2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

一、选择题

1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,

将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计

容器的厚度,则球的体积为

（A．

500

cm33

B．

866

3

cm3 C．

1372

cm32048

3

D．

3

cm3 【答案】A

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n是两条不同

的直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（A．若 ,m ,n ,则m n B．若 // ,m ,n ,则m//n C．若m n,m ,n ,则 D．若m ,m//n,n// ,则

【答案】D

3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的

体积之比为 （A．1:2

B．1:4

C．1:8

D．1:16

【答案】C

4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱

柱ABCD A1B1C1D1中AA1 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于

（A．

2

3

B

C

D．

13

【答案】A

5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

）

）

）

）

A．16 8 【答案】A

B．8 8

C．16 16

D．8 16

（ ）

6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单

几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A．V1 V2 V4 V3

B．V1 V3 V2 V4

（ ）

C．V2 V1

V3 V

【答案】C

7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则

该正方体的正视图的面积不可能等于 ．．．A．1

【答案】C

（ ）

C

B

D

8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图

如图所示,则该四棱台的体积是

正视图

侧视图

俯视图

第5题图

（1416A．4

B．3 C．3

D．6

【答案】B 9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n为

异面直线,m 平面 ,n 平面 .直线l满足l m,l n,l ,l ,则 （A． // ,且l//

B． ,且l

C． 与 相交,且交线垂直于l

D． 与 相交,且交线平行于l

【答案】D

10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱

ABC A1B1C1

9

的侧棱与底面垂直,体积为4,

的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,

则PA与平面ABC所成角的大小为

（5

A．12

B．3

C．4

D．6

【答案】B

11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题

5 图所示,则该几何体的体积为

（A．

560

3

B．

580

3

C．200

D．240

）

）

）

）

【答案】C

12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A1B1C1

的6个顶点都在球O的球面上,若AB 3，AC 4,AB AC,AA1 12,则球O的半径为 （A

B

．

C．

132

D

．

【答案】C

13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且

ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么

m n

（A．8

B．9 C．10 D．11

【答案】A

14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体

的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为

）

）

（ ）

A．

B． C． D．

【答案】A

15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中,不是

公理．．

的是 （ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点A作

平面 的垂线,垂足为B,记B f (A).设 , 是两个不同的平面,对空间任意一点

P,Q1 f [f (P)],Q2 f [f (P)],恒有PQ1 PQ2,则

（ A．平面 与平面 垂直 B．平面 与平面 所成的(锐)二面角为450 C．平面 与平面 平行

D．平面 与平面 所成的(锐)二面角为600

【答案】A 17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

【答案】D 二、填空题

） ）

18．（2013年高考上海卷（理））在xOy平面上,将两个半圆弧(x 1)

2

y2 1(x 1)和

两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部(x 3)2 y2 1(x 3)、

分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ,过(0,y)(|y| 1)作 的水平截面,所得截面

面积为4 8 ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 的体积值为

__________

【答案】2 16 .

19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___

2

3

_____.

【答案】

3

20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和

圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK 平面所成的一个二面角为60,则球O的表面积等于______.

【答案】16

3

,且圆O与圆K所在的2

21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点

P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.

【答案】

22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））

如图,在三棱柱A1B1C1 ABC中,D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点,设三棱锥

F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2,则V1:V2 ____________.

B

BD

【答案】1:24

23．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视

图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm2.

【答案】24

24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体

ABCD A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面

截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的

编号

).

①当0 CQ

113

时,S为四边形;②当CQ 时,S为等腰梯形;③当CQ 时,S与224

13

C1D1的交点R满足C1R1 ;④当 CQ 1时,S为六边形;⑤当CQ 1时,S

的面积为

34

【答案】①②③⑤

25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图

所示,则该几何体的体积是

____________.

【答案】16 16 26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内

接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边

形是边长为2的正方形,则该球的表面积是

_______________

【答案】12

27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中,异

面直线A1B与B1C所成角的大小为_______

D1A1

D A【答案】三、解答题

28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA

1

3

垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证:平面PAC 平面PBC；

(II)若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角C PB A的余弦值

.

【答案】

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29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD

中,PA 底面ABCD,BC CD 2,AC 4, ACB ACD 点,AF PB.

(1)求PA的长; (2)求二面角B AF D的正弦值

.

3

,F为PC的中

【答案】

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1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.

底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的

弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°

.

(Ⅰ)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD. 【答案】解:

(Ⅰ)

设面PAB 面PCD 直线m,AB//CD且CD 面PCD AB//面PCD

AB//直线m AB 面ABCD 直线m//面ABCD.

