2009-2013年全俄物理奥林匹克理论部分附答案

2009年全俄物理奥林匹克（理论部分）

九年级

问题9-1

起重机用绳索缓慢地从水中将圆木提起来。绳索吊在圆木的一段，圆木可以

4看作密度一定的细圆柱。圆木的质量为m，长度为L。水和木头的密度之比??。

3重力加速度为g。

?起重机至少要做多少功W，才能将圆木完全拉出水面？

?画出绳索的张力T与圆木的上端被拉出水面的高度h的关系图像。

L?起重机将圆木从一个倾斜角提到另一个倾斜角，使得其上端升高?h?。

5这期间，它做的功Wh等于多少？

吊着的圆木

图1

图2

问题9-2

传送带上的糖果

实验员格鲁克一次参观糖果工厂时，注意到糖果从包装机中掉到传送带上的时候，速度与水平面夹角α=60°（从上方看如图2所示），速度先减小后增大。

????糖果的初速度为v0，与传送带的速度u大小相等，且位于传送带所在平面上。糖

???果落到传送带上的一瞬间，相对于传送带的速度v0'等于多少？求出糖果相对于

站着不动的格鲁克的速度的最小值vmin。

问题9-3

双桥

在如图3所示的电路中，接线端C和D之间的电压UCD?15V。已知R>>r。 ?求在A和B之间连接的理想电压表的示数。 ?如果在A和B之间连接的是理想电流表，标出在每个电阻上以及电流表上的电流方向。

图3

问题9-4

理论家巴格想要喝茶。他拿了一把带有小温度计的隔热的茶壶，并接上电源。温度计的示数为T0=20℃。经过t1=1min，水被加热到T1=40℃，他往茶壶里又注入了一些水。在t2=3.5min的时刻，水的温度达到了T2=50℃。巴格不再往茶壶里注水了。又过了5分钟，水烧开了。图4为茶壶里水的温度在加热和注水的过程中的变化图像。注入的水的温度Tx等于多少？假设水是快速混合均匀的，温度计表示水温的当前值。

中途注入水的茶壶

图4

十年级

问题10-1 洞中的小球

在水平桌面上挖了一个半径为R的半球形洞。将质量为m的小球用长度为L=R的不可延伸的轻线系在洞口上的点A处。一开始，线是拉直的，小球和洞口接触，如图5所示。释放小球，使其无初速下滑。求当小球下落到最低位置时，线上的张力。重力加速度为g。

图5

图6

问题10-2 折射光线

据说人们在斯涅尔的档案中发现一幅画有光路图的画，如图6所示。随着时间的经过，墨水褪色了，只能看到入射光线和三个点：薄透镜的右焦点F，入射光线A’A被折射的点A，以及透镜的左焦平面上的点B。根据所给数据，还原透镜的位置、它的主光轴、以及经过折射后的光线。

问题10-3 小行星的碰撞

在广阔的宇宙中，三颗较小的行星位于同一条直线上，相对于恒星是静止的，因万有引力而接近彼此。直到碰撞为止，中间的小行星（质量为m2）与右边的小行星（质量为m3）的距离保持等于它与左边的小行星（质量为m1）的距离的n=2倍，如图7所示。用m1和m2表示m3。

图7

问题10-4 非线性电导率

某种物质的电导率是非线性的。该物质的电阻率ρ和电场强度E的关系满足如下规律：???0?AE2，其中?0?1.7?107Ω·m，A?1.0?10?3Ω·m3/V2。用该物质充满平行板电容器的两块极板之间。极板的面积S=1m2。 ?求流过电容器的电流的最大值Imax。

?设电容器的两块极板之间的距离d=1cm，求在两极之间施加电压时，电容器内部的最大发热功率。画出该功率P与电压U的关系图象。

?现在让电容器上的电压保持恒定：U1=2.0×103V。如果改变两块极板之间的距离，电容器内的最大功率等于多少？当d=d1等于多少的时候，功率达到最大值？假设对d的任意取值，电容器里面都充满该物质。定性地画出功率P与距离d的关系图像。

问题10-5 丢失的坐标轴

据说人们在开尔文男爵的档案里找到了一张关于热机的封闭循环过程的p-V图象，如图8所示。过程1-2为等压过程，2-3为绝热过程，3-1为等温过程。随着时间的经过，墨水褪色了，图上的坐标轴看不见了。已知热机的工质为ν=2mol理想气体（氦气）。压强轴每1小格表示1atm，体积轴每1小格表示1L。

?还原坐标轴的位置，并计算出该循环过程中气体的最大压强。 ?计算出循环中气体温度的最大值和最小值。 ?求等温过程3-1内做的功WT。 ?求循环的能量转换效率η。 注：理想气体常数R=0.082L·atm/(mol·K)。

图8

十一年级

问题11-1 蹦极

蹦极者质量为m=70kg，从平台上跳到湖中。他的脚上系着长度为L，劲度系数为k的皮筋。皮筋的另一端系在平台上。他距离水面的高度h=90m，到达水面时速度为0，加速度a0=2g。设重力加速度g=10m/s2，皮筋满足胡克定律。人的身高以及空气阻力等能量损失可以忽略。请求出：

