高等数学李伟版课后习题答案第二章

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

习题2—1（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数f(x)

(x),x a, (x),x a

在分界点x a处的导数时，一般利用左、右导数的定

义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；

（3） y f(x)在x0点可导的充分必要条件是y f(x)在x0点的左、右导数都存在； （4）函数y f(x)在x0点连续是它在x0点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．

) （2）正确．一般情况下是这样，但是若已知f (x)连续时，也可以用f (x0) f (x0

（即导函数的左极限），f (x0) f (x0)（即导函数的右极限）求左右导数．

（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．

（4）不正确．f(x)在x0点连续仅是f(x)在x0可导的必要条件，而不是充分条件，如

y

3

x、y x都在x 0点连续，但是它们在x 0点都不可导．

2

2．设函数y x x，用导数定义求它在x 1点处的导数.

解：y ( 1) lim

x x 0x 1

2

x 1

limx 1．

x 1

3

．设函数y

x0 1点处的导数．

解：y (1) lim

x 1x 1

x 1

lim

1x 1

x 1

12

．

4．用定义求函数y lnx在任意一点x(x 0)处的导数．

ln(x x) lnx

x

2

解：y lim

x 0

limln[(1

x 0

xx

x11

) x]x lnex

1x

．

5． 对函数f(x) x 2x，分别求出满足下列条件的点x0： （1）f (x0) 0； （2）f (x0) 2．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

解：f (x) lim

[(x h) 2(x h)] (x 2x)

h

22

h 0

lim(2x 2 h) 2x 2，

h 0

（1）由f (x0) 0，有2x0 2 0，得x0 1； （2）由f (x0) 2，有2x0 2 2，得x0 0． 6．已知某物体的运动规律为s

12

gt，求时刻t时物体的运动速度v(t)，及加速度a(t)．

2

2

2

解：速度为v(t) s (t) lim

g(t h)/2 gt

h

g(t h) gt

h

/2

h 0

lim(gt

h 0

h2

) gt，

加速度为a(t) v (t) lim

h 0

limg g．

h 0

7．求曲线y lnx在点(1，0)处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率k y (1)

1x

x 1

1，

切线方程为：y 0 1 (x 1)，即x y 1 0； 法线方程为：y 0

11

(x 1)，即x y 1 0．

8．若函数f(x)可导，求下列极限：

f(x0 x) f(x0)

x

f(x)x

（1）lim； （2）lim

x 0x 0

（其中f(0) 0）；

（3）lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

f(x0 x) f(x0)

x

limf(x)x

； （4）lim

f(1) f(1 sinx)

x

．

h 0x 0

解：（1）lim

x 0

lim

f(x0 x) f(x0)

x

x 0

f (x0)．

（2）lim

f(x) f(0)

x 0

x 0x 0

f (0)．

（3）lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0

lim

f(x0 h) f(x0)

h

h 0

lim

f(x0 h) f(x0)

h

h 0

f (x0) f (x0) 2f (x0)．

（4）lim

f(1) f(1 sinx)

x

x 0

lim

x 0

f(1 sinx) f(1)sinx f (1) 1 f (1)．

sinxx

9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（1）y

3

x，在x 0点；

1

xarctan2，x 0，

（2）f(x) 在x 0点； x

x 0， 0，

x2,

（3）f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点．

解：（1）y

x是初等函数，且在x 0的邻域内有定义，因此y

x在x 0点连续，

因为lim

x 0x 0

x 0

lim

1x

2

x 0 （极限不存在），所以y

3

x在x 0点不可导．

（2）因为lim

xarctan(1/x) 0

x 0

2

x 0

limarctan

x 0

1x

2

2

，

1

xarctan2，x 0，

x 0f(0) 所以f(x) 在点可导，且，从而也连续． x

2 x 0， 0，

（3）因为f(1) limx 1，f(1) limx 1，f(1) 1，有limf(x) f(1)，

x 1

2

x 1

x 1

x2,

所以，f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点连续，

又f (1) lim

x 1

x 1

x 1

1，f (1) lim

x 1

x 1x 1

2

lim (x 1) 2，由f (1) f (1)，

x 1

x2,

所以，f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点不可导．

ex，x 1，

10．设函数f(x) 求f (1)．

ex，x 1，

解：因为f (1) lim

e e

x

x 1

x 1

elim

x 1

e

x 1

1

x 1

e，f (1) lim

x 1

ex ex 1

e，所以f (1) e．

11．设函数f(x)

