2018年高考浙江卷第9题（平面向量）-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年高考浙江卷第9题(平面向量)

-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

一、典例分析，融合贯通

rrrrrrπ 典例1.【2018年高考浙江卷第9题】已知a,b,e是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，eae3rrrr2rr向量b满足b?4e?b?3?0，则a?b的最小值是

A．3?1 解法一：

B．3+1

C．2

D．2?3 rr2r2rrr2rrr2【答案】A【解析】∵b?4e?b?3?0,即：b?4e?b?4e?1，?(b?2e)?1，

r以e的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标，如图

yAaBO1Ex

uurBA的最小值为3?1，即的最小值为3?1。 r终点在以F为圆心，F到a终边所在直线距离为3 rr?a?bmin?3?1.

rr2点评：运用向量的乘法运算，联系(b?2e)?1的几何意义，建立坐标系，转化为点到直线的距离问题。

解法二：

点评： 将向量坐标化，数量化转换为方程，联系方程的几何意义，化为点到直线的距离问题。 链接【2017高考新课标2理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点， uuruuruuur则PA?PB?PC的最小值是

??A．?2 B．?解法一：

34 C．? D．?1 23（几何法）：如图所示，

uuruuruuuruuuruuruuruuuruuur，则PA?PB?PC?2PD?PA， PB?PC?2PD（D为BC中点）

??uuuruuruuruuuruuruuuruuruuur要使PA?PD最小，则PA，PD方向相反，即P点在线段AD上，则2PD?PAmin??2PA?PD， uuuruuruuruuuruuur3即求PD?PA最大值，又PA?PD?AD?2??3，

2uuruuur2?PA?PD??3?23uuruuuruuuruur33??=?=则PA?PD?，则．故选B． 2PD?PA??min??2???2???2442??????点评：利用向量运算的几何意义，进行构图，再运用图象的几何特征和基本不等式求出最值。 解法二：

（解析法）：如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立 平面直角坐标系，则A0,3，B??1,0?，C?1,0?，设P?x,y?，

??

点评： 将向量坐标化，数量化转换为代数式，再运用配方法，求出最小值。 二．方法总结,胸有成竹

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件

求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数等。 1. 平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何 意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利 用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2. 基本方法

方法一 建立直角坐标系法

使用情景：一般向量求最值或取值范围类型

解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标； 第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；

第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即 可.

方法二 利用基本不等式求平面向量的最值 使用情景：一般平面向量求最值问题

解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系； 第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论. 方法三 利用向量的数量积

m?n?mn求最值或取值范围

使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题

解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量； 第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论. 三.精选试题，能力升级

1.【2018兰州模拟】已知向量a,b,c满足a?4,b?22,则c?a的最大值为

a 与b的夹角为

?4，(c?a)?(c?b)??1，

A.2?22?11?1 C. B. D.2?1 222【答案】D

【解析】设OA?a,OB?b,OC?c；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵a?4,b?22,a 与b的夹角为

22?4，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）

22∵(c?a)?(c?b)??1，∴x?y?6x?2y?9?0,即(x?3)?(y?1)?1,

表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，c?a表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离． ∵圆心到B的距离为(3?4)2?(1?0)2?2，∴c?a的最大值为2?1，故选：D．

2. 【2018山西芮城中学模拟】长度都为2的向量OA， OB的夹角为弧）上， OC?mOA?nOB，则m?n的最大值是

?，点C在以O为圆心的圆弧AB（劣3A. 23 B. 【答案】B

23 C. 3 D. 33 3

3.【2018吉林实验中学模拟】在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB， AC于不同两点M，N，若AB?mAM， AC?nAN， m,n为正数，则

11?的最小值为 mnA. 2 B. 1?【答案】A 【解析】AO? m?n?2 ，

22223 C. 1? D. 1? 3331mnmnAB?AC?AM?AN ∵M、O、N三点共线，∴??1， 22222??111?11?mn?11???????m?n???2?????2?2??2. 故选：A． mn2?mn?nm?22?4.【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

AP=?AB+?AD，则?+?的最大值为

A．3

B．22

C．5

D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．

5.【2017北京高考12】已知点P在圆x2?y2=1上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AO?AP的最大值为_________． 【答案】6 【解析】

AO?AP?|AO|?|AP|cos??|AO|?|AP|?2?(2?1)?6.所以最大值是6.

6．【2018江苏南京市盐城高三一模】在?ABC中，已知AB? .

3，C??3，则CA?CB的最大值为

uuruur3 2uuruur1?22【解析】CA?CB?bacosC?ab，由余弦定理得：3?a?b?2abcos?2ab?ab?ab，

23【答案】

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