?皮筋未伸长状态下的长度L和劲度系数k； ?当人吊在皮筋上不动时，皮筋的伸长量； ?人下降的最大速度vmax；

?人在皮筋上作简谐振动的振幅A和周期ω； ?人落到水面上所需要的时间t。

注意！如果计算不准确，会危及人的生命！

问题11-2 自感应电路

在图9中的电路图中，所有元件的参数都是给定的。在初始状态下，开关断开，在电感电路中没有电流。将开关闭合一段时间后再重新断开。已知在开关闭合期间，经过感应器的电荷为q0。在断开开关后的全部时间内，电路中放出的热量为Q0。

假设电路中的所有元件都是理想的，求：

?断开开关前一瞬间，流过电感器的电流强度I0； ?开关闭合期间，流过电阻R的电荷q1； ?开关断开后，流过电阻R的电荷q2； ?整个过程中电流所做的功W；

?开关闭合期间，电路中放出的热量Q。

提示：求出流过电阻器的电荷与线圈中磁通量变化的关系。

图9

问题11-3 与周围环境的热交换

容器中装有冰水混合物，在时刻t=0min的时候接上功率为P0=400W的电热炉。图10为物质的温度T与时间t的关系图像。已知散热功率Q与温度差ΔT=T-T0成正比，其中T0为周围环境的温度。计算中你可以取T0=0℃，从而Q=αT，其中α为与温度无关的常数系数。根据给出的关系图象T(t)，求：

?一开始时，混合物中冰的质量m冰； ?容器中物质的总质量； ?比例系数α；

?使得水一直不会沸腾的最大加热功率Pmax；

?如果用P1=300W的电热炉，求从冰开始融化到水沸腾所需要的时间t1。 水的比热c水=4200J/(kg·℃)，冰的熔解热λ=3.2×105J/kg。

图10

问题11-4 开尔文的问题

据说人们在开尔文男爵的档案里找到了一张关于使用1摩尔理想稀有气体进行循环过程的图象，如图11所示。随着时间的经过，墨水褪色了，图上的坐标轴T（温度）和V（体积）看不见了。根据文字说明，我们知道，在点A处温度为400K，体积为4L，气体的压强达到最小值，坐标原点位于图的下方。旁边是图的比例尺。

?还原坐标轴T和V。

?求该过程中气体的最大压强。

图11

图12

问题11-5 两面透镜的问题

在一次物理竞赛的实验部分上，选手们被要求计算出位于长度为L=20cm的空圆筒两头的两面凸透镜的焦距，如图12所示。

一名选手瓦夏仔细地做了实验，得出下面的结果： 1. 如果在圆筒左侧l1=5.0cm处将点光源放置在轴上，经过系统后从右侧的出射光线是平行光。

2. 如果在圆筒左侧入射平行光，在圆筒右侧l2=10.0cm处光线在轴上汇聚成一点。

然而，瓦夏却不知道怎样从实验的数据中计算出焦距F1和F2。帮助一下可怜的瓦夏吧。

2010年全俄物理奥林匹克（理论部分）

九年级

问题9-1

在一个污染得很严重的池塘里，水面上覆盖着厚度为d=1.0cm的石油。在池塘里漂浮着一个质量m=4.0g，底面积S=25cm2的圆柱形玻璃杯。玻璃杯一开始是空的，底面未触及石油面的一半深度。然后向玻璃杯里倒入石油，使得玻璃杯内外的油面持平。两种情况下，玻璃杯底距离水面的高度相等，如图1所示。已知水的密度ρ0=1.0g/cm3，求石油的密度ρ1。

石油的密度

图1

图2

问题9-2

船的驾驶

两艘船匀速行驶，且速率的大小相等，v1=v2=v。在某点处，它们的距离等于L，相对位置如图2所示。

?求两船在后续移动过程中的最短距离； ?求到达最短距离所需要的时间；

?当从B出发的船到达了船A的运动路线的时候，从船A派出一艘小船，需要把带有重要消息的包裹寄送给船B。求包裹到达船B的最短时间Δt，如果小船的速度u也等于v。

问题9-3

冰的融化

有一大块平整的冰，温度为0℃，在上面挖一个体积为V0=1000cm3的洞，并用不导热的泡沫塑料覆盖，上面挖一个小孔（如图3所示）。现在从小孔向洞里缓慢倒入温度为100℃的水，至多能倒入多少？

已知水的比热c0=4.19J/(kg·℃)，水的密度ρ0=1.00×103kg/m3，冰的密度ρ冰

=0.90×103kg/m3，冰的熔解热λ=334kJ/kg。

图3

问题9-4 电热炉

电热炉的加热元件是两根螺旋电热丝，可以连接到直流电源上，可以单独连接、串联或并联。我们假设电热丝的电阻值与温度无关。

结果，如果只接入第一根电热丝，电热炉可以加热到t1=180℃；如果只接入第二根电热丝，电热炉可以加热到t2=220℃。

在下列两种情况下，电热炉分别可以加热到多少度？ ?将两根电热丝串联； ?将两根电热丝并联。

提示：电热炉向外界环境的热流与温度差成正比。假设空气的温度是常数，为t0=20℃。

问题9-5 电桥

如图4所示，电路包含5个电阻器和2个理想电流表。电阻R0、R1、R2的阻值已知，R3的阻值未知。如果经过电流表A1的电流强度I1是已知的，求电流表A2的示数。

图4

十年级

问题10-1 在木板上滑动的重物

在长的光滑水平桌面上放有质量为m2，长度为L的木板，在它的左端放有质量为m1的重物。重物和木板之间的摩擦系数为μ，木板和桌面之间的摩擦力可以忽略。将质量为m1的重物与质量为M的重物通过轻质长绳相连，绕在轮轴无摩擦的滑轮上，如图5所示。系统从静止状态开始运动。