cosx，x 0， 2x 1，x 0，

求f (x)．

解：当x 0时，f (x) (cosx) sinx，

当x 0时，f (x) (2x 1) lim

2(x h) 1 (2x 1)

h

lim2 2，

h 0

h 0

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

当x 0时，由f (0) lim

cosx 1

_

x 0

x 0

0，f (0) lim

x 0

2x 1 1x 0

2，

sinx，x 0，

于是函数在x 0点不可导，所以f(x)

2，x 0.

习题2—1（B）

1．有一非均匀细杆AB长为20 cm，又知AM的质量与从A点到点M 的M为AB上一点，距离平方成正比，当AM为2 cm时质量为8 g，求： (1) AM为2 cm时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M处的密度．

解：设AM x cm，则AM杆的质量为m(x) kx2 g，由AM 2时,m 8，得k 2，

2(x h) 2x

h

m(2)2

2

2

所以，m(x) 2x，m (x) lim

2

h 0

lim(4x 2h) 4x g/cm．

h 0

（1）AM为2 cm时，这段杆的平均线密度为（2）全杆的平均线密度为

m(20)20

80020

82

4 g/cm．

40 g/cm．

（3）点M处的密度为m (x) 4x g/cm．

ex，x 0，

a，bf(x) 2．求的值，使函数 在x 0点可导．

ax b，x 0

解：首先函数f(x)要在x 0点连续．

而f(0) lime 1，f(0) lim(ax b) b，f(0) b，

x 0

x

x 0

由f(0) f(0) f(0)，得b 1，此时f(0) 1．

又f (0) lim

e 1

x

x 0

x

1，f (0) lim

x 0

ax 1 1

x

a，由f (0) f (0)得a 1．

ex，x 0，

所以，当a 1，b 1时，函数f(x) 在x 0点可导．

ax b，x 0

3．讨论函数y tanx在x 0点的可导性．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

解：f (0) lim

tanx 0

x 0

x

lim

x 0

tanxx

1，f (0) lim

x 0

tanx 0

x

lim

x 0

tanxx

1

因为f (0) f (0)，所以函数y tanx在x 0点不可导．

4．若函数f(x)可导，且f(x)为偶（奇）函数，证明f (x)为奇（偶）函数． 证明：（1）若f(x)是偶函数，有f( x) f(x)， 因为f ( x) lim

f( x h) f( x)

h

lim

f(x h) f(x)

h

f (x)，

h 0h 0

所以f (x)是奇函数．

（2）若f(x)是奇函数，有f( x) f(x)， 因为f ( x) lim

f( x h) f( x)

h

lim

f(x h) f(x)

h

f (x)，

h 0h 0

所以f (x)是偶函数．

5．设非零函数f(x)在区间( ， )内有定义，在x 0点可导，f (0) a(a 0)，且对任何实数x，y，恒有f(x y) f(x)f(y).证明f (x) af(x)．

证明：由f(x y) f(x)f(y)，令x y 0，有f(0) f2(0)，而f(x) 0，得f(0) 1． 因为lim

f(x h) f(x)

h

f(h) 1h

lim

f(x)f(h) f(x)

h

f(h) f(0)

h

h 0h 0

f(x)lim

h 0

f(x)lim

h 0

f(x)f (0) af(x)，

所以函数f(x)可导，且f (x) af(x)． 6．求曲线y x 解：y (x) lim

1x

上的水平切线方程．

lim

[x h 1/(x h)] (x 1/x)

h

y(x h) y(x)

h

h 0h 0

lim[1

h

1x(x h)

