数列极限求法及其应用 毕业论文

郑州航空工业管理学院

毕 业 论 文（设 计）

2011 届 数学与应用数学 专业 0 班级

题 目 数列极限的求法及其应用

二О一一年 五 月 二十 日

内 容 提 要

数列极限可用??N语言和A?N语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.

最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.

关键词

??N定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit

Name: Yang NO. 07

The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer

Abstract

The limit of a sequence can be accurately defined by ??N language and A?N language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.

Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

Key Words

??Ndefinition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits

目 录

第一章 数列极限的概念 ................................... 1 1.1 数列极限的定义及分类 ............................... 1 1.2 数列极限求法的常用定理 ............................. 2 第二章 数列极限的求法 .................................... 4 2.1 极限定义求法 ........................................ 4 2.2 极限运算法则法 ...................................... 5 2.3 夹逼准则求法 ........................................ 6 2.4 单调有界定理求法 .................................... 8 2.5 函数极限法 .......................................... 9 2.6 定积分定义法 ....................................... 10 2.7 Stoltz公式法 ...................................... 11 2.8 几何算术平均收敛公式法 ............................. 12 2.9 级数法 ............................................. 13 2.10 其它方法 .......................................... 15 第三章 数列极限在现实生活中的应用 ....................... 17 3.1 几何应用-计算面积 .................................. 17 3.2 求方程的数值解 ..................................... 18 3.3 市场经营中的稳定性问题 ............................. 19

3.3.1 零增长模型 .................................... 19 3.3.2 不变增长模型 .................................. 20 3.4 购房按揭贷款分期偿还 ............................... 21 第四章 结 论 ............................................ 23 致 谢 .................................................. 24 参考文献 ................................................

24

数列极限的求法及其应用

学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师

第一章 数列极限的概念

在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类

数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，

我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积An在n无限增大（n??）时，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.

针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：??N定义，A?N定义.

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限

1

an?a，或an?a?n????.增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作nlim???这时，也称?an?的极限存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于

n?????，记作liman???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限.

对于??,?的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.

?nn?n??nn??nn???a??bn?n??n??n??bn?0，则?n?也是收敛数列，且有 若再假设bn?0及limn???alim?nn??b?n?an/limbn. ??limn??n???定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理1.2.3（Stoltz公式） 设有数列?xn?，?yn?，其中?xn?严格增，

xn???（注意：不必limyn???）.如果 且nlim???n????? 2

yn?yn?1lim n???x?x?a（实数，??,??），

nn?1则 nlim???00yny?yn?1?a?limn. n???x?xxnnn?1xn?0，limyn?0.定理1.2.3'（Stoltz公式） 设?xn?严格减，且nlim???n???若

yn?yn?1lim n???x?x?a（实数，??,??），

nn?1则

limn???yny?yn?1?a?limn.

n???x?xxnnn?1an?a，则 定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设limn??（1）limn??a1?a2?...?an?a， n（2）若an?0?n?1,2,...?，则limna1a2...an?a.

n??定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列?an?,?bn?都以a为极限，数列?cn?满足：存在正数N0，当n?N0时，有 an?cn?bn，

cn?a. 则数列?cn?收敛，且limn??定理1.2.6（归结原则）设f在U??x0;???内有定义.limf?x?存在的充

x?x0要条件是：对任何含于U??x0;???且以x0为极限的数列?xn?，极限

limf?xn?都存在且相等.

n??

3

第二章 数列极限的求法

2.1 极限定义求法

在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.

例2.1.1 求limna，其中a?0.

n??解：limna?1.

n??事实上，当a?1时，结论显然成立.现设a?1.记??a?1，则??0. 由 a??1???1nn1n?1??1?n??1?n?an?1?,

??得 a?1?a?1. （5） n任给??0，由（5）式可见，当n?所以limna?1.

n??a?1??N时，就有a?1??.即a?1??.

1n1nn对于0?a?1的情况，因?1，由上述结论知limn??1a1?1，故 an lima?limnn??n??11??1. 1/a1综合得a?0时，limna?1.

n??例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.

an?a，则???0，存在N1?0，使当n?N1时，有 证明：由limn?? an?a??/2, 则

4

a1?a2?...?an1?a?a1?a?...?aN1?a?aN1?1?a?...?an?a. nn??令c?a1?a?...?aN?a，那么

1

cna1?a2?...?ancn?N1??a???. nnn2cn由lim?0，知存在N2?0，使当n?N2时，有?. n??再令N?max?N1,N2?,故当n?N时，由上述不等式知

a1?a2?...?an?n?N1????a???????. n2n222?2所以 limn??a1?a2?...?an?a. n7n例 2.1.3 求lim. n??n!7n?0. 解：limn??n!7n777777777771 事实上，??...?...?????.

