广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷(文科)

广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．（5分）设集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x﹣4=0}，则A∩B=（） A． {﹣2} B． {2} C． {﹣2，2} D． 2．（5分）复数z=i （1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3．（5分）命题“ x∈R，x﹣2x+4≤0”的否定为（）

22

A． x∈R，x﹣2x+4≥0 B． x∈R，x﹣2x+4＞0

22

C． x R，x﹣2x+4≤0 D． x R，x﹣2x+4＞0

4．（5分）已知向量 A．

B．

，

C．

，则

=（） D．

2

2

5．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A． y=ln（x﹣1）

B． y=|x﹣1|

C．

D．y=sinx+2x

6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）

A． ﹣6

B． 2 C． 3 D．4

）的部分图象如图所示，

7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤则函数y=f（x）的表达式是（）

A． C．

2

B．

D．

8．（5分）方程x+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（） A．

9．（5分）圆心为 （1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长是（） A． 8 B． 6 C． 6 D．4 10．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A． y= B． y= C． y= D．y= 二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．（5分）抛物线x+4y=0的准线方程是．

12．（5分）在等比数列{an}中，a5=4，a7=8，则a9=．

13．（5分）△ABC中，

，BC=3，

，则∠C=．

2

B．

C．

D．

三、解答题（共2小题，满分5分）（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．以原点O为

极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为

，则直线l和曲线C的公共点有 个．

15．如图，在半径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A、O之间）．若CE=，则AE=．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）设向量（1）若（2）设函数

，求x的值；

，求f（x）的最大值．

，

，

．

17．（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．

18．（14分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面ABC⊥平面MDO； （3）求三棱锥D﹣ABC的体积．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足（1）证明：数列{（2）求Sn及an．

}为等差数列；

20．（14分）已知椭圆C过点

椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

21．（14分）设函数f（x）=alnx+切线斜率为0， （1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜

，求a的取值范围．

是椭圆的左焦点，P、Q是

x﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的

2

广东省惠州市2015届高三上学期第二次调研数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

2

1．（5分）设集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x﹣4=0}，则A∩B=（） A． {﹣2} B． {2} C． {﹣2，2} D．

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

2

分析： 先求出方程x﹣4=0的实数根，即求出集合B，再由交集的运算求出A∩B．

2

解答： 解：由方程x﹣4=0，解得x=±2，则B={﹣2，2}， 又集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，所以A∩B={﹣2}， 故选：A．

点评： 本题考查了交集及其运算，属于基础题． 2．（5分）复数z=i （1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题．

分析： 化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 解答： 解：z=i （1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选B．

点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．

3．（5分）命题“ x∈R，x﹣2x+4≤0”的否定为（）

22

A． x∈R，x﹣2x+4≥0 B． x∈R，x﹣2x+4＞0

22

C． x R，x﹣2x+4≤0 D． x R，x﹣2x+4＞0

考点： 全称命题；命题的否定． 专题： 计算题．

分析： 本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．

2

解答： 解：∵命题“ x∈R，x﹣2x+4≤0”，

2

∴命题的否定是“ x∈R，x﹣2x+4＞0” 故选B．

点评： 本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．

2

4．（5分）已知向量 A．

B．

，

C．

，则=（） D．

考点： 向量的加法及其几何意义． 专题： 平面向量及应用．

分析： 根据平面向量的加法运算法则，进行加减运算即可．

解答： 解：∵向量∴∴﹣

=

+

，，

=（3﹣2，7+3）=（1，10），

=（﹣，﹣5）．

故选：C．

点评： 本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应根据平面向量的线性运算进行解答，是基础题． 5．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A． y=ln（x﹣1）

B． y=|x﹣1|

C．

D．y=sinx+2x

考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 结合对数函数，指数函数，三角函数的图象及性质，分别对各个选项进行判断，从而得出答案．

解答： 解：对于A：定义域是（1，+∞），∴y=ln（x﹣1）在（1，+∞）递增， 对于B：y=|x﹣1|在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

对于C：

y=在（0，+∞）递减，

对于D：y'=cosx+2＞0，所以y=sinx+2x在区间（0，+∞）上为增函数， 故选：D．

点评： 本题考查了函数的单调性问题，考查了对数函数，指数函数，三角函数的性质，是一道基础题．

6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）

A． ﹣6 B． 2 C． 3 D．4

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最小值即可．

解答： 解：由约束条件画出可行域如图所示，则根据目标函数画出直线由图形可知将直线l0平移至A点取得z的最小值， 解方程组

得

，即A（1，1）代入可得z=3．

，

故选：C．

点评： 本题考查线性规划的应用，正确画出已知条件是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力．

7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤则函数y=f（x）的表达式是（）

）的部分图象如图所示，

A． C．

B．

D．

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 利用函数的图象，求出A，得到函数的周期，求出ω，通过点的坐标代入方程，结合φ的范围求出φ，即可求出函数的解析式．

