概率练习及答案

第一章 事件与概率

1、对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

) 72、一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69（1） P(A)?

106（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10P(B)?6

10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从

2六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情

况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余

3118层中任一层离开，共有C19C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；

③4个人都不在同一层离开，有P94种可能结果，故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

（4） D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

103、两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

6044、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C73522 35故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?5、设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

11113++?= 443124

6、对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 7、证明：??域之交仍为??域。 证：设Ft(t?T)是??域，记F??F.

tt?T(i) ??每一Ft，所以???Ft?Tt，即??F.

(ii) A?F，则A?每一Ft，由Ft是??域得A?每一Ft，所以A??F，从而A?F.

tt?T(iii) Ai(i?1,2,?)?F，则诸At必属于每一Ft，由于Ft是??域，所以

?A?每一F，

iti即

?A??Fiit?Tt?F.

∴F是??域。

第二章 条件概率与统计独立性

1、某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） P(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击

中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

3、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

(2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 4、设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.

【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 44245、已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1?10?Ck?03k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

(2) p2??Ck?4k10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

6、证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

【证】 P(A|B)即?P(A|B)P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立.

7、证明：若P（A|C）≥P(B|C), P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B). 【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC)

同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B)

第三章 随机变量与分布函数

1、设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35

（2） 当x≤0时，F（x）=P（X

当0

22 3534 35当12时，F（x）=P（X

x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)???34,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,223533342212P(1?X?)?F()?F(1)???,22353535

33312P(1?X?)?P(X?)?P(1?X?)?,22235342212P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?1)????0.3535352、设连续型随机变量X分布函数为

?A?Be?xt,x?0,F（x）=?(??0),

x?0.?0,（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X<2}，P{X≥3}； （3） 求分布密度f（x）.

limF(x)?1??A?1?x???【解】（1）由?得?

B??1limF(x)?limF(x)??x?0??x?0?（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

?3? P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e)?e?3?

??e??x,x?0(3) f(x)?F?(x)??

x?0?0,3、设随机变量（X，Y）的分布密度

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?

其他.?0,求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12

（2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv

yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2} ???12e0012?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

4、.设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,y?x,0?x?1,f（x，y）=?

0,其他.?求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题4图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

x??1dy?2x,0?x?1, ????x

?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,

y?其他.?0,??所以

?1f(x,y)?,|y|?x?1, fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x?1,

fY(y)?1?y?0,其他.??5、设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

?2e?2x,x?0 fX(x)??x?0?0,由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0

当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1

当0

1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为

1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U（0，1）

6、设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

P{Z=i}=

?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0i【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以 {Z?i}?{X?Y?i}

?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是

P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立?P{X?k}?P{Y?i?k}

k?0k?0ii ?

?p(k)q(i?k)

k?0i第四章 数字特征与特征函数

1、设随机变量X的概率密度为

?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx

0112123?13??2x? ??x???x???1.

3?1?3?0?E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2、设随机变量X的概率密度为

1. 61x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望。

π?1,X?,??3【解】令 Yi???0,X?π.?3?则Y?(i?1,2,3,4)

?Y~B(4,p).因为

ii?14π/31πππx1p?P{X?}?1?P{X?}及P{X?}??cosdx?,

0333222111所以E(Yi)?,D(Yi)?,E(Y)?4??2,

24211D(Y)?4???1?E(Y2)?(EY)2,

22从而E(Y)?D(Y)?[E(Y)]?1?2?5.

3、设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变

量|X??Y|的方差.

222??1?2???1?2?【解】设Z=X??Y，由于X~N?0,?, ?,Y~N?0,?????2?????????2??且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.

因

D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2

?E(Z2)?[E(Z)]2,

而

E(Z)?D(Z)?1,E(|Z|)??|z|??2??1?z2/2edz 2π2???z2/22 ?， zedz??0π2π所以 D(|X?Y|)?1?4、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 解：p?(x)??2. π?1,x?[0,1]。当t?0时f(t)?1；当t?0时

?0,x?[0,1]11f(t)??edx?eitx?(eit?1).

0itit01itx15、设随机变量X的概率密度为

?1?2,?1?x?0,??1fX(x)=?,0?x?2,

?4其他.?0,??令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：

(1) Y的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y); (3)F(?1,4). 2解： (1) Y的分布函数为

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}.

当y≤0时， FY(y)?0，fY(y)?0； 当0＜y＜1时，

FY(y)?P{?y?X?y}?P{?y?X?0}?P{0?X?y}?3y， 4fY(y)?38y；

当1≤y<4时， FY(y)?P{?1?X?0}?P{0?X?y}?11?y 24fY(y)?当y≥4时，FY(y)?1，fY(y)?0. 故Y的概率密度为

18y；

?3?8y,0?y?1,??fY(y)?0?1

,1?y?4,?8y???0, 其他.+?01211xdx??xdx?, (2) E(X)=?xfX(x)dx??-?-12044+?012152222E(Y)=E(X)=xf(x)dx?xdx?xdx?), ?-?X?-12?046+?0121723x3dx??x3dx?, E(XY)=E(Y)=?xfX(x)dx??-?-120482故 Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)?E(Y)=.