] 1

1x

2

，

由y (x) 0，得x ，

当x 1时，y 2，此时水平切线是y 2 0(x 1)，即y 2； 当x 1时，y 2，此时水平切线是y 2 0(x 1)，即y 2．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

7．在抛物线y 1 x2上求与直线x y 0平行的切线方程． 解：对y 1 x2，导函数为：

y(x h) y(x)

h

2

y (x) lim

h 0

lim

[1 (x h)] (1 x)

h

22

h 0

lim(2x h) 2x，

h 0

设切点为(t，1 t)，则切线斜率为k y (t) 2t，而直线斜率为k1 1， 根据已知，有k k1，即 2t 1，得t 1/2，切点为( 1/2，3/4)， 切线方程为：y

34

1 (x

12

)，即4x 4y 5 0．

8．已知曲线y ax2与曲线y lnx相切，求公切线方程．

解：设切点为(x0,y0)，则两曲线在切点处的斜率分别为k1 2ax0，k2 1/x0.

2

ax0 lnx0,1

由两曲线在x x0时相切，有 得lnx0 ，即x0

2 2ax0 1/x0.

e，

此时，a

12e

，y0

12

，公切线斜率为k

1e

，

公切线方程为y

12

1e

(x e)，化简得y

1e

x

12

0.

习题2—2（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；

（2）函数y f(x)在一点x处的微分df(x) f (x) x仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．

答：（1）前者正确，根据微分的定义 y dy o( x) dy；

后者不正确，如对线性函数y ax b，恒有 y dy( a x)．

（2）不正确．因为df(x)

f (x0) x，可见df(x)

x x0x x0

不仅与f (x0)有关，还与自

变量x在该点的增量 x有关．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x点处的微分dy：

（1）y lnx； （2）y （3）y

1x

1x

3

； x（x 0）

（x 0）； （4）y 2x x2．

dxx

3

解：（1）因为y ，所以dy

3

．

x

1

(x h)

2

（2）因为y (x) lim

x h

h

h 0

lim

h 0

x(x h)

x

2

3

1

，

x

2

所以，dy

3

dx

x

2

．

（3）因为y (x) lim

1/x h 1/

h

x

h 0

lim

x

2

x h

h 0

1x

lim

1x

x h

hx xh

h 0

12xx

，

所以，dy

dx2xx

．

（4）因为y (x) lim

[2(x h) (x h)] (2x x)

h

22

h 0

lim(2 2x h) 2(1 x)，

h 0

所以dy 2(1 x)dx．

3．求下列函数在x x0点处的微分dy（1） y cosx，x0

2

x x0

：

1x

； （2）y x

sinx

1x

2

，x0 1．

解：（1）因为y sinx，所以dy

（2）因为y 1 4

．设函数y

1x

2

x /2x /2

dx dx．

，所以dy

x 1

[1

]x 1 dx 0 dx 0．

x0 1， x 0.1时函数的微分dy．

解：因为y lim

x h

h x2x

x 1

x 0.1

x

h 0

lim

1x h

x

h 0

12x

，

所以dy

x 1 x 0.1

0.05．

5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（1）sin30 30 ； （2）.05； （3）ln1.002．

解：（1）取f(x) sinx，x 30 30 61 /360，x0 30 /6，f (x) cosx， 由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得

sin30 30 cos

6

360

12

3720

12

0.0076 0.5000 0.5076．

（2）取f(x)

x，x 1.05，x0 1，f (x) 1/2x，

12

0.05 1 1.025．

由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得.05

（3）取f(x) ln(1 x)，当x 1时，先证明ln(1 x) x， 事实上，取x0 0，则f(x0) f(0) 0f (x0) f (0) lim

ln(1 x) 0

x 0

1，

x 0

由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得ln(1 x) 1 (x 0) 0 x， 利用ln(1 x) x，得ln1.002 ln(1 0.002) 0.002． 6．讨论下列函数在x 0点的可微性： （1）f(x)

3

x3，x 0，

x； （2）f(x) xx； （3）f(x)

sinx，x 0.

