2019-2020年高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）教案 新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

（二）教案 新人教A版选修2-2

教学建议

1.教材分析

本部分内容是对导数公式及其导数运算法则的应用的深化,重点是理解简单的复合函数的复合过程,难点是分析复合函数的结构特点,并能求出复合函数的导数.

2.主要问题及教学建议

关于复合函数的导数的教学,建议教师把重点放在引导学生理解简单复合函数的复合过程上,在分析复合函数的结构特点的基础上,再配备几个例题,不必介绍复合函数的严格定义,不要求证明复合函数的求导公式. 备选习题

1.函数y=的导数是( ) A. B.- C. D.

解析:∵y=,

∴y'=' = = ==-. 答案:B

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2.设函数f(x)=x+x+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[] C.[,2] D.[,2]

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解析:∵f'(x)=sin θ·x+cos θ·x,

∴f'(1)=sin θ+cos θ=2sin. ∵θ∈,∴sin.

∴f'(1)∈[,2],故选D. 答案:D

3.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.

解:设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.

∵y'=,∴y'=2,解之,得x0=1,∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).

∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.

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4.抛物线C1:y=x-2x+2与抛物线C2:y=-x+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系;

(2)若a>0,b>0,求ab的最大值.

解:(1)设两抛物线的交点为M(x0,y0),

由题意知-2x0+2=-+ax0+b, 整理得2-(2+a)x0+2-b=0.①

由导数可得抛物线C1,C2在交点M处的切线斜率分别为k1=2x0-2,k2=-2x0+a.因两切线互相垂直,则有k1k2=-1,即(2x0-2)(-2x0+a)=-1,

整理得2[2-(2+a)x0]+2a-1=0.② 联立①和②,消去x0,得a+b=. (2)由(1)知a+b=,又a>0,b>0, ∴ab≤=( )2=.

当且仅当a=b=时取等号,故ab的最大值为.

2019-2020年高中数学 1.2.2复合函数的求导法则教案 新人教A版选修

2-2(1)

教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法则 导数运算法则 函数 导数 f(x)?logaxf'(x)?1(a?0且a?1) xlna?f(x)?g(x)'??f''(x)?g'(x) ''(x)?'?f(x)g(x)?f'(x)g(x) 2．?f(x)?g?f(x)?f(x)g(x)?f(x)g(x)1．3．?'??g(x)???g(x)?2(g(x)?0)

（2）推论：

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授

复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

若，则

三．典例分析

?y????f?g(x)????f??g(x)??g?(x)

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例1求y ＝sin（tan x）的导数．

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sinx ＋cos x的导数．

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【解法一】y ＝sin x ＋cos x＝(sinx ＋cosx)－2sincosx＝1－sin2 x

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＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

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【解法二】y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝4 sin x(sin x)′＋4 cos x (cos x)′＝4 sin x cos x ＋4 cos x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin x －cos x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x ＋x ＋2 x y′＝－3 x ＋2 x ＋2

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令y′＝1即3 x－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切点为P（1，2），Q（－，－），

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114|???1|327显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．

2四．课堂练习

过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 1．求下列函数的导数 (1) y =sinx+sin3x；（2）;(3) 2.求的导数

五．回顾总结

六．布置作业

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