复积分计算总结

复积分的计算方法

孟小云 20072115025

（数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班）

指导老师 海泉

摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。 关键词：复变函数；复积分

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。 方法1：参数方程法

定理：设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (??t??),z'(t)在[?,?]上连续，且z'(t)?0，又设f(z)沿c连续，则?f(z)dz?c???f[z(t)]z(t)dt。

'1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。

c为过z1,z2两点的直线段，c：z?z1?(z2?z1)t,t?[0,1],z1为始点,z2为终点。 例1 计算积分?Rezdz，路径为直线段.

?1?解：设z??1?(i?1)t?(t?1)?it,t?[0,1], 原式=?(t?1)idt?(t?t)2011102??i2

2、若曲线ｃ为圆周或圆周的一部分，例如c为以a为心Ｒ为半径的圆。 设c：z?a?R,即z?a?Rei?,??[0,2?],（曲线的正方向为逆时针） 例2 计算积分?zdz,c为从－１到１的下半单位圆周.

c解：设z?ei?,dz??ei?d?,??[??,0] 原式???ie?0i?d????i(cos??isin?)d??0?2

注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。 方法2：利用柯西积分定理

柯西积分定理：设函数f(z)在复平面上的单连通区域D内解析，c为D内任一条周线，则?f(z)dz?0

c例3 计算

?dzcz?2z?222,cdz为单位圆周z?1.

的解析区域内的一闭曲线，由柯西定理有

解：z?1是f(z)?z?2z?2?dzcz?2z?22?0

注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单。

1、柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。 例4 计算?解；?c22z?1cz?zdz?2dz的值，c(1z?1z?1为包含圆周z?1的任何正向简单闭曲线.

c内且互不

2z?1z?z?c)dz,分别以z?0,z?1为心作两完全含于1z1)dz?相交的圆周c1,c2,则有原式＝?(?c1 ＝?1c1zdz??c1c2z?1z11dz??dz?c2z?1z?(1?1z?11c2)dzdz

?z?1 ＝ 2?i?0?0?2?i?4?i

2、若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿—莱布尼茨公式计算。 例5 计算??2?i?2(z?2)dz.

2解：因为f(z)?(z?2)2在复平面上处处解析，所以积分与路径无关。 原式=??2?i?2(z?4z?4)dz?213z?2z?4z32?2?i?2??i3

注：利用柯西积分定理也有一定的局部性，主要体现在被积函数上，只有某些特

殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便。 方法3：利用柯西积分公式

1、柯西积分公式：设区域D的边界是周线（复周线）c，函数f(z)在D内解析，在D?D?c内连续，则f(z)?z?2?i1f(?)c??zd? (z?D)

例6 计算?ec2z?1z，其中ｃ为圆周z?2.

解：因被积函数的两个奇点是i,?i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互

ezez不相交的圆周c1,c2 原式=? =2?iezz?iec12zz?1dz?z?ec22zz?1idz??c1z?idz?z?i?c2z?idzz?i

z?i?2?iez?iz??i??(e?e)

?i此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比单独应用柯西积分定理容易方便得地多。

2、柯西积分公式解决的是形如

f(?)c?f(?)c??zd?,(z?D)的积分，那形如

?(??z)nd?,(z?D)的积分怎样计算呢？

利用解析函数的无穷可微性f(n)(z)?此问题。 例7 计算?ec2z2?2?in!f(?)c(??z)n?1d?,(z?D)(n?1,2,?)可解决

(z?1)dz,c为z?2.

解：因被积函数的两个奇点是i,?i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互

ez22edz?z22不相交的圆周c1,c2 原式=?ec12z2(z?1)dz??ec22z2(z?1)dz??(z?i)c1(z?i)?(z?i)c2(z?i)dz

?2?i[ez(z?i)]?2z?i?2?i[ez(z?i)]?2z??i??2(1?i)(e?ie)

i?i注：柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合。 方法4：利用柯西留数定理

柯西留数定理：f(z)在周线（复周线）c所围区域D内除a1,a2,?,an外解析，

n在闭区域D?D?c上除a1,a2,?,an外连续，则?f(z)dz?2?i?Resf(z)

ck?1z?ak例8 计算?解：f(z)?5z?2z?2z(z?1)2dz.