23

解：（1）因为lim

x

2

0

x 0

x 0

lim

1x

x 03

，则f(x)

3

2

x在x 0点不可导，

所以f(x)

2

x在x 0不可微．

（2）因为lim

xx 0x 0

x 0

limx 0，则f(x) xx在x 0点可导，

x 0

所以f(x) xx在x 0点可微．

x 0

3

（3）因为f (0) lim

x 0

x 0

0，f (0) lim

x 0

sinx 0x 0

1，f (0) f (0)，

x3，x 0，

f(x) 得在x 0点不可导，所以在x 0点也不可微．

sinx，x 0

习题2—2（B）

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

1．已知单摆的振动周期T 2

lg

，其中g 980cm/s是重力加速度，l是摆长（单位：

2

cm）．设原摆长为20 cm，为使周期T增加0.05 s，问摆长大约需要增加多少？ 解：

dTdl

l 20

lim

2 l/g 2 l 20

20/g

l 20

2 g

l 20

lim

1l

20

20g

0.02244

由 T T (20) l，得 l

TT (20)

0.050.02244

2.23，

即为使周期T增加0.05 s，摆长大约需要加长2.23 cm．

2．用卡尺测量圆钢的直径D，如果测得D 60.03 mm，且产生的误差可能为0.05 mm，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为A A(D) D2/4，

[ (D h)/4] D/4

h

2

2

A (D) lim

h 0

4

lim(2D h)

h 0

D2

；

A A (D) D D D/2，

当D 60.03， D 0.05时， A 3.1416 60.03 0.04/2 4.715 mm2， 所以绝对误差大约为4.715 mm2；

AA

D D/2 D/4

2

2 DD

2 0.0560.03

0.0017，所以相对误差大约为0.17%．

3．若函数f(x)在x 0点连续，且lim解：由lim

f(x)x

f(x)x

x 0

1，求dy

x 0

．

x 0

1，及分母极限limx 0，得分子极限limf(x) 0；

x 0

x 0

又因为函数f(x)在x 0点连续，所以f(0) limf(x) 0，

x 0

f (0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim

f(x)x

x 0

1，dy

x 0

f (0)dx dx．

ydy

4．设函数f x 在点x0可微，且f (x0) 2，求极限lim解：由已知，有dy 2 x，所以

ydy

dy o( x)

dy

o( x)2 x

．

x 0

x 0

lim lim

x 0

lim[1

x 0

] 1 0 1．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

习题2—3（A）

1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：

（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；

（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链

式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．

（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：

（1）y x2

2 （2）y x(x

1x

3； x

2

)；

3

（3）y

(1 x)x

2

； （4）y xlnx；

（5）y 2x

tanx sinx； （6）y

cosxx

1 cosx

．

解：（1）y (x2) 2(

1

) (3) 2x

11． x

xx

0 2x

xx

3

31

（2）y (x2) (x

2

)

3

52

3x2

x2

32

x 2

(1

1x

3

)．

（3）y (x

2

3x

1

3 x)

2

32

1x

3

x

．

（4）y x lnx x(lnx) lnx x/x lnx 1． （5）y (2x

) (tanx)

x(sinx) x sinx

x

2

2xln2 sec

2

x

xcosx sinx

x

2

．（6）y

(cosx) (1 cosx) cosx(1 cosx)

x(1 cosx)

2

sin(1 cosx)

2

．

3．求下列函数在指定点的导数或微分：

（1）f(x) sinx cosx，求f (

3

)与f (

2

)；

（2）y 2

x

3

5 x

3

，求dy

x 0

与dy

x 2

．

解：（1）f (x) cosx sinx，

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

f (

3

) cos

3

sin

3

3

1 2

3

， f (

2

2

) cos

2

sin

2

1．

（2）y (

25 x

) (225

x

3

)