n!1278n?1n7!n6!n7n771即?0??. n!6!n?771?对???0，存在N????，则当n?N时，便有

?6!??7n7717n?0????，?0. 所以limn??n!n!6!ncn?0?c?0?. 注：上述例题中的7可用c替换，即limn??n!2.2 极限运算法则法

我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已

5

知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.

amnm?am?1nm?1?...?a1n?a0例2.2.1 求lim,其中m?k，am?0，bk?0. k?1n??bnk?b?...?b1n?b0kk?1n解：分子分母同乘n?k，所求极限式化为

amnm?k?am?1nm?1?k?...?a1n1?k?a0n?k lim. ?11?k?kn??bk?bk?1n?...?b1n?b0nn???0，由lim???0?知， n??当m?k时，所求极限等于

am；当m?k时，由于nm?k?0?n?0?，故此bm时所求极限等于0.综上所述，得到

?amamn?am?1n?...?a1n?a0?,k?m??bm. limk?1n??bnk?bn?...?bn?bkk?110?0,k?m?mm?1na例2.2.2 求limn，其中a??1. n??a?1an1?解: 若a?1，则显然有lim； n??an?12若a?1，则由liman?0得

n??an lim?liman/liman?1?0； nn??a?1n??n????若a?1，则

an11limn?lim??1n??a?1n??11?0 . 1?na2.3 夹逼准则求法

定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方

6

法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限limn??解：因为

2n?1??2n?1???2n?1?， 2n?4n2?4n2?1??2n?1??2n?1?，1?3????2n?1?2?4????2n?.

所以 0?因 limn??1?3????2n?1?2?4????2n??11?3?3?33?5???2n?1?2n?12n?1?2n?1?12n?1.

1?0，再由迫敛性知 2n?11?3????2n?1?2?4????2n??0.

limn??例2.3.2 求数列?nn?的极限.

解： 记an?nn?1?hn，这里hn?0?n?1?，则 n??1?hn??由上式得 0?hn?nn?n?1?2hn2,

2?n?1?，从而有 n?12 , （2） n?1 1?an?1?hn?1?数列??1????22???是收敛于1的，因对任给的??0，取N?1?2，则当

?n?1??n?N时有1?2?1??.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为n?11,故由迫敛性得

limnn?1.

n?? 7

nk例2.3.3 设a?1及k?N，求lim. n??an*nk?0. 解：limn??an事实上，先令k?1，把a写作1??，其中??0.我们有 0?nn??nna?1???n2. ?2n?n?1?2?n?1??1?n????...2k?nn2?n????0n?2由于lim，可见是无穷小.据等式 ???n?n???n?1??2an??a1/k?n?a????， ??k注意到a1/k???n??1，由方才所述的结果?1/kn?是无穷小.最后的等式表明，

???a????nk??n?可表为有限个（k个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 ?a?nk?0. limn??an2.4 单调有界定理求法

有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.

cn?0?c?0?. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的limn??n!cn?0?c?0?. 解：limn??n!cn事实上，令xn?，n?N*.当n?c时，

n! 8

xn?1?xnc?xn. n?1??因此?xn?从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单

xn存在，在等式xn?1?xn调有界原理知极限x?limn??c的等号两边令n?1??n??，得到x?x?0?0,所以?xn?为无穷小.从而

cn?0?c?0?. limn??n!例2.4.2 求极限lim33???3（n个根号）. n??解：设an?33???3?1，

又由a1?3?3，设an?3，则an?1?3an?3?3?3. 因an?1?3an?an，故?an?单调递增. 综上知?an?单增有上界，所以?an?收敛.

an?a，1?a?3，令lim由an?1?3an， n??对两边求极限得a?3a，故a?3. 2.5 函数极限法

有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.

例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求limna. n??a?lima?lime解：先求lima，因limx??x??x??x??xx1/xlnax?ex??limlnax?e0?1,

再由归结原则知limna?1.

n??例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求limnn. n??x?lime解：先求limx.因limx??x??x??xxlnxx?e9

lnxx??xlim?e0?1，

再由归结原则知limnn?1.

n??kn例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设a?1及k?N，求lim. n??an*xkkxk?1k!xlimx?limx?.....?limx?0k解：先求lim.因（由洛比达法x??x??x??aalnaa?lna?x??axknk?0. 则），再由归结原则知limn??an2.6 定积分定义法

通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了. 例2.6.1 求limn??nnn!. nn!1ni解：令y?，则lny??ln.而

nni?1n111nilimlny?lim?ln??lnxdx?limlnxdx?lim??1???ln????????1, 0n??n??n??0+????0+?ni?1y??1，所以limy?lim也即lnlimn??n??n??nn!?e?1. n?2???sinsin?sin??nn例2.6.2 求极限lim?. ??...?n??11?n?1?n?n??2n??解：因为

2??2??...?sin?sinsinnn?n?...?sin? n?1n?1n?1n?1n?2n?2?sin?sin?...?sin?n ?n ， 1n?nsin?sin

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?

sinlimn???n?sin2??...?sin?n1????2???n?lim????sin?sin?...?sin???n??n?1?n?1nn???n???sin?sin?...?sin? ?lim????n???nn???n?1???2??

