 6．设V是一个欧氏空间，?,??V，??（） ?，则???与???正交。

7．设V是一个欧氏空间，?,??V,并且(?,?)?0，则?,?线性无关。（） 8．若?,?都是欧氏空间V的对称变换，则??也是对称变换。（） 9．欧氏空间R中，?(x?y)?(2x?y,x?2y)为对称变换。（）

nV中向量?,?的夹角为10．?是欧氏空间V的线性变换，

????,，而?2的夹角为

?，3则?不是V的正交变换。（）

11.?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A?aij是正定矩阵。( )

12. 欧氏空间R中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（） 13. 若T是正交变换，则T保持向量的内积不变（） 14. 正交矩阵的行列式等于1 （）

15. 欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）

16. 设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。（） 17. 在欧氏空间V中，若向量?与自身正交，则??0。( )

n??n?n，其中aij?(?i,?j)，则A

18. 设A是n维欧氏空间V的正交变换，则A在V任意基下的矩阵是正交矩阵。( ) 19. 设V1,V2是n维欧氏空间V的两个正交子空间且V?V1?V2，则V?V1?V2。( ) 20. 实对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。( ) 三．选择题

1．关于欧几里得空间，下列说法正确的是（） (A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间； (B)欧几里得空间未必是线性空间； (C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间； (D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。

2．设?,?是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（）（A）???(C)

22???? （B） ???????

2222??????? （D）???????

3．对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（）（A）一定有n个不同的特征根；（B）存在正交矩阵P，使P'APP?AP成对角形；（C）它的特征根一定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 4．设?是n维欧氏空间V的对称变换，则（）（A）?只有一组n个两两正交的特征向量；（B）?的特征向量彼此正交；（C）?有n个两两正交的特征向量；

（D）?有n个两两正交的特征向量??有n个不同的特征根。

5．??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，定义：(?,?)?k1a1b1?k2a2b2???knanbn，则满足下列何中情况可使R作成欧氏空间（）（A）k1?k2???kn?0；（B）k1,k2,?,kn是全不为零的实数；（C）k1,k2,?,kn都是大于零的实数；（D）k1,k2,?,kn全是不小于零的实数

6．??(a1,a2,a3)，??(b1,b2,b3)，M为三阶实方阵，定义(?,?)??M?'，下列可使定义作为R的内积的矩阵是（）

n?0?12??11?1?????（A）M??31?3?；（B）M??310?；

?120??102??????200??702?????（C）M??010?；（D）M??041?.

?003??213??????100???33

7．若欧氏空间R的线性变换?关于R的一个标准正交基矩阵为A??000?，则下

?00?1???列正确的是（）（A）?是对称变换；（B）?是对称变换且是正交变换；（C）?不是对称变换；（D）?是正交变换。

8．若?是n维欧氏空间V的一个对称变换，则下列成立的选项是（）（A）?关于V的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵；（B）?关于V的任意基的矩阵都是对称矩阵；（C）?关于V的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵；（D）?关于V的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。

9．若?是n维欧氏空间V的对称变换，则有（）（A）?一定有n个两两不等的特征根；（B）?一定有n个特征根（重根按重数算）；（C）?的特征根的个数?n；（D）?无特征根。 10．?????a1a2??b1b2?2?22?2,??????R，如下定义实数(?,?)中做成R内积的是（）

?a3a4??b3b4?（A）(?,?)?a1b1；（B）(?,?)?a1b1?a2b2?a3b3?a4b4；（C）(?,?)?a1a3?a4b4；（D）(?,?)?a1b1?2a2b2?3a3b3?4a4b4. 11. 若线性变换?与?是（），则?的象与核都是?的不变子空间。

A.互逆的 B. 可交换的 C. 不等的 D. 不可换的

12. 设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（）

A.若(?,?)?(?,?)????； B.若???????；