?当重物m1与木板m2之间的摩擦系数μ满足什么条件时，它们能够作为一个整体运动（即它们之间不发生滑动）？

?求能够使得它们之间不发生滑动的摩擦系数的最小值μmin；

??设??min。此时，重物m1与木板m2会以不同的加速度运动。从一开始，

2经过多久之后，重物会从木板上掉下来？

设m1=M=1kg，m2=2kg，木板的长度L=1m，重物的大小远小于L，重力加速度g=10m/s2。

图5

问题10-2 离解

标准状况下，氧气是由双原子分子O2组成的。当温度升高时，分子可以离解，每个氧分子O2离解成两个氧原子O。如图6所示，用(ρ,p)的坐标表示两个相同的循环过程，其中ρ为气体密度，p为压强。坐标没有单位，是用

?p和?0p0表示的，其中ρ0和p0为比例尺的系数。第一个实验中，工质为低温度的氧分子

O2；第二个实验则是在高得多的温度下进行的，此时有一部分氧以分子形式（O2）存在，一部分以原子形式(O)存在，且实验中离解系数没有改变。两个实验中，气体的质量相等。已知两个实验中的最高温度之比k?T2,maxT1,max?5.0。

?求第二个实验中氧分子的离解系数α（即离解了的分子的比例）； ?求这两个实验中的最低温度之比kmin。

图6

问题10-3 斜面上的滑块

如图7所示，将一个滑块以初速度v0推上倾斜角为α的斜面。

?在没有摩擦力的情况下，过多长时间（t0）后，滑块会回到出发点？ ?当摩擦系数μ等于哪些值时，滑块能够回到出发点？ ?在有摩擦力的情况下，求回到出发点所需要的时间tμ；

?如果在有摩擦力的情况下，tμ等于没有摩擦力的情况下需要的时间t0，求摩擦系数μ。

图8

图7

问题10-4 压敏电阻

一些情况下，为了防止电器受到过大的电压变化的影响，会加入用非线性半导体制成的元件——压敏电阻。如图8所示，它与负载电阻R负以并连的方式接入电路。这里，R负=10Ω，镇流电阻R=10Ω，В为压敏电阻，其电压电流关系曲线如图9所示，电流表A的示数为I，输入电动势为E。在正常工作状态下，电流表的电流强度I=I0=1.0A。

?求在正常工作状态下的输入电动势E1、压敏电阻两端的电压U压1和经过它的电流强度I压1。

?令输入端电压增加到2倍：E2=2E1。此时，求负载电阻两端的电压的增加量，以及经过压敏电阻的电流强度的增加量。

图10

图9

问题10-5 包含两个电容器的电路

?如图10所示，电路中有电动势为E的理想电源、电容分别为2C和C的两个电容器和一个有一定阻值的电阻器。闭合开关K1，电容器上的电压分别是多少？

?当电容器充满电后，闭合开关K2，直到经过电源的电流减为刚闭合开关K2的时候的电流的一半的时候为止。求开关K2从闭合到断开期间，电路中产生的热量Q。

十一年级

问题11-1 球面上的链子

如图11所示，将长度为L的均匀链子的顶端固定在半径为R的光滑球面上

πR放置长度为，其中L?。现在，释放链子的顶端。

3?在刚刚释放的时候，链子上的每一点的加速度的数值等于多少？ ?在刚刚释放的时候，链子上的什么位置的张力最大？

图11

图12

问题11-2 无滑动的运动

在光滑的水平桌面上放置质量为m1的木板，它的右侧放置着质量为m2的木块。将木块与墙壁用劲度系数为k的轻质弹簧（未伸缩）连接。将木板与质量为M的重物用不可拉伸的轻绳通过滑轮连接，如图12所示。一开始时，系统处于静止状态。木板与木块之间有摩擦力，它们之间的摩擦系数为μ。

当木块移动多长的距离L之后，它和木板之间会开始发生滑动？需要分情况讨论。并求出木块移动距离L所需要的时间。

问题11-3 热机

热机按卡诺循环工作。加热机的温度T1=800K，而冷凝机的温度T取决于机器的有用功率P。冷凝机是一个与外界绝热的大机体，通过热传导，在时间Δt内，在T2=300K的温度下，将所有的热量Q2输送到冷凝库，如图13所示。热传导按照公式Q2=α(T-T2)Δt进行，其中α=1.0kW/K。

?用温度T1、T、T2来表示功率P；

?当热机的功率达到最大值时，求冷凝机的温度Tm； ?求这个最大功率Pmax；

?求最大功率下的机械效率η。

图13

问题11-4 带电粒子的运动

在自由的空间中，半径为R0的圆的内接正方形的顶点上各有一个质量为m的质点。其中两个带电+q，另外两个带电-q，如图14所示。刚开始的时候，这些质点沿着圆的切线以相同的速率顺时针运动。