解答： 解：从图可知A=2，且将点

，得T=π，故

得

， ，

的坐标代入函数f（x）=2sin（2x+φ），且

．

所以函数y=f（x）的表达式为

故选：A．

点评： 本题考查三角函数解析式的求法，考查学生对三角函数图象的理解与应用，考查计算能力推理能力．

8．（5分）方程x+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（） A．

B．

C．

D．

2

考点： 几何概型．

专题： 常规题型；计算题．

分析： 欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．

2

解答： 解：由于方程x+x+n=0（n∈（0，1））有实根， ∴△≥0，

即1﹣4n≥0， n≤， 又n∈（0，1）， ∴有实根的概率为：P=

，

故选C．

点评： 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、二次方程等基础知识，考查计算能力．属于基础题． 9．（5分）圆心为 （1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长是（） A． 8 B． 6 C． 6 D．4

考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题；直线与圆．

分析： 利用垂径定理，结合勾股定理，可求圆心为 （1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长．

解答： 解：圆心为 （1，﹣2）到x轴的距离为2． ∵圆的半径为2，

∴圆心为 （1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长是2=8．

故选A．

点评： 本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 10．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A． y= B． y= C． y= D．y=

考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 压轴题．

分析： 根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．

代入特殊值56、57验证即可得到答案．

解答： 解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y= 也可以用特殊取值法

若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A； 故选：B．

点评： 本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法． 二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

2

11．（5分）抛物线x+4y=0的准线方程是

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 化抛物线为标准方程，即可求解准线方程．

解答： 解：化为抛物线的标准方程x=﹣4y，则2p=4，得p=2，且焦点在y轴上，所以即准线方程为y=1． 故答案为：y=1．

点评： 本题考查抛物线方程的应用，基本知识考查．

12．（5分）在等比数列{an}中，a5=4，a7=8，则a9．

考点： 等比数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

2

，

分析： 由等比数列的性质知解答： 解：由等比数列的性质知

，故可求a9．

，故a9=16．

故答案为：16，．

点评： 本题考查等比数列的性质，比较基础．

13．（5分）△ABC中，

，BC=3，

，则∠C=

．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题．

分析： 由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

解答： 解：由根据正弦定理

=

，a=BC=3，c=得：

，

sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜则∠C=

．

，

故答案为：

点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

三、解答题（共2小题，满分5分）（坐标系与参数方程选做题）

14．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为

极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为

，则直线l和曲线C的公共点有1 个．

考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： 把参数方程极坐标方程分别化为普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出．

解答： 解：由直线l的参数方程为x﹣y+4=0．

由曲线C的极坐标方程为

（t为参数），消去参数t可得：直线的普通方程

，化为

，

∴x+y=4x+4y，配方为（x﹣2）+（y﹣2）=8，圆心为C（2，2），半径r=∵圆心C到直线的距离为

，

2222

．

∴直线l和曲线C相切，公共点只有1个．

故答案为：1．

点评： 本题考查了把参数方程极坐标方程分别化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的相切性质，考查了计算能力月推理能力，属于基础题．

15．如图，在半径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A、O之间）．若CE=，则

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 立体几何．

分析： 求出OE，然后直接利用相交弦定理求出AE即可．

解答： 解：因为，且OC=r=3，所以

，

，

所以AE=OA﹣OE=3﹣2=1．或者由相交弦定理即AE （2r﹣AE）=5，且AE＜r，得AE=1． 故答案为：1．

点评： 本题考查相交弦定理的应用，基本知识的考查．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）设向量（1）若（2）设函数

，求x的值；

，求f（x）的最大值．

，

，

．

考点： 平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 专题： 平面向量及应用．

分析： （1）由条件求得从而求得x的值．

，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，

（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值． 解答： 解：（1）由题意可得

由

2

）

=

2

+sinx=4sinx，

22

=cosx+sinx=1，

22

，可得 4sinx=1，即sinx=．

． =（

2

∵x∈，∴sinx=，即x=（2）∵函数=

sinxcosx+sinx=

∈，

sinx，sinx） （cosx，sinx）

=sin（2x﹣

）+．

sin2x+

x∈，∴2x﹣∴当2x﹣

=

，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 17．（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