?1???0sinxdx?2?，

类似地 limsin?n?sinn??2??...?sin?n 1n?nn21????2???2??sin?sin?...?sin? ?lim????， n??n2?1??nnn?????由夹逼准则知

?2???sinsin?n?...?sin???2 . lim?n?n??11??n?1?n?n??2n??注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法 Stoltz公式，nlim???nyny?yn?1?a?limn.在求某些极限时非常方便，尤其n???x?xxnnn?1是当yn??ak时特别有效.

k?1例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明. 证明：前面用??N定义法证明，现用Stoltz公式证明. 令yn?a1?a2?...?an,xn?n，则由Stoltz公式得到

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a1?a2?...?ann??n

a1?a2?...?an???a1?a2?...?an?1???limn??n??n?1?lim ?liman?liman?a. n??1n??1k?2k?...?nk例2.7.2 求nlim. ???nk?11k?2k?...?nknk?limk?1解： nlim （Stoltz公式） k?1k?1???n???nn??n?1? ＝nlim??? ＝

nkCn?Cn1kk?12k?1k?1?...???1?k?1 （二项式定理）

11?. 1Ckk?1?12.8 几何算术平均收敛公式法

上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多n*，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求limna，其中a?0.

n??*n解：令a1?a,a2?a3?...?an?1,由定理1.2.4（2）知 limna?liman?1.

n??n??例2.8.2 同例2.3.2一样求limnn. n??n?n?2,3,...?,由定理1.2.4（2）知 n?1nn limn?liman?lim?1. n??n??n??n?1解：令a1?1，an?例2.8.3 同例2.6.1相似求limn??n1??n?1?解：令an??,则 1????nn?n?nnn. n! 12

n?1??213243 a1?a2????an?1?22?33????nn

n ＝所以

?n?1?n!nnn?n?1???. n!nnn na1?a2????an?也即nnn?1， ?nnn!nn，而由定理1.2.4（2）知 ?na1?a2????an?n?1n!n?1?na?a????a?lima?lim1? lim12nn???e. n??n??n??n??故

limn??nnnn?limna1?a2????an??e?lim?e. n??n??n?1n?1n!1?2?33?...?nn例2.8.3 求lim. n??n解：令an?nn,?n?1,2,3...?，则由定理1.2.4（1）知

1?2?33?...?nn?liman?limnn?1. limn??n??n??n2.9 级数法

若一个级数收敛，其通项趋于0（n?0）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.

cn例2.9.1 用级数法求例2.1.3注lim?c?0?. n??n!cn解：考虑级数?，由正项级数的比式判别法，因

n! 13

cn?1cnc/?lim?0?1， limn???n?1?!n!n??n?1cncn?0?c?0?. 故级数?收敛，从而limn??n!n!nk例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设a?1及k?N，求lim. n??an*nk解：考虑正项级数?n，由正项级数的比式判别法，因

a n???n?1?liman?1knk1?n?1?1/n?lim????1， ?n??aa?n?aknknk?0. 故正项级数?n收敛，所以limn??ana?111?例2.9.3 求极限lim?2?. ?...?22?n??n?n?1??2n?????解： 因级数?1收敛，由级数收敛的柯西准则知，对???0，存在N?0, 2n?1n?使得当n?N时，

1n?11 ?2??2??，

k?1kk?1k2n此即

111??...???， 222n?n?1??2n?所以

?111? lim?2??...??0. 22?n??n?n?1??2n??????例2.9.4 求极限lim??n??1?a2n??...???a?1?. a2an??1解：令x?，所以x?1.考虑级数 ?nxn，

an?1 14

n?1?x?an?1?lim因为limn??an??nxnn?nn?1?x?1，所以此级数收敛.

??令 s?x???nx，则s?x??x??nxn?1n?1n?1.再令f?x???nxn?1，

n?1?x0f?t?dt???ntn?10?xn?1dt??xn?n?1?x. 1?x所以

1?x?? f?x???. ??2?1?x??1?x?而 s?x??x?f?x??所以

x?1?x?2?a?1?1?a??12,

n?a?1?12 lim??2?...?n??s?x??. 2n??a?1aa???1?a?2.10 其它方法

除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子. 例2.10.1 求limsin2?n2?n.

n??解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. limsin2?n2?n?limsin2?n2?n?n?

n??n??2 ＝limsinn????????n?n?n?n2?limsin2n???1?1?1n

＝sin2?2?1.

