变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法

1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；

对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples:

① 光线最短路径传播；

② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）； A

Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方

法），是计算泛函驻值的数学理论

?

B v1 ? ? v2 E C AE?EB?AC?CB

数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间

的（映射）关系

特征描述法：{ J:X?D?R|J(x)?r?R}

Examples:

① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域

n ‖A‖1 = max?aij ；A??max?aij；A2?(??aij)2

1nnn2ji?1ij?1j?1i?1② 函数的积分： 函数空间 数域

J??fn(x)dxabfn?D

Note: 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion：

① 判定下列那些是泛函：

???f(x,y)f?maxf(x)； ； 3x+5y=2； ??(x?x0)f(x)dx?f(x0)

??a?x?b?x② 试举另一泛函例子。

?

q(x) E、J consts x

物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能

x = 0, 固支；x = l, 自由 1ld2w2i. 梁的弯曲应变能： ?b??EJ(2)dx

20dxii. 弹性地基贮存的能量： ?f1l??kw2dx 20l0iii. 外力位能： ?l???qwdx iv. 系统总的势能：

d2w212 ???0{EJ(2)?2kw?qw}dx;x?0w?0dxl12dw?0 dx泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系

统势能。

泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w(x),使

系统势能泛函取最小值。

② 最速降线问题

问题：已知空间两点A和B,A高于B，要求在两点间连接一条曲线，使

得有重物从A沿此曲线自由下滑时，从A到B所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法：

i. 通过A和B作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B点坐标(a, b),设曲线为y = y(x),并已知：x = 0,y = 0；x = a,y = b ii. 建立泛函：

设P(x , y)是曲线上的点，P点的速度由能量守恒定律求得：

2 1mv?mgy?v?2gy 2命ds为曲线弧长的微分，有：

1?y'2dsds?dx ?v?2gy?dt?dt2gy2gyA x 重物从A点滑到B点的总时间：

T=?

ay 1?y'22gy0dx

y p B 泛函驻值提法：在0≤x≤a的区间内找一个函数y(x)使其满足端点几何条

件并使T取最小值。

③ 圆周问题

问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。 作法：

i. 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x(s), y = y(s)

s为参数。取s1为曲线上的某一定点，则坐标表示x1=x(s1),y1=y(s1),因曲

线是封闭的，必存在一个s2点使x2 = x(s2),y2 = y(s2)与点s1(x1,y1)重合。 ii. 该封闭曲线的周长： L =

?s2s1(dx2dy2)?()ds dsds 该曲线所围成的面积：R = ??dxdy

?iii. 转换R的表达式 由Green公式：

s2?Q?P(?)dxdy?Pdx?Qdy

s1?x?y????y?Q?Px 取P =-2,Q =2, 则：??1

?x?ys2s211xdy?ydx?2(xy'(s)?yx'(s))ds ∴R?2s1s1??泛函驻值的提法：等周问题即是在满足端点条件x(s1) = x(s2), y(s1) = y(s2)

及周长一定

?s2s1?dy22(dx)?()?L 条件下，寻找一个曲线函数?dsdsx(s)使泛函?y(s)R取驻值。 ④ Discussion

悬索线问题：已知空间中A，B两点及一条长度L>AB的悬索，单位长的

质量为m。假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在A，B两点，求在平衡状态下绳索的形状。 要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。 提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。

1.2 变分法（泛函驻值的计算方法）

? 关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法

① 这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。

② 所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数（或偏导数）的积分形式，即： a. ?1? b. ?2??aF(f(x),f'(x),f\(x);x)dx

?b??F(f(x,y),fx(x,y),fy(x,y);x,y)dxdy

c. 泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argument），x或y仅

是积分变量，是被积函数的定义域。（被积函数是复合函数概念的推广）

③ 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意： a. 应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）； b. 还必须讲明白自变函数的性质，如：

- 独立的自变函数的个数（导函数并不独立）； - 每个自变函数定义的区间/区域；

- 这些自变函数应满足的条件（如：边界条件及其受约束的条件等）。 c. 除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应

的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变小；非极值的驻值可能成为极值。

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若干背景知识

① 泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就

是完成这类工作。本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。

② 从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便，

也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性（有限元的思想基础）。

③ 经Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等数学先驱的卓越工作，

完成了①的系统方法。

④ 但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中，即先猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。 ⑤ 泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。

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关于变分法的一个预备定理 有：?

若f(x)在[a,b]上连续，若对任意满足 ?(a)=??(b)=0 的连续函数??x??都

?af(x)?(x)dx?0

b 则 f(x)在[a,b]上处处为零。

反证法：设x0为[a,b]中的点，在x0点f(x0)≠0，可取f(x0)>0,

∵ f(x)在区间上连续，必存在x0的一个充分小邻域上f(x)>0, x0-?

而在该邻域外恒等于零。所以有

?baf(x)?(x)dx?0

矛盾！即f(x)必须为零；同理可证小于零情况。 该定理可推广多元变量的函数问题。

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