2 ( 1)(5 x)29

2

x389

2(5 x)

2

x，

225

389

2

因为y (0) ，y (2) 4 ，所以dy

x 0

dx，dy

x 2

dx．

4．求下列函数的导数：

（1）y (2 x)7； （2）y cos(3x 2)； （3）y earctanx； （4）y tan

x；

（5）y arcsine2x； （6）y arccos（7

）y （8）y sin

1x

；

2

x；

（9）y cos2(1 ln2x)； （10

）y ln(x ． 解：（1）y 7(2 x)6(2 x) 7(2 x)6． （2）y sin(3x 2)(3x 2) 3sin(3x 2)．

e

arctanx

2

（3）y e

arctanx

(arctanx)

1 x

．

（4）y sec

2

x( x)

2x

2x

sec

2

x

2 x

(1 x)

sec

2

x

．

2 x

（5）y

(e)

2x

(e)

2

e(2x)

4x

2e

2x4x

．

e

e

（6）y

(1/x) (1/x)

2

xx

2

1x

x 1

2

x 1

2

．

（7）y

(sin

2

x)

2

x

2sinx(sinx) 2 sin

2

2

sinxcosx sin

2

．

2 sinx(x)

2

x

2

（8）y cos x(1 x)

2

2 x

2

cos x

x x

2

cos x

2

．

（9）y 2cos(1 ln2x)[cos(1 ln2x)] 2cos(1 ln2x)sin(1 ln2x)(1 ln2x)

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

sin(2 2ln2x)[0

(2x) 2x

]

sin(2 2ln2x)

x

．

（10）y

(x 2x) x 2x

1x 2x

(1

1x

)

1 2x x

xx

．

5．求下列函数的微分dy：

（1）y x3 3x ln3； （2）y x2sin2x； （3）y ln2(1 x)； （4）y sec2(1 x)； （5）y

x x

2

； （6）y tan(1 2x2)；

（7）y arctan

sin2

x； （8）y 2

2

x

．

解：（1）dy d(x3) d(3x) d(ln3) 3x2dx 3xln3dx 0 dx (3x2 3xln3)dx． （2）dy sin2xd(x2) x2d(sin2x) 2xsin2xdx 2x2cos2xdx 2x(sin2x xcos2x)dx． （3）dy 2ln(1 x)d[ln(1 x)]

2ln(1 x)1 x

d(1 x)

2ln(1 x)1 x

dx．

（4）dy 2sec(1 x)dsec(1 x) 2sec2(1 x)tan(1 x)d(1 x)

2sec(1 x)tan(1 x)dx．

2

（5）因为y

1 1 x

2

x( x/ x)1 x

2

2

1(1 x)

2

23/2

，所以，dy

dx(1 x)

2

23/2

．

（6）因为y sec(1 2x) 4x 4xsec(1 2x)，所以dy 4xsec(1 2x)dx． （7）因为y

11 ( x)

2

2

2222

2x2 x

2

2

x

(2 x)1 x

2

2

，所以dy

xdx(2 x) x

2

2

．

（8）因为y 2 sin

2

x

ln2 ( sin

sin

x) ln2 sin2x 2

x

sin

2

x

，

所以dy ln2 sin2x 2

2

dx．

6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：

（1）d( ) 2dx； （2）d( )

21 x

dx；

（3）d( ) 2sin2xdx； （4）d(

)

x；

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（5）d( ) xdx（n 1）； （6）d( )

n

11 x

2

dx．

解：（1）因为(2x C) 2，所以d(2x C) 2dx． （2）因为(2ln x C) （3）(2sin

2

21 x

，所以d(2ln x C)