已知在运动过程中，任何一个质点与圆心的最短距离都是R1（R1

?每个粒子的运动轨迹是什么样的？

?求一个粒子从初始位置到距离圆心R1的位置所需要的运动时间。

图14

图15

图16

问题11-5 单极感应器

单极感应器是一块高速旋转的圆盘形状的永磁体。圆盘用磁性合金材料制成，可以产生强磁场，并用能导电的薄镍层覆盖。当圆盘旋转时，转轴与表面之间的电势差可以用固定电压表来测量，如图15所示。如果将转轴与表面之间用电池连接，则磁体转动，像电动机一样。类似地，如果将普通电动机进行快速旋转，就会变成发电机；反之，如果对发电机施加电压，就会变成电动机。

图16是一个工作中的单极电动机，转子是半径为r0=2cm的圆盘形状的强永磁体，安在轴上。将它与电动势E=1.5V的电池连接，进行滑动接触时，开始转动。

?在图15中，当圆盘的转速为3000转/分时，电压表的读数是多少？并标出正确的极性。电势差的极性是什么？从上方看，转动是逆时针的。

?忽略摩擦，求磁性圆盘（图16中的单极电动机的转子）的转速（转/分）

??的限制。在图16中给定的电池极性和磁感应强度向量B的方向下，请给出（从上方看）的旋转方向。

??注：在导电的镍层中，磁感应强度向量B与圆盘表面垂直，为常数B=1T。

为简化计算，假设导电层中的电流沿着轴和接触点之间的半径流动。

2011年全俄物理奥林匹克（理论部分）

九年级

问题9-1

一个小物块从滑梯上的某点M无初速释放。在点O处脱离滑梯，然后在点A处着地，如图1所示。通过作图和计算，找出滑梯上释放物体的点M。点M距离地面多少个长度单位？

这里，图是按照比例尺画的，长度单位并不知道实际代表多少。

下滑梯

问题9-2

滑块和小山

一个小滑块在光滑的水平面上滑动，碰到了光滑的小山，它也放在同一个水平面上（如图2所示）。当滑块离开小山时，我们发现滑块和小山在光滑的水平面上滑动的速率相等。

?求滑块和小山的质量之比的可能取值。

?求滑块滑到山顶时的重力势能与其初始动能之比的最大值。 注：滑块上山、下山时不离开山面。

图2

图3

问题9-3

循环热交换

有两个不导热的容器里都装有水。第一个容器里的水的总热容量为c1，温度为t1；第二个容器里的水的总热容量为c2，温度为t2。在第二个容器的水里面放一个铁块，热容量为c，如图3所示。

把铁块从第二个容器里拿出来放到第一个容器里，达到热平衡后放回到第二个容器里，如此往复。

热容量的比值c1:c2:c=4:5:1。不计和周围环境的热交换。

1?进行n次这样的循环后，温差(t2?t1)n变为原来的，其中N≥25。求n

N的最小值。

?经过足够多次的循环后，容器中的水的温度变为多少？

问题9-4

导线正方体

在一个导线正方体的7条棱上分别焊接有相同的电阻器，阻值均为R，如图4所示。其他棱上的导线的电阻可以忽略。在A和B两个接线端之间施加电压U。

?求AB两端之间的电流强度IAB和阻值RAB。 ?正方体的哪条棱的电流强度最大，等于多少？ ?哪些电阻的热功率最大，等于多少？

?如果电压U是加在A和C两端的，求电流强度IAC和阻值RAC。

图4

问题9-5

复合圆柱由两段连接起来的圆柱形水管组成，将其固定住，使得其对称轴竖直。可以在底下放一块铁片，将底下的口完全堵上。为了使铁片处于堵住水管的位置，需要从下面对其施加的力F≥F0。倒入V0升水后，把铁片按住所需要的最小力变为2F0。再倒入V0升水后，把铁片按住所需要的最小力变为4F0。最后，

V再倒入0升水，把铁片按住所需要的最小力变为5F0，复合圆柱也充满了。

3?求下上两段圆柱的底面积比S1:S2。 ?求下上两段圆柱的高度比H1:H2。

复合圆柱

问题9-2

弹簧和小球

在水平桌面上竖直放置了一根光滑长管，里面放有轻质弹簧。在管内从距离桌面h=2m的高度无初速度释放小球。当小球碰到弹簧的顶端时，粘在它上面。图1为小球的动能Ek和它距离桌面的高度h的关系图。求弹簧未伸长时的长度L0、劲度系数k和小球的质量m。假设小球碰到弹簧顶端时不发生能量损耗，且弹簧的任何形变都满足胡克定律。取g=10m/s2。

注：实际考试中，学生可以申请领取一张放大了的图1。

图2

图1

问题9-3

预热

在实验室中，实验员格鲁克有一台带有搅拌器的电热器、一台自动调温装置③

和两个薄壁烧杯，尺寸之比为2④（玻璃的厚度相等）。自动调温装置中保持恒温T1=20℃（如图2所示）。格鲁克想要研究烧杯中液体的温度与时间的关系（需要用搅拌器使得烧杯中的液体温度快速达到均匀）。

首先，他将小烧杯里装满待测液体，温度为T1=20℃，放入自动调温装置。通电后，格鲁克发现，经过第一个t1=10s，系统的温度升高了ΔT1=1℃。经过足够长的时间后，液体的温度变成T2=40℃。

在第二次实验中，他将大烧杯里装满同一种液体，温度已经加热到了T3=35℃，并放入同一个装置。经过某个时间t2后，他奇怪地发现，大烧杯里的温度下降了ΔT2=0.5℃。