（1）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： （1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论；

（2）由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率． 解答： 解：（1）设事件A=“某人获得优惠金额不低于300元”

，则

．（6分）

（2）设事件B=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出两人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个，其中使得事件B成立的为b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个，则

．（12分）

点评： 本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能

力提出较高要求． 18．（14分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面ABC⊥平面MDO； （3）求三棱锥D﹣ABC的体积．

考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 计算题；证明题；转化思想．

分析： （1）利用菱形ABCD的特点，证明OM定理证明OM∥平面ABD；

AB，然后利用直线与平面平行的判定

（2）先证明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，证明OD⊥平面ABC，然后证明平面ABC⊥平面MDO．

（3）判断OD为三棱锥D﹣ABC的高，求出S△ABC，然后求解三棱锥的体积． 解答： 解：（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点， 所以O是AC的中点，又M是棱BC的中点， 所以OM是△ABC的中位线，OM

AB，

因为OM 平面ABD，AB 平面ABD， 所以OM∥平面ABD；

（2）证明：由题意，OM=OD=3， 因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM． 又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC． 因为OM∩AC=O， 所以OD⊥平面ABC， 因为OD 平面MDO，

所以平面ABC⊥平面MDO．

（3）解：由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC， 所以OD=3为三棱锥D﹣ABC的高，

因为菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°， 所以S△ABC=

=9

，

=9

．

所以所求三棱锥的体积为V，V=

即三棱锥D﹣ABC的体积9．

点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查基本知识的灵活运用，逻辑推理能力与计算能力．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足（1）证明：数列{

}为等差数列；

（2）求Sn及an．

考点： 等差关系的确定；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）利用条件求出{差数列； （2）根据{

}的通项公式，利用等差数列的定义证明：数列{}为等

}为等差数列，求Sn及an．

解答： 解（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2Sn Sn﹣1， ∴

，

∴是以为首项，2为公差的等差数列．

}为等差数列，

，

（2）∵数列{∴即

．

当n≥2时，，

∴．

点评： 本题主要考查等差数列的定义以及等差数列的通项公式，以及数列{an}的前n项和为Sn与an之间的关系．考查学生的基本运算能力．

20．（14分）已知椭圆C过点

椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；综合题；分类讨论．

是椭圆的左焦点，P、Q是

分析： （1）设椭圆C的方程为，由已知列出关于a，b的方程组，解之即得椭

圆的标准方程为；

（2）先设P（x1，y1），Q（x2，y2），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x1+x2=2，下面对x1与x2关系进行分类讨论：①当x1≠x2时，②当x1=x2时，分别求得线段PQ的中垂线方程，看它是否经过一个定点A．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

，由已知，

得，解得

所以椭圆的标准方程为，

（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由椭圆的标准方程为

，

可知

|PF|=同理

|OF|=

，

|MF|=

=，

=

∵2|MF|=|PE|+|QF|，∴

2

2

2

，∴x1+x2=2，

2

①当x1≠x2时，由，得x1﹣x2+2（y1﹣y2）=0，

∴

设线段PQ的中点为N（1，n），由

得线段PQ的中垂线方程为y﹣n=2n（x﹣1） ∴（2x﹣1）n﹣y=0，该直线恒过一定点A（，0）， ②当x1=x2时，P（1，﹣

），Q（1，

）或P（1，

，

），Q（1，﹣）

线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（，0）， ∴线段PQ的中垂线过点A（，0）．

点评： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在2015届高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．

21．（14分）设函数f（x）=alnx+切线斜率为0， （1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜

，求a的取值范围．

x﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的

2

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）利用导数的几何意义即可得出；

（2）对a分类讨论：当a性极值与最值即可得出． 解答： 解：（1）f′（x）=

时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调

（x＞0），

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+∴①当a

时，则

，

=

．

，

则当x＞1时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜解得②当则当x∈当x∈

a＜1时，则

； ，

时，f′（x）＜0，函数f（x）在时，f′（x）＞0，函数f（x）在

的充要条件是

，

上单调递减； 上单调递增．

的充要条件是

，即

，

∴存在x0≥1，使得f（x0）＜

而=+，不符合题意，应舍去．

③若a＞1时，f（1）=，成立．

综上可得：a的取值范围是． 点评： 本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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