?5z?2z?2z(z?1)2dz，在圆周z?2内有一阶极点z=0,二阶极点ｚ＝１

Resf(z)?z?05z?2(z?1)2z?0??2 Resf(z)?(z?15z?2z)?z?1?2

由留数定理原式＝2?i(Resf(z)?Resf(z))?2?i(2?2)?0

z?1z?0方法5：借助于沿封闭曲线的复积分

当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封闭曲线，首先计算沿封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分。 例9 计算?1czdz，其中c是以(1,0)为起点、(2,0)为终点的光滑曲线.

1z分析：构造封闭曲线 c0?c?BA，易求F(z)?分的性质求原复积分。

沿c0的复积分，利用复积

解：设c0?c?BA，其中BA是以B(2,0)为起点，A(1,0)为终点的直线段，参数方程是z=x,

x是由2变到1，所以?设f(z)?1，则?c由于?1BA1c0zc0dz?1z?0?1czdz??1BAzdz

10zdz??dz?2?if(0)?2?izdz??121xdx?lnx12??ln2

所以?1czdz??1c0zdz??1BAzdz?2?i?(?ln2)?2?i?ln2

方法6：利用积分换元公式

关于复积分的变量替换，与定积分的变量替换类似，要求变换是一对一的且可微。 设w?f(z)在区域D内单叶解析，c是D内一条简单光滑曲线：z?z(t),??t??,那么

(1)在变换w?f(z)之下，c的像?也是W平面上一条简单光滑曲线； (2)若函数?(w)沿?连续，则有积分换元公式??(w)dw?????(f(z))f?(z)dz

例10 计算积分?2zdzcz?6z?142，c:z?2ei?,0????.

解：令w?f(z)?z2，它在上半平面单叶解析，把半圆c变成圆?:w?4ei2?，

0????

即w?4，由换元公式得I?因?(w)?dww?6w?12?dwcw?6w?12

?1[w?(?3?22)][w?(?3?22)]在围线?内仅有一个一阶极点w??3?22，

Res?(w)?w??3?221w?3?22w??3?22?142 由留数定理：I?2?i?142??i22

注：对非单叶的变换，使用换元公式要特别小心，这时简单曲线c的像?不再是简单曲线，但可把它分为几段简单曲线之和，即化为局部单叶变换的情形来处理。 例11 计算积分J??2zdzcz?6z?142，c:z?2.

解：令w?z2，则c:z?2ei?，0???2?的像曲线为双重圆?:w?4ei2?，

0???2?

把?分解为两个单圆：???1??2，?1:w?4ei?，0???2?，

?2:w?4e,2????4?；

i?

i?i?它们分别对应于原像c之两段：c1:z?2e,0????,c2:z?2e,0???2?,分段利

用积分换元公式得

?2zdzcz?6z?142??2zdzc1z?6z?142??2zdzc2z?6z?142???dw1w?6w?12???dw2w?6w?12

?2?dww?4w?6w?12?2I??i2

方法7：积分估值法

积分估值：若沿曲线c，函数f(z)连续，且有正数M使f(z)?M，L为c长，则

?cf(z)dz?ML

f(z)z?R例12 设f(z)在复平面上解析，且有界，求极限lim常数(a?b)，由此证明刘维尔定理.