假设玻璃杯的热容量和里面的液体的热容量相比可以忽略不计。

?经过足够长的时间后，大烧杯里的温度会变成多少（用T4表示）？ ?求时间t2。

注：已知烧杯壁单位时间内的热传递与内外壁的温差成正比。

③④

译者注：该“自动调温装置”可以看做一个足够大的恒温水槽。 译者注：指的是各维之比均为2。

问题9-4

二极管

半导体二极管是一种只能单向传导电流的仪器（图3）。如果将二极管反向接入（图4），将不会通过电流。理想二极管的伏安特性（电流与电压的关系图）如图5所示。

图3 图4 图5

?图6为带有支路的电路的一部分。电阻R1=6kΩ，R2=5kΩ。求二极管上的电势降和流过毫安表的电流。

?如图7所示，将二极管反向接入，电阻不变。此时，求二极管上的电势降和流过毫安表的电流。两种情况下，毫安表看作理想的。

图7

图6

问题9-5

迷失的镜子

据说人们在斯涅尔的档案中发现一幅画，上面画有两面平面镜M1和M2，所成的二面角为φ，点光源S和可以同时看到点光源的两个像的阴影区域AOB。随着时间的经过，墨水褪色了，镜子M2和点光源S看不清了（如图8所示）。

图8

根据已知数据，用尺规作图（圆规和没有刻度的直尺）恢复M2的位置，并求出S可能位置的轨迹。镜子视为半无限的⑤。

如果∠AOB=∠α=30°，求镜子之间的二面角φ。

十年级

问题10-1 平台

平台上凸出的部分是高度为h的长方体，上面有质量为m的小物块。在它上面系有不可延伸的轻线，跨过安在凸起部分上的理想滑轮，如图9所示。线的另一端系在竖直的墙上，使得滑轮和墙之间的这段线是水平的。

平台以速度v远离墙壁运动。当物块上的线与水平方向夹角为α时，需要多大的拉力F？力F是水平的且位于该图的平面内，物块与平台之间的摩擦系数为μ，平台与地面之间没有摩擦。假设在物块在平台上运动的过程中，平台不离开地面。

图10

图9

⑤

译者注：即每面镜子都是无限大的半平面。

问题10-2 旋转管

环形玻璃管带有分叉，把它浸入敞口的汞槽中。上面的部分有一段空气柱，空气和汞的交界处和对称轴的距离为R（如图10所示）。为了使得气体的压强变

⑥

为原来的n倍，求系统绕轴旋转的角速度ω。一开始的气体压强为p0，汞的密度为ρ，汞槽中汞的深度可以看作不变。

问题10-3 单调过程

将一摩尔理想气体从已知压强p1和已知体积V1的状态转换成压强p2=0.75p1和体积V2>V1的状态。过程中p与V的关系图象是线性函数（如图11所示）。

为了使得整个过程中气体的温度是单调变化的，求末态的体积V2的取值范围。

图11

图12

问题10-4 三个带电粒子的远离

三个粒子带电量相等，一开始的时候位于一个边长分别为R1、R2、R3的三角形的三个顶点处（如图12所示）。同时释放这三个粒子，它们远离彼此，使得两两之间的连线保持和一开始的时候平行。在忽略重力的情况下，求三个粒子的质量之比m1:m2:m3。

问题10-5 非线性元件

如图13所示，电路中的定值电阻的阻值均为R=1Ω，X为伏安特性未知的非线性元件，还有理想电流表和可变电源。图14为电流表的示数与电源电压的关系图象，其中图13中的电流的方向为正方向。请对该非线性元件的伏安特性进行还原（即画出其电流与电压的关系图象）。

⑥

译者注：原文为“变化n倍”，需要判断压强是增加还是减小，这里应保持该考点不变，故规定n可能是整数或分数。

图13

图14

十一年级

问题11-1 一袋面粉

将一袋面粉放在弹簧台秤的秤盘上方h=4cm的高度处，使其无初速下落。秤的箭头摆动到m1=6kg的位置，当振动停下时，示数为m2=2kg。弹簧的劲度系数为k=1.5kN/m。求秤盘的质量M。

注：重力加速度取g=10m/s2。

问题11-2 磁力

如图15所示，两条平行的水平铁轨之间的距离为l，两根金属棒AB和CD可以在铁轨上无摩擦地滑动，质量均为m，电阻均为R。感应系数为B的均匀磁场和两条铁轨所在平面垂直。一开始，两根棒的距离为d，且与铁轨垂直。一开始的时候CD不动，而AB则以v0的速度沿着和铁轨平行的方向远离CD移动。在经过足够长的时间之后，求

