北师大版数学选修2-1：第三章1.2知能演练轻松闯关

北师大版数学选修2-1

x2y21.(2011·高考课标全国卷)椭圆＋＝1的离心率为( ) 168

11A. B.323C. D. 3222xy22解析：选D.＝1可得a＝16，b＝8， 168

222∴c＝a－b＝8.

c212∴e＝，解得e＝e(舍去)． a2222222xyxy2.椭圆＝1与＋＝1(0<k<9)的( ) 2599－k25－k

A．长轴的长相等 B．短轴的长相等

C．离心率相等 D．焦距相等 2222xyxy解析：选D.椭圆＝11(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，前者a2

2599－k25－k

＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则c2＝16.显然只有D正确．

x2y2223.比较椭圆①9x＋y＝36＋1的形状，______更扁(填序号)． 16122x2y212122解析：椭圆①9x＋y＝36的离心率是＋1的离心率是，因为，31612232

所以，椭圆①比②更扁．故填①.

答案：①

4.(2012·石河子检测)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，且椭圆G2上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

c3解析：设椭圆的长半轴为a，由2a＝12知a＝6，又e＝＝c＝3，∴b2＝a2－c2

a2

＝36－27

＝9.

x2y2

∴椭圆的标准方程为＝1. 36922xy答案：＋＝1 369

[A级 基础达标]

1.(2012·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( ) 12A. B. 22

C.2 D．2

解析：选B.由题意知2c＝2b，∴c＝b.

c2又b2＋c2＝a2，∴a＝c.∴e＝＝a2222.椭圆(m＋1)x＋my＝1的长轴长是( )

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－2mm

21－m2C. D．－ mm－1

x2y2解析：选C.＝1， 11

m＋1m

则必有m>0.

11∵m＋1>m>0，∴ m＋1m

1m2∴a2＝，a＝，2a＝. mmm3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰将长轴三等分，则此椭圆方程为( )

x2y2x2y2

A.1 B.1 817281922xyx2y2C.＝1 D.＝1 8145813622xy解析：选A.设方程为＋＝1(a>b>0)， ab2c1由题意得＝a＝9， 2a322xy222∴c＝3.∴b＝a－c＝72.故方程为＋1. 8172

4.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________．

x2y2

解析：由题意设椭圆方程为＝1(a>b>0)． ab

a＝2b，22∴ (其中c－b) c＝2∴b2＝20，a2＝80.

x2y2

答案：＋1 8020

5.(2012·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，

∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.

∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.

同除以a2得5e2＋2e－3＝0，

3∴e＝或e＝－1(舍去)． 5

3答案： 5

16.已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.求椭2圆E的方程．

x2y21c12222解：设椭圆E的方程为1(a>b>0)．由e＝＝a＝2c，b＝a－c＝3c， ab2a222xy∴椭圆方程可化为1. 4c3c13将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4， ccA.B.2m－1 m－1

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x2y2∴椭圆E的方程为1. 1612

xy→→7.若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP43

的最大值为( )

A．2 B．3

C．6 D．8 22xy→→解析：选C.由椭圆1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP432x 121→→222 ＝x＋x＋y＝x＋x＋3 1－ ＝＋x＋3＝x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最444

大值6.

8.(2012·宝鸡调研)以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )

x2y2x2y2A.1 B.＋＝1 20199822xyx2y2C.＋＝1 D.＋1 543222xy解析：选C.＋＝1(a>1)， aa－1

x2y2 ＋＝1由 aa－1， 22[B级 能力提升]

x－y＋3＝0

22得(2a－1)x＋6ax＋(10a－a)＝0，

由Δ≥0，得a≥，

c15∴e＝＝≤a＝， aa5x2y2

故椭圆方程为＋＝1. 54x2y2

9. 如图，已知椭圆E1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若ab

四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________． 224

a解析：由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，得出C点的横坐标为COx＝30°，221a22222易知点C的坐标为 aa ，代入椭圆的方程得＝1，即a＝9b，又b＝a－c， 26 412b

cb222故c＝8b，则椭圆的离心率e＝. a9b3

2答案：3

10.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率． 22xy解：设椭圆方程为＝1(a>b>0)， ab

22F1(－c，0)，c＝a－b2，

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2bc －c， . 1－，即P a a2b－b∵AB∥PO，∴kAB＝kOP＝.∴b＝c. aac

c又a2＋c2＝c，∴e＝ a2

x2y2

11.(创新题)设P(x，y)是椭圆＝1上的点且P的纵坐标y≠0，已知点A(－5，0)，B(5，2516

0)，试判断kPA·kPB是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

yy解：是定值．因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.所以kPAkPB＝. x＋5x－52yyy所以kPA·kPB·. x＋5x－5x－25

22xy因为点P在椭圆1上， 2516

25－x2x22 所以y＝16× 1－＝16× 2525

25－x2y22把y＝16kPA·kPB＝ 25x－25

25－x2

16×2516得kPA·kPB＝. x－2525

16所以kPA·kPB25

则P－c，b

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