R???(z?a)(z?b)dz，a,b为

解：?a,b,且(a?b),则对于充分大的R，总可以使a,b位于圆z?R内，于是，在圆z?R上z?a?z?a?R?a，z?b?R?b，因f(z)?M，固有

?f(z)z?R(z?a)(z?b)dz??f(z)z?Rz?az?bdz?M(R?a)(R?b)2?R

所以 limR???f(z)z?R(z?a)(z?b)f(z) dz?0 （1）

1b?af(z)z?bf(z)z?a2?ib?a另一方面?z?R(z?a)(z?b)dz??z?R[?]dz?（2） [f(b)?f(a)]

综合（1）和（2）得f(a)?f(b)，特别取a?0有f(b)?f(0)，由b的任意性，知f(z)在z平面上必为常数。

以上计算方法在复积分计算中是经常使用的方法，比较简单普遍，在复积分计算时很容易想到。下面介绍一些不常用的，且带有一定技巧性的方法。 方法8：级数法

?连续性逐项积分定理：设fn(z)在曲线c上连续(1,2,3,?)，?fn(z)在c上一致

n?1收敛于fn(z)，则fn(z)在曲线c上连续，并且沿c可逐项积分：

???cfn(z)dz?n?1?cfnz(dz)，将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分

的有关问题。

例13 计算积分?(?zn)dz,c:z?cn??1?12.

解：在z??12?内，?zn?n??11z?11?z

所以?(?zn)dz?cn??1?c(1z?11?z)dz?2?i?0?2?i

方法9：拉普拉斯变换法

定义：设f(t)是定义在[0,??]上的实值函数或复值函数，如果含复变量

p???is（?,s为实数）的积分???0f(t)e?ptdt在p的某个区域内存在，则由此积

分定义的复函数F(p)????0f(t)e?ptdt，称为函数f(t)的拉普拉斯变换法（简称拉

氏变换），简记为F(p)?L[f(t)]

计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化为

F(p)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分的结果。

??0例14 计算积分?解：令f(az)?1a?zcos12aze?pzdz.

1a?zcos1a12azF(pa，则L[f(az)]?)

???01a?zcos12aze?pzdz

由相似定理有L[f(az)]?由拉普拉斯变换表得F()?a1a?z12azp1pa1ae?pacospa 所以???0cose?pzdz?F(pa)?1apae?pacospa 方法10：运用对数留数定理与辐角原理

具有以下形式的积分

?2?i1f?(z)cf(z)dz称为f(z)关于曲线c的对数留数。

1.对数留数定理：如果f(z)在简单曲线c上解析且不为零，在c的内部除去有限个极点外也处处解析，则

?2?i1f?(z)cf(z)dz=N?P.其中N为f(z)在c内零点的

总个数，P为f(z)在c内极点的总个数，且c取正向。在计算零点与极点的个数时，m阶的零点或极点算作m个零点或极点。

2.辐角原理：如果f(z)在简单闭曲线c上与c内解析，且在c上不等于零，则f(z)在c内零点的个数等于量，即N?12??c?Argf(z).

12?乘以当z沿c的正向绕行一周时f(z)辐角变

例15 计算积分?f?(z)z?5f(z)，其中f(z)?dz，

sinz(z?1)(1?e)?zz522.

解：f(z)在z?5上解析且不等于零。又f(z)在z?5的内部解析，零点个数

N?1?2?3，极点个数P?5?2?7

由对数留数定理有?f?(z)z?5f(z)dz?2?i(N?P)?2?i(3?7)??8?i

总结：以上总共给了计算复积分的10种方法，其中一些是常见的最基本的方法。级数法、拉普拉斯变换法、运用对数留数与辐角原理是对常用复积分计算方法的补充，具有一定的技巧，文中以例题说明了其具体运用的巧妙和简捷之处。可见灵活运用这些计算技巧，可以使繁琐的积分过程得以简化，为解决实际问题提供了一条便捷之路。

参考文献：

[1]钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004，2. [2]潘永亮，复变函数[M].北京：科学出版社，2004.

[3]龚冬宝，复变函数典型题[M].西安：西安交通大学出版社，2003.

[4]刚家泰，复变函数全程学习指导与解题能力训练[M].大连：大连理工大学出版社，2002.

[5]余家荣，复变函数[M].北京人民大学出版社，1979.

[6]严镇军，数学物理方法[M].合肥：中国科技大学出版社，1999. [7]钟玉泉，复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，1995.

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