?两根铁轨之间的距离； ?系统放出的总热量。

图16

图15

问题11-3 电场中的双极子

双极子由两个点电荷+q和-q组成，它们之间的距离固定为l，总质量为m。双极子朝着x轴的方向，以速度v0进入宽度为2L>>l的区域（如图16所示）。在

???x2?该区域内，电场向量E处处都是沿着x轴的正方向，其大小为E(x)?E0?1?2?。

?L?求双极子所受的合力与其重心横坐标的关系式，其速度的最大值，以及经过这2L距离所需的时间。双极子在空间中的方向始终不变。

注：这样的电场可以用具有指定的空间电荷分布的平行板电容器来实现。

问题11-4 线性过程

将一摩尔多原子理想气体从温度tB=217℃的状态B转换成状态D，使得压强和体积的关系是线性的。气体的温度单调递减，需要从外界提供热量（如图17所示）。

为了能使气体进行这个过程，求所需要做的功的最大值Wmax。

图19

图17

图18

问题11-5 围成一圈的透镜

在斯涅尔的档案中发现了这么一篇手稿，里面提到，光线经过由N面相同的透镜组成的系统折射后形成的光路是什么样的。这些透镜的光心位于一个圆周上，它们所在的平面都和圆周所在平面垂直并经过圆心。时间过去了，墨水褪色了，图中只能模糊地看到其中两面相邻的透镜所在的平面和其中一面的一个焦点（如图18所示）。从文字中可以得知，光线经过这些透镜中的每一面折射后，形成一个正N边形的边。透镜的形状和直径D如图19所示。

?透镜是凸透镜还是凹透镜？

请用尺规作图（圆规和没有刻度的直尺）来恢复： ?两面透镜的位置（图中表示了它们所在的平面）； ?连续四面透镜的光心的可能位置；

?光线沿着这四面透镜所形成的光路的可能位置。 请说明你的理由。

2013年全俄物理奥林匹克（理论部分）

九年级

问题9-1

两个粒子从同一点出发沿互相垂直的方向运动，如图1所示。第一个粒子的初速度为3v，加速度恒定为3a，与初速度方向相同；第二个粒子的初速度为4v，加速度为4a，与初速度方向相反。

数值上，a=0.538m/s2，v=10m/s。

当它们的相对速度的大小和一开始相等时，它们之间的距离L等于多少？它们的相对速度的最小值v0等于多少？

相对论

图1

图2

问题9-2

管中的物体

在不导热的圆柱管中放置有两个轻质可导热的活塞，距离为L1=80cm。它们之间的空间装有水，外侧受到大气压的作用，如图2所示。

左活塞的左侧有冷凝器，保持温度t1=-40℃；右活塞的右侧有加热器，保持温度t2=16℃。经过一段时间，系统达到稳定状态，两个活塞之间的距离变为L2。

之后，将活塞与外界进行热隔离，并等待管中达到热平衡。此时，活塞之间的距离变为L3。求L2和L3的值。冰的密度ρ冰=900kg/m3，水的密度ρ水=1000kg/m3，水的比热c水=4200J/(kg·℃)，冰的比热c冰=2100J/(kg·℃)，冰的熔解热λ=330kJ/kg，冰的热传导系数是水的4倍。

提示：考虑流过圆柱管的热流容量P。如果两端保持一定温差Δt，可以用kS?t来计算，其中k为介质的热传导系数，S为圆柱的底面积，L为这段圆P?L柱的长度。

问题9-3 环上的珠子

质量为M的细丝环立在水平面上⑦，如图3所示。上面有两个质量均为m的珠子，可以沿环无摩擦地滑动。一开始，珠子接近环的顶端。同时释放它们，使

m得它们开始对称地移动。它们的质量之比是多少的时候，环会从平面上“跳

M起来”？

⑦

译者注：这本来是不稳定平衡，但本题的本意不考虑这个，凑合理解吧。

图3

图4

激光线中的冰

问题9-4

为了学习冰的性质，在实验室中用滑轮和细绳将四块质量不同的冰连起来，并浸入装有水的玻璃杯中。系统处于平衡状态，最轻的冰悬在空气中，三块较重的冰则各有部分浸入水中，如图4所示。

在实验的过程中，在悬在空气中的冰上照射激光，使其开始融化，水滴入玻璃杯中。

当冰块吸收了Q=825J的热量后，玻璃杯中的水面变化了Δh1=1cm。当这块冰完全融化后，水面和一开始相比变化了Δh2=3cm。

?玻璃杯中的水面是升高了还是降低了？ ?求玻璃杯的底面积。

?吊着质量为6m的冰的那段绳的张力在什么范围内变化？

假设在质量为m的冰融化的整个过程中，都吊在绳子上，没有接触水面。不计滑轮和细绳的质量。一开始以及实验的过程中，冰和水的温度都等于室温t室=0℃。重力加速度g=10m/s2。

问题9-5 滑动变阻器

实验员格鲁克用图5中的电路做实验。电路中有电压为U0的未知电源，电阻R3=1MΩ，电阻R1和R2未知，两个理想电流表，以及滑动变阻器XZ——横截面积一定的导体，和滑片Y相连。滑动变阻器的长度L=1m，阻值r=1kΩ。通过滑动滑片，格鲁克画出了电流表A1的示数与滑动变阻器的XY段的长度的关系图，如图6所示。

图5 图6

?求R1:R2的阻值之比。

?画出电流表A2的示数与滑动变阻器的XY段的长度的大致关系图（需0.1%的精确度）。

?求R1和R2的阻值，以及电源电压U0。

十年级

问题10-1 沙包和摩擦

将一包沙子以初速度v0沿着与水平面夹角α的方向从地面抛出。落地时，失去竖直方向的分速度。求与初始位置相比的位移的最大值，以及达到此位移的夹角α。沙包和地面之间的摩擦系数为μ，重力加速度为g，碰撞的时间很短。