2

21 x

dx．

x C) 2sin2x，所以d(2sinx C) 2sin2xdx，

或因为( cos2x C) 2sin2x，所以d( cos2x C) 2sin2xdx．

12x

n

（4）因为(x C) ，所以d(x

C) x．

（5）因为(

x

n 1

n 1

C) x，所以d(

11 x

2

n

x

n 1

n 1

． C) xdx（n 1）

11 x

2

（6）因为(arctanx C) ，所以d(arctanx C) dx．

习题2—3（B）

1．如图所示的A,B,C三个圆柱型零件．当圆柱A转过x圈时，B转过u圈，从而带动C转过y圈．通过计算周长知道y

dydu

1， du

3，求

12

u2

,u 3x，因此

dydx

解：

2dydx

dxdydududx

．

32

3 ．

2．求下列函数的导数：

（1）y xesinx； （2）y lnlnlnx； （3）y ln(x （5）y ln

1 1

x

a x)； （4）y ln(cscx cotx)；

xx

22

； （6）y

x2

a x

22

a

2

2

arcsin

xa

；

（7）y arcsin

1 x1 x

1

； （8）y x2x (2x)x．

xxxx

解：（1）y x esinx x(e) sinx xe(sinx) e(sinx xsinx xcosx)．

（2）y

(lnlnx) lnlnx

(lnx) lnlnx lnx

1

lnlnx lnx x

1x lnx lnlnx

．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（3）y

(x x

a x) a x

2

2

22

1 x/x

a xa x

2

2

22

a x

22

．

（4）y

(cscx cotx) cscx cotx

cscxcotx cscx

cscx cotxx)]

12x(1

1/a

2

cscx．

（5）y [ln(1 x)] [ln(1

x)

12x(1

x)

1(1 x)x

．

（6）y

a x2

22

x

2

2

2

a

2

2a x

2

2

(x/a)

2

a x2

2

x

2

2

2

a

2

2

2

a x2

22

a x2

22

a x

22

．

2a x2a x

（7）y

1

11 x1 x

2

11 x1 x

1

(1 x) (1 x)

(1 x)

2

1

(1 x)2x(1 x)

．

ln2xx

（8）因为y x2x (2x)x e2xlnx e

ln2x

，所以

(2lnx 2)x

2x

y e

2xlnx

(2lnx 2) e

x

1 ln2x

x

2

1 ln2x

x

2

1

(2x)x．

3．若函数f(x)可微，求下列函数的导数：

（1）y f(x2)； （2）y f2(x)； （3）y f[f(x)]； （4）y ln[1 e

f(x)

]．

222

解：（1）y f (x)(x) 2xf (x)．

（2）y 2f(x)[f(x)] 2f(x)f (x)．

（3）y f [f(x)][f(x)] f [f(x)]f (x)．

[1 e1 e

f(x)f(x)

（4）y

]

e

f(x)

[f(x)]

f(x)

1 e

e

f(x)

f (x)

f(x)

1 e

1

．

4．设可导函数f(x)满足方程f(x) 2f()

x

3x

，求f (x)．

1

1x

2

解：（方法1）等式两边对x求导，有f (x) 2f ()(

x

)

3x

2

，

1x

2

用

1x

22

替换上式中的x，有f () 2xf (x) 3x，从而得f (x) 2

1

x

．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（方法2）用

1x

替换题中等式里的x，有f() 2f(x) 3x，

x

1x

1

由此得f(x) 2x

5．设y f[g2(x) 解：dy f [g2(x)

1x1

， 所以，f (x) 2

1x

2

．

]，其中f(u)，g(u)可微，求dy． ]d[g(x)

2

1x

x

] [2g(x)g (x)

1x

2

2

]f [g(x)

1x

]dx.