所以,面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD. (Ⅱ)

设底面半径为r,线段CD的中点为F，则 OPF 60 .由题知tan22.5

PO

. r

OFOF COD2tan22.5

. ,tan60 tan60 tan22.5 cos,tan45 2

POr21 tan22.5

CODcos COD 1

cos COD 2cos2 1 tan22.5 2-1, [3(2-1,)]2 3(3

22)

22

cos COD 17-122.所以cos COD 17-122.

法二:

1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体A BCD

中,AD 平面BCD,BC CD,AD 2,BD 22.M是AD的中点,P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ 3QC.

(1)证明:PQ//平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小为600,求 BDC的大小.

M

B

D

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以

（第20题图）

AF 3FD.因为P是BM中点,所以PF//BD;又因为(Ⅰ)AQ 3QC且AF 3FD,

所以QF//BD,所以面PQF//面BDC,且PQ 面BDC,所以PQ//面BDC

;

1

MD;取CD的三等分211

点H,使DH 3CH,且AQ 3QC,所以QH//AD//MD,所以

42

方法二:如图7所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以PO//

PO//QH PQ//OH,且OH BCD,所以PQ//面BDC;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB 面BDC,过C作CG BD于G,所以

CG BMD,

过G作GH BM于H,连接CH,所以 CHG就是C BM D的二面角;

由已知得到BM

3,设 BDC ,所以

CDCGCB

cos ,sin CD ,CG

sin ,BC ,BDCDBD

,

在RT BCG中, BCG sin

BG

BG

2

,所以在RT BHG中

, BC

1所以在RT CHG中 HG 3

tan CHG

tan60

CG HG tan (0,90) 60 BDC 60;

2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥ABC A1B1C1中,AA1

6,

异面直线BC1与AA1所成角的大小为A1

1

C1

6

,求该三棱柱的体积.

A

【答案】[解]因为CC1 AA1.

所以 BC1C为异面直线BC1与AA1.所成的角,即 BC1C=

在Rt

BC1C中,BC

CC1

tan BC1C 6

6

.

, 从而S ABC

2

因此该三棱柱的体积为V S ABC AA1 6 .

3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本

小题满分14分.

如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB 平面SBC,AB BC,AS AB,过A作AF SB,垂足为F,点E，G分别是棱SA，SC的中点. 求证:(1)平面EFG//平面ABC; (2)BC SA.

S EF

G

A

【答案】证明:(1)∵AS

AB,AF SB∴F分别是SB的中点

∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB

又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC

又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面EFG//平面ABC (2)∵平面SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC=BC AF 平面SAB

AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC ∴AF⊥BC

又∵AB BC, AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA

4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1

平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.

DA

C1

1

A【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故AB//C1D1,AB C1D1,

故ABC1D1为平行四边形,故BC1//AD1,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;

直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h

11

1 ( 1 2) 1

323

3

而 AD1C中,AC D1C AD1 ,故S AD1C

2

13122

所以,V h h ,即直线BC1到平面D1AC的距离为.

32333

5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线

PC 平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.

(I)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以

考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得V 证明;

(II)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ

1

CP.记直线PQ与2

平面ABC所成的角为 ,异面直线PQ与EF所成的角为 ,二面角E l C的大小为

,求证:sin sin sin .

第19题图

【答案】解:(I)

EFAC,AC 平面ABC,EF平面ABC

EF平面ABC

又EF 平面BEF EFl

l平面PAC

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差

.)

6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三

的中点.将 ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE,其中A O

(Ⅰ) 证明:A O 平面BCDE; (Ⅱ) 求二面角A CD B的平面角的余弦值. C

C

图1

B

E

图2

【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得OC 3,AC AD

C H

连结OD,OE,在 OCD中,由余弦定理可得

OD 由翻折不变性可知A D ,

所以A O2 OD2 A D2,所以A O OD, 理可证A O OE, 又OD

OE O,所以A O 平面BCDE.

(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD交CD的延长线于H,连结A H, 因为A O 平面BCDE,所以A H CD, 所以 A HO为二面角A CD B的平面角.

结合图1可知,H为AC中点,故OH

,从而A H 所以cos A HO

OH所以二面角A CD

A H向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz

则A ,C 0, 3,0 ,D 1, 2,0

所以CA

,DA 1, 设n x,y,z 为平面A CD的法向量,则

n CA 0 3y 0 y x,

即 ,

解得 ,令x 1,

得n 1,

z n DA 0 x 2y 0

由(Ⅰ) 知

,OA 为平面CDB的一个法向量,

所以cosn,OA

n OA ,即二面角A CD B的平面角的余弦值 nOA

为

. 7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的

中点.

(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1

的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段

C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1的长.

, 求线段AM

【答案】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q0ae.html