2ccan例2.10.2 设0?c?1，a1?，an?1??,

222 15

证明：?an?收敛，并求其极限.

解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 0?an?c,?n?1,2...?. 事实上,0?a1??c.假设0?an?c?1，

2cancc2cc则0?an?1???????c.

222222c2cx2令f?x???，则f??x??x.

22an?1?an?f?an??f?an?1??f?????an?an?1

＝??an?an?1?can?an?1， （1）

其中?介于an和an?1之间.由于0?c?1,再由（1）式知?an?为压缩数列，

an?l,则?l?c. 故收敛.设limn??c2由于

2can an?1??，

22所以

cl22 l??,l?2l?c?0.

22解得l?1?1?c（舍去），l?1?1?c. 综上知liman?1?1?c. n??注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.

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第三章 数列极限在现实生活中的应用

3.1 几何应用-计算面积

在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线x?y2与两直线y?0和x?1所围的面积.

1??12??n?1?先将区间?0,1?等分为n个小区间?0,...?,1?，以这些小??，?,?，，?n??nn?2?n??1?区间为底边，分别以0，???n?2?2??n?1?，，，...????为高，作n个小矩形. ?n??n?2这n个小矩形的面积之和是

?i?1?11n An??????3???i?1? n?nni?1i?1?n221n?121?n?1?n?2n?1? ＝3??i?3

ni?1n6 ＝?131?1?1???. 2n?3n?这样我们就定义一个数列?An?，对每个An而言，它都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积，即，所以，当n越来越大时，An将越来越接近于欲求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为

An?. limn??131n1n

这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学.

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3.2 求方程的数值解

我们都知道，2是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近

2，以达到事先指定的精确度？2是二次方程x2?2?0的正根，所

以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.

把问题提得更一般一些.设a?0是任意给定的，我们来求a的近似值.给定a的一个近似值x0?0，在两个正数x0,a中，一定有一个x0大于a另一个小于a，除非x0正好就是a.有理由指望这两个数的

1a算术平均值x1??x0??可能更加靠近a，这便得到了更好的近似.

2x?0???事实上

2x0?a?2x0a??x0?a??0. x1?a??x0???a???2x2x2x21??a?011?00这表明：不论初值x0如何，得出的第一次近似值x1是过剩近似值.不妨设初值x0本身就是过剩近似值，因此x0?x0?a?0.由此得出 0?x1?a?x?a11x0?a0?x0?a. 2x02????这个不等式告诉我们：第一次近似值x1到a的距离至多是初值x0到

a的距离的一半.

...,xn，...，其中 重复施行上述的步骤，便产生数列x0，x1，* xn??xn?1??，n?N， 2x1??a?n?1?由

0?xn?a?

111xn?1?a?2xn?2?a?...?nx0?a， 222??????18

可见limxn?a.对于充分大的n，数xn与a的距离要多小有多n??小.

让我们看看实际应用起来有多方便，设想我们需求2的近似值.取初值x0?2（这是相当粗糙的近似值），反复迭代的结果是

x0?2.0,x1?1.5,x2?1.4166???，x3?1.4142566???，x4?1.41421356???，x5?1.41421356???，

这已是相当精确的近似值. 3.3 市场经营中的稳定性问题

投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值. 3.3.1 零增长模型

假定股利增长率为0,因其内在价值如下

?DtDtD1D2??...??...? V? . （1） ?tt1?i1?1?i2?2i?1?1?it??1?it?（V-内在价值，D?股息(红利)，i?贴现率）， 现由假定知 D?D1?D2?...?Dt，i?i1?i2?...?in， 所以此时股票内在价值为

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?DDDD?...??...? V?? ?tt1+i?1+i?2t?1?1+i??1+i?tD??1??1??????1?i??1?i????D. （2） ＝limt??1i1?1?i知道股票的内在价值后，可求出其净现值?NPV?，即内在价值减去市场价格，也即：

NVP?V?P.

当NVP?0，该股票被低估，可买入；当NVP?0，被高估，不益购买. 例：某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元，必要收益率10%，评价该股票.

解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为： V?D8??80，NVP?V?P?80?65?15?0. i10%故该股票被低估，可以购买. 3.3.2 不变增长模型

假定股利永远按不变增长率?g?增长，即 Dt?Dt?1?1?g??...?D0?1?g?， 代入（1）式得此时内在价值为

D0?1?g?ttV??t?1?Dt?1+it?t??t?1??1+i?tD0?1?g???1?g?1?????1?i??1?i??limt??1?g1?1?it???D?1?g?D??0?1.（3） i?gi?g例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每

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