31112(3) F(?,4)?P{X??,Y?4}?P{X??,X?4}

22211 ?P{X??,?2?X?2}?P{?2?X??}

2211 ?P{?1?X??}?.

246、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?122?,x?y?1,f（x，y）=?π

?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x?y?1}.

22E(X)???????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?112π1rdrd??0. =??rcos??π00同理E(Y)=0. 而 CovX(Y,?)??????????x?[Ex?()]?y[EY(f)]x(y, xy112π12 ???2xydxdy?π?0?0rsin?cos?rdrd??0, πx2?y?1由此得?XY?0,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时，fX(x)?1?y2?1?x21?1?x212dy?1?x2. ππ当|y|≤1时，fY(y)??1?1?y212dx?1?y2. ππ显然fX(x)?fY(y)?f(x,y).

故X和Y不是相互独立的.

7、对于任意两事件A和B，0

ρ=

P?AB??P(A)?P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)为事件A和B的相关系数.试证：

（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)??P(A)·P(B)=0.

而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X与Y为

???1,若A发生,?1,若B发生,X?? Y??

???0,若A发生;?0,若B发生.由条件知，X和Y都服从0??1分布，即

11?0?0 Y~? X~?1?P(A)P(A)1?P(B)P(B)??从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),

D(X)=P(A)·P(A),D(Y)=P(B)·P(B),

Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)·P(B)

所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.

第五章 极限定理

1、设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 试用切比雪夫不等式估计概率P(|X－Y| ? 6). 解. E(X－Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X－Y) = D(X) + D(Y)－2?XY所以 P(|X?Y|?6)?D(X)D(Y)= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3

D(X?Y)31??.

6236122、某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作,

试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.

解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以X～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:

1?X?400?0.02? limP??x??n??2??400?0.02?0.98?所以 P(X?2)?1?P(X?1)?1?P??x??e?t22dt??(x)

X?8?7???

400?0.02?0.98??400?0.02?0.98? ? 1－?(－2.5) = ?(2.5) = 0.9938.

3、设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.

解. 假设X表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X～B(10000, 0.7) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: limP?n??X?70001??x???00.3?0.72??1000???x??e?t22dt??(x)

) 所以 P(6800?X?7200 ?P?6800?7000X?70007200?7000????

10000?0.3?0.710000?0.3?0.7??10000?0.3?0.7? ? ?(4.36)－?(－4.36) = 2?(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.

4、在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡

的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？

【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X?120}?1?120?10000?0.006????

10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?59.64)2 ?159.64???60??59.64???12??159.64e?12(60/

?0.0517?e?30.1811?0(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为

P{0?X?60}????60?10000?0.006??0?10000?0.006??10000?0.006?0.994??????10000?0.006?0.994??

??(0)?????60??59.64???0.5. ?0n?5、若Xn的概率分布为???1?11?，试验证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 ?nn????0,当?x?0解：

F?P)X?1n(xn?x{???n}当?x1?n。,

0令n?????1,当x?nF)?F(x?)??0,x?0n(x。 ?1,x?0这说明分布函数收敛，但 EXn?1,EX?0,En?X?EX(?n?。当)k?1时，

EXk1n?nk?n?nk?1， E(Xk?E(X?1?1n?EXn)n?1)k?(?1)k??1?n???(n?1)k?n

所以当n??时，EXn??，E(Xn?EXn)k??。由此知其中心距，原点矩均不收敛。

6、设Xn独立同分布，P{X2n?2k?}?2?k (k?1,2,?)，则大数定律成立。 ??证：由辛钦大数定律知，这时只要验证EXi存在,EXi??2?k2k?2lnk?k?1?4?lnk。而

k?1

4?lnk?e?ln4lnk?(elnk)?ln4?k?ln4，

?又ln4?1，所以 EX?ln4i??k??，从而大数定律成立。

k?1得

n2P7、若{Xi}是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证 iXi???EXi。?n(n?1)i?1证：记EXi?a,DXi??2??，则

nnn?2?22E?iXi??iEXi?a?i?a， ???n(n?1)n(n?1)n(n?1)i?1i?1i?1??利用Xi间的独立性得

nn?2?4D?iXi??2i2?2 ?2??n(n?1)i?1?n(n?1)i?14n(n?1)(2n?1)2(2n?1)?2???2???0(n??)n(n?1)263n(n?1)2由马尔可夫大数定律得

n2PiXi???a?EXi ?n(n?1)i?1

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