6．试写出垂直与直线2x 6y 1 0且与曲线y x3 3x2 5相切的直线方程． 解：y (x) 3x2 6x，设切点的横坐标为x t，则切线斜率k y (t) 3t2 6t， 而直线2x 6y 1 0的斜率k1 1/3，

由已知kk1 1，有t2 2t 1，得t 1，切点为( 1， 3)，切线斜率为k 3， 于是，所求切线方程为y 3 3(x 1)，即3x y 6 0．

习题2—4（A）

1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：

（1）如果y f(x)的导数f (x)大于零，那么y f(x)的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如f(x) lnx（x 0），f (x)

1x

0，但是f (x)

1x

2

0．

（2）正确．由v (t) a(t) 0，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：

（1）y x 2lnx； （2

）y

2

x 4

x

3

；

（3）y arctanx； （4）y sin(1 2x)； （5）y （7

）y

xarcsinx； （6）y ecosx； ； （8）y ln(1 x)；

x 1)； （10）y xshx．

2

2

2x

（9）y ln(x 解：（1）y 2x

2x

，y 2

2x

2

．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（2）y x2 2x

12

1

4x，y 2x x

32

4x

2

，y 2

32x

2

x

8x

3

．

（3）y

11 x

2

，y

2x(1 x)

2

2

．

（4）y 2cos(1 2x)，y 4sin(1 2x)．

x x

2

（5）y arcsinx 1，

y

x

2

x/ x

2

2

22

(1 x)

arcsinx

x x

2

1 x

2

arcsinx(1 x)

2

3/2

x1 x

2

．

（6）y ex(cosx sinx)，y ex(cosx sinx sinx cosx) 2exsinx． （7）y

xx 3

2

，y

x 3 x/

x 3

2

22

x 3

2

2

3(x 3)

2

3/2

．

（8）y

2x1 x

2

，y

2(1 x) 2x 2x

(1 x)

2

2

2(1 x)(1 x)

122

2

2

．

（9）y

1 x/x

x 1x 1

2

2

1x 1

2

，y [(x 1)

2

]

x(x 1)

2

3/2

．

（10）y shx xchx，y chx chx xshx 2chx xshx．

24

3．设函数f(x) 3 x 2x x，求f (0)及f

(4)

(0)．

(4)

32

解：f (x) 1 4x 4x，f (x) 4 12x，f (x) 24x，f

(x) 24，

f (0) 24x

x 0

0；f

(4)

(0) 24

x 0

24．

4．计算下列各题：

（1）f(x) e

2x 1

，求f

(5)

(x)；

（2）y (x 1)lnx，求

dydx

3

3

；

（3）y lnsinx，求y ．

2x 12x 12x 1

解：（1）f (x) 2e，f (x) 4e，f (x) 8e，

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

f

(4)

(x) 16e

2x 1

，f

(5)

(x) 32e

2x 1

． dydx

33

（2）

dydx

lnx 1 cosxsinx

1x

，

dydx

2

2

1x

1x

2

，

1x

2

2x

3

2 xx

3

．

（3）y cotx，y csc

2

2

x，y 2cscx ( cscxcotx) 2cscx cotx．

5．验证函数y C1e x C2e x（其中C1,C2为任何常数）满足关系式（微分方程） y 2y 0．

证明：因为y C1 e x C2( )e x，y C1 2e x C2( )2e x 2y，所以y 2y 0． 6．验证函数y exsinx满足关系式y 2y 2y 0． 证明：因为y exsinx excosx，

y esinx ecosx ecosx esinx 2ecosx，

x

x

x

x

x

所以y 2y 2y 2excosx 2(exsinx excosx) 2exsinx 0

习题2—4（B）

1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为t 0，在时刻t时物体的位置为s 5cost．求时刻t时物体的速度和加速度． 解：物体的速度v(t)

dsdt

5sint；物体的加速度a(t)

dsdt

2

2

dvdt

5cost．

2．设函数y 4x x

2

4arcsin

x2

，求y ．

x4x x

2

2

解：y

4 2x24x x

2

4

1/4x x/4

,

y

4x x

2

x(2 x)/4x x

2

4x x

2x(4x x)

2

3/2

．

3．设函数y arcsinx，求y

(10)

(0)．

解：由y arcsinx是奇函数，则y (x)是偶函数，y (x)是奇函数，y (x)是偶函数， 以此类推y

(10)

(x)是奇函数，根据初等函数导数的性质，y

(10)