问题10-2 容器中的过程

隔热的圆柱容器水平放置，被固定的导热活塞分成两部分。右边的部分用可移动的隔热活塞与空气隔离。两部分都装有氮气，系统处于平衡状态。将左边的部分快速加热。已知从加热结束时起，到再次到达平衡时，气体的总内能的变化量为ΔU。那么，这期间左边的部分的氮气的内能的变化量ΔU1等于多少？容器和活塞的热容量可以忽略。

问题10-3 两个小球

两个相同的小球质量均为m，用不计质量，不可延展，长度为l的细线连起来，放在光滑的水平面上，如图7所示。

对右侧的小球施加v0的竖直向上的速度，设重力加速度为g。

?当线的方向变成竖直时，求上边的小球的路径在此刻的曲率半径。

?为了使得在这一时刻下面的小球对水平面的压力为0，初速度v0应当取什么值？

图7

问题10-4 实验

图8

两个竖直的圆柱形容器底端用带有压力计的可不计体积的细管连接，如图8所示。两侧的容器口都有活塞，在最顶上活塞被卡住，阻止其上升。当活塞处于最顶上的时候，活塞底部与容器底部的距离为h=1m。活塞下面共有1摩尔理想气体，大气压为p0=105Pa。活塞可以在容器中无摩擦地滑动。

下表为在5种不同的温度下，气压表的示数： t,℃ -50.0 -32.4 27.8 174.7 264.1 p,105Pa 2.0 2.0 2.5 2.5 3.0 求两个活塞的质量m1和m2，以及两个容器的底面积S1和S2。⑧

问题10-5 电路

在图9的电路中，各个元件都可以看作理想的。电源的电动势ε=4.0V，电阻r=50kΩ，R=150kΩ，电容C=2.0mF。在闭合开关前，电路中没有电流。将开关闭合一段时间，然后再断开。开关闭合期间，电路中产生的热量Q1=7.43mJ；断开开关后，电路中产生的热量Q2=1.00mJ。

?开关闭合期间，流过电阻R的总电量等于多少？ ?开关共闭合了多长时间？

图9

⑧

译者注：由于两个容器是平等的，这里设S1

十一年级

问题11-1 织针的振动

在一根长度为L的轻织针的两端各系上一个相同的小金属球，如图10所示。把织针放在长度为l<

图10

图11

问题11-2 三方格同磁场，不用提电容器⑨

用一根导线焊接成图11中的形状，由三个边长为a的正方形组成，它们位于同一个平面内。在其中的一条边上焊接了一个电容为C的小电容器。把它们

??dB放在匀强磁场B中，它与该图的平面垂直，且以?k?0的恒定速度增加。每

dt一条边的阻值为r。当系统处于稳定状态时，求

?边AB上的电流强度和方向；

?电容器所带的电量Q以及两个极板所带电荷的符号； ?时间t内系统放出的热量W。

问题11-3 还原透镜

这次，我们在斯涅尔的档案里发现的是由理想薄透镜、物体和像组成的光学系统。从文字可以得出，物体是长度为l的小棒，两端各有一个点光源。小棒和主光轴都位于图中的平面内，且小棒不穿过透镜所在的平面。随着时间的经过，这张图上的墨水也褪色了，图中只剩下了两个点光源和它们的像，但不知道哪个点对应哪个。有趣的是，这些点位于一个正三角形的顶点和中心的位置上，如图12所示。

?三角形的中心是物体本身还是物体的像？

?恢复该光路图，包括物体、像、透镜、主光轴、焦点。旋转120°或翻转后重合的视为同一种。

?求焦距的长度。

注：理想透镜可以使得任何平行光都在焦平面上聚焦⑩。

⑨⑩

译者注：该名称来自杰罗姆的著作《三人同舟》(Three Men in a Boat (To Say Nothing of the Dog))的名称。 译者注：即理想凸透镜可以使得任何不与透镜平行的光汇聚在焦平面上的一点，而理想凹透镜则使得发散后的光线的反向延长线位于焦平面上。

图12

图13

问题11-4 汽水的压强

如图13所示，工厂将瓶装水中去除溶解的空气，然后在t1=4℃，p1=150kPa下使其溶解二氧化碳至饱和，再封装并送到仓库，根据贮藏要求，温度不得高于t2=35℃。不考虑液体和瓶子的体积变化，求：

?空出部分的容积的最小值V0，如果贮藏过程中的瓶内压强的最大值不得超过p2=370kPa；

?工厂根据该体积，装入水的高度x。

瓶里水的质量m水=2kg，二氧化碳的摩尔质量μ=44g/mol。

瓶子的各部分的长度：d=3cm，b=10cm，h=27cm，H=30cm，D=13cm。 注：可以认为在某个固定温度T下，气体的溶解度σ和在液体表面的分压强成正比（亨利原理）。图14为分压p0=100kPa下二氧化碳的溶解度与温度的关系。在该温度范围内，水蒸气的分压可以忽略。这里，溶解度σ表示在1千克液体中溶解的气体质量（以克计）。

温度t，℃

图14

问题11-5 出故障的火箭

中尉实验员格鲁克在军事训练基地开展了他的新研究，有一种新的信号火箭以一定的速度v进行飞行，并用信号发生器发出固定频率为f0的声音信号。试验基地处声音的速度c=330m/s。