(x)在x 0点有定义，

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

所以y(10)(0) 0．

4．求下列函数的n（n 3）阶导数：

（1）y xex； （2）y x2cosx； （3）y x2lnx；

（4）y anxn an 1xn 1 a1x a0（其中ai(i 1,2, ,n)为常数，an 0）． 解：（1）（方法1）y ex xex ex(x 1)，y ex(x 1) ex ex(x 2)，

y e(x 2) e

x

x

x

e(x 3)，

以此类推y(n) ex(x n)．

n

（方法2）y

(n)

C

k 0(k)

kn

(x)

(k)

(e)

x(n k)

x(e)

x(n)

nx (e)

x(n 1)

x

e(x n)．

n

（2）y

(n)

C

k 02

kn

(x)

2

(cosx)

(n k)

n(n 1)

2

x) x(cos

2

(n)

n(x) (cosx)

2(n 1)

(x) (cosx)

(n)

2(n 2)

xcos(x

2

2

n 2

) 2nx(sinx)

n 2

(k)

(n)

n(n 1)( cosx)

n 2)．

(x n n)cos(x

n

) 2nxsin(x

（3）（方法1）y

2

(n)

C

k 0

k

n

(x)

2

(lnx)

(n k)

x(lnx)

2

(n)

n(x) (lnx)

2(n 1)

n(n 1)

2

(x) (lnx)

2(n 2)

n 3

x ( 1)

n 1n

(n 1)!

x

2( 1)

n 1

2nx( 1)

n 2n 1

(n 2)!

x

n(n 1)( 1)

x

(n 3)!

n 2

(n 3)!

x

n 2

．

（方法2）y 2xlnx x，y 2lnx 3，

2( 1)

n 3

y

(n)

(y )

(n 2)

(2lnx 3)

(n 2)

(n 3)

x

n 2

2( 1)

n 1

(n 3)

x

(n)

n 2

．

（4）y

(n)

an(x)

n(n)

an 1(x

n 1

)

(n)

a1(x)

(n)

(a0)

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

ann! 0 0 0 ann!．

5．若函数f(x)满足f (sinx) cos2x cscx，求f (x)． 解：由f (sinx) cos2x cscx 1 2sin

所以f (x) (1 2x2

1x

) 4x

1x

22

x

1sinx

，有f (x) 1 2x2

1x

，

．

6．若函数y f(x)存在二阶导数，分别求y f2(x)及y f(x2)的二阶导数． 解：对y f2(x)，y 2f(x)f (x)，y [2f(x)f (x)] 2[f (x)]2 2f(x)f (x)；

对y f(x2)，y 2xf (x2)，y [2xf (x2)] 2f (x2) 4x2f (x2)． 7．若函数f(x)有任意阶导数，且f (x) f2(x)，证明f证明：用数学归纳法进行证明， 当n 1时显然成立， 设n k时成立，即f

(k)

(n)

(x) n!f

n 1

(x)．

(x) k!f

k 1

(x)，

(x)两边同时对x求导，得

k 2

当n k 1时，等式f

f

(k 1)

(k)

(x) k!f

k 1

kk2

(x) k!(k 1)f(x)f (x) (k 1)!f(x)f(x) (k 1)!f

(x)，

即对n k 1，式子f有f

(n)

(n)

(x) n!f

n 1

所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n都(x)，

(x) n!f

n 1

(x)．

习题2—5（A）

1．判断下列论述是否正确，并说明理由：

（1）求由方程F(x,y) 0所确定的隐函数y y(x)的导数时，所得到的y (x)是x的一元函数，若再求y y(x)的二阶导数，直接对x的函数y (x)求导即得；

2

x (t),dy

（2）求由参数方程 所确定的函数的导数时，在 (t) 0的条件下，若再求2，

y (t)dx

只需将所求得的

dydx

对t再继续求导数即可；

（3）在知道两个变量x,y中的一个对第三个变量t的变化率，求另一个变量对t的变化率时，应首先求出两个变量x,y之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到x,y对变

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