?如果火箭径直向他飞来，信号接收器所接收到的声音的频率是多少？ ?当火箭距离他较远的时候，如果火箭的飞行方向和火箭与他的连线方向的夹角为φ11，那么信号接收器所接收到的声音的频率是多少？

?在研究的过程中，中尉实验员格鲁克不小心让一架有故障的信号火箭飞行了，它在较低的高度以相同的速度v沿着半径为r的圆进行飞行。格鲁克成功地修好了火箭后，把注意力放在了图像记录器上，它记录了在基地放置的两台信号接收器所接收到的声音频率和时间的关系图像。根据该图像（如图15所示），帮助中尉实验员格鲁克计算出两台信号接收器之间的距离。

t, s 图15

11

译者注：φ的取值范围为[0°，180°]，其中当火箭恰好远离格鲁克飞行时夹角为180°。

2009年全俄物理奥林匹克（理论部分）答案

9-1. ?W?

mgL；?2；?Wh?mgL。 15u?v?9-2. v0'?3u，方向与u成30°；min2。

9-3. ?UAB?1V；?

9-4. tx?10℃。

10-1. T?3mg。

10-2.

；

10-3. m3?

104m1?63m2。

1910-4. ?Imax?5mA；?，其中U0?1kV；

?

。

10-5. ?

Tmin?195L；?WT??11.2kJ；???54%。

；?Tmax?780K，

11-1. ?L=30m，k=35N/m；?x0=20m；?vmax=28.3m/s；?A=40m，ω=0.71s-1；?t=5.41s。

11-2. ?I0?2Q0L2Q0LI?；?q1?；?q2??0；?W??q0?2Q0L； LRRR?Q?W?Q0。

11-3. ?m冰=0.15kg；?M=0.48kg；?α=2.0W/℃；?Pmax=200W；?t1=21min。

11-4. ?；?pmax=4.75MPa。

11-5. F1=36.3cm，F2=25.8cm；或F1=3.7cm，F2=6.2cm。

2010年全俄物理奥林匹克（理论部分）答案

9-1. ρ1=0.8g/cm3。

9-2. ?l?3L3LL；???；?Δt?。

2v3v2

9-3. m=1160g。

9-4. ?t3≈109℃；?t4=380℃。

?R?R1?9-5. I2?I1?0?。

R?R2??0

10-1. ???≥?min?

Mm21?；?t=0.9s。

m1(m1?m2?M)210-2. ?α=0.2；?kmin=9.2。

10-3. ?t0?v0?112v0?；?μ

10-4. ?ΔU负=2.8V；?ΔI压=1.1A。

CE22EE10-5. ?UC?，U2C?；?Q?。

233

11-1. ?a??

11-2. 当?≥?max?M2m1?m2?2M时，不会发生滑动，而会发生往复振动；

m2m1?m2?M3g3；??max?arcsin?29?。 2π2π当?≤?min?M时，一开始就会发生滑动；

m1?m2?Mgm2??(m1?m2?M)?M?，

km1?M当?min????max时，L?t??m1?m2?MkL??arccos?1??。 kMg??

11-3. ?P???(T?T2)(T1?T)；?Tm?TT12?490K；

T?T?T2?2T1T2??120kW；????Pmax????1?T1?Tm?38.7%。 Tm

11-4. ?以O为一个焦点的椭圆；????q2??0m(R0?R1)322?1。

11-5. ?V=62.8mV；?v限=7.2×104转/分。

2011年全俄物理奥林匹克（理论部分）答案

9-1.

9-2. ?1:3；?3:4。

9-3. ?nmin?8；?t0?

9-4. ?IAB?IAC?U211U3R2U，RAB?；?I15?；?P34?P56?P78?； ?R3R11R2t1?3t2。 511U5R，RAC?。 5R11

9-5. ?3:1；?3:5。

10-1. ?等于α；?19:8。

10-2. ?Wmax?T1?Wmax?mq??1??2.45?1013J；?m水??5.12?107kg。

?T??T2???1?1??T0?

510-3. T?T0。

4

10-4. ??1??0E1?2?0????d?1?2??1??，?2???0E2??2?0????d?1?1???2?；

?????1??2??

2?0??1??2。

d?1??210-5. ?C?1μF；?U??136V；?Q?0.062J。

11-1. ?T?2π

11-2. ?负电；?R?3r?17.3cm；?

|q|?1.7?1011C/kg。 mL；?周期除以2。 g

11-3. h1=380mm，稳定；h2=360mm，不稳定。

11-4. ?I??We?

11-5. ?N1?71，N2?83；?第二种。

U0C0CU3CU；?q1?00，q2??00；?q?C0U0； 2?0?02213C0U02。 242012年全俄物理奥林匹克（理论部分）答案

9-1. ?上升；?x?x0ka；?2.14cm。

(k??0S(g?a))g

9-2. L0=1.5m，k=40N/m，m=0.5kg。

9-3. T4=25℃，t2≈20s。

9-4. ?U1=13V，I1=0mA；?U2=2V，I2=1mA。

9-5. S的轨迹为射线OC；φ=15°。

?v2tan3???gh?v210-1. F?m??tan3??

?h(cos???sin?)h?

10-2. ??

3510-3. V2≥V1或V1?V2≤V1。

24

n2p0(n?1)。

R?10-4. m1:m2:m3?R13:R23:R33。

10-5.

11-1. M=2kg。

mv02mv0R11-2. ?d'?d?22；?